理论力学课件 第二章 质点运动2

理论力学ClassicalMechanics2024第二章质点运动描述现象：基于定量测量的运动学2.1解释机制：基于因果关系的动力学2.2增加对象：多质点共同运动的情况2.322.2解释机制：基于因果关系的动力学一、质量对质点运动的影响2.2.1牛顿三大运动定律直觉：使小物体动起来要比大物体容易物体如何比大小？Quantityofmatterisameasureofmatterthatarisesfromitsdensityandvolumejointly.[1]物质的量是对物质的一种度量，由物质的密度和体积共同得出。[1]牛顿《自然哲学的数学原理》原子论:物质由原子构成图片出自2007年10月19日的《科学》杂志一、质量对质点运动的影响2.2.1牛顿三大运动定律动量：同时考虑速度和质量两个要素[1]牛顿《自然哲学的数学原理》Quantityofmotionisameasureofmotionthatarisesfromthevelocityandthequantityofmatterjointly.[1]动量是对运动的一种度量，由速度和质量共同得出。量化描述：翻译成数学语言（1）牛顿第一定律二、牛顿运动定律（动力学基础）Everybodyperseveresinitsstateofbeingatrestorofmovinguniformlystraightforwardexceptinsofarasitiscompelledtochangeitsstatebyforcesimpressed.[1]2.2.1牛顿三大运动定律每一个物体都保持静止或者一直向前均匀地运动的状态，除非有外加的力迫使它改变它自身的状态为止。[1]牛顿《自然哲学的数学原理》（2）牛顿第二定律二、牛顿运动定律（动力学基础）Achangeinmotionisproportionaltothemotiveforceimpressedandtakesplacealongthestraightlineinwhichthatforceisimpressed.[1]2.2.1牛顿三大运动定律运动的改变与外加的引起运动改变的力成比例，并且发生在沿着力作用的直线上。对于牛顿第二定律，我们现在常用表述是[1]牛顿《自然哲学的数学原理》（2）牛顿第二定律二、牛顿运动定律（动力学基础）2.2.1牛顿三大运动定律[1]牛顿《自然哲学的数学原理》牛顿的第一定律是第二定律的特例么❓解释一：运动及其测量依赖于特定的参考系，第一定律说明了用于测量

第二定律所涉及的物理量（如速度）所需的参考物的情况。（2）牛顿第二定律二、牛顿运动定律（动力学基础）2.2.1牛顿三大运动定律[1]牛顿《自然哲学的数学原理》解释二：第一定律和第二定律所关注的力，并不相同。第二定律原始版本现代版本在一个极短的“固定”作用时间内第二定律中的力是容易理解的有明显施力者的脉冲式的力，比如日常生活中推力。（2）牛顿第二定律二、牛顿运动定律（动力学基础）2.2.1牛顿三大运动定律解释二：第一定律和第二定律所关注的力，并不相同1）许多重要运动，例如天体运动，并没有明显的施力者2）摒弃感性认识，通过运动形式，理性推断力的存在牛顿通过第一定律告诉人们如何发现和理解“隐藏”的力。牛顿之前，人们认为天使在推动星体运动（2）牛顿第二定律二、牛顿运动定律（动力学基础）2.2.1牛顿三大运动定律[1]牛顿《自然哲学的数学原理》新的科学和技术的出现都是渐进式的，有迹可循。脉冲力与连续轨道运动[1]1）累积“离散”脉冲力，解决连续力的作用问题；2）微积分的基本思想诞生了！（3）牛顿第三定律二、牛顿运动定律（动力学基础）Toanyactionthereisalwaysanoppositeandequalreaction;inotherwords,theactionsoftwobodiesuponeachotherarealwaysequalandalwaysoppositeindirection.[1]2.2.1牛顿三大运动定律对任意作用总是存在着方向相反大小相等的反作用；换句话说，两个物体彼此的相互作用总是相等的，并且指向对方。[1]牛顿《自然哲学的数学原理》（3）牛顿第三定律二、牛顿运动定律（动力学基础）2.2.1牛顿三大运动定律[1]实验设计来自牛顿的《自然哲学的数学原理》1）考虑物体的内部结构：这些小部分通过内部的引力或

作用力相互连接。2）取物体中的一个假想面：在物体内部，假设画出一个

假想的面，将物体分为左半部分和右半部分。3）分析两部分的受力：左半部分对右半部分有一个作用

力，右半部分对左半部分也有一个作用力。4）分析整个物体的受力平衡：左右两边的力作用于整个

物体，必须大小相等方向相反，否则物体将不需要外

力，而自发加（减）速，违背第一定律。关于第三定律的思想实验[1]示意1）牛顿第二定律阐述了质点运动的微观机理2.2.2伽利略相对性原理2）形式上简单力加速度速度位移位置3）在惯性参考系下成立（参照物根据第一定律寻找）❓选择不同惯性参考系，有差别么？一、不同惯性参考系之间的关系（位矢）2.2.2伽利略相对性原理任何系：两者关系：二、不同惯性参考系之间的关系（速度）2.2.2伽利略相对性原理任何系：绝对速度：牵连速度：相对速度：二、不同惯性参考系之间的关系（速度）2.2.2伽利略相对性原理相对的代数运算规则：速度关系的坐标表示：二、不同惯性参考系之间的关系（加速度）2.2.2伽利略相对性原理加速度关系：坐标表示：二、不同惯性参考系之间的关系（加速度）2.2.2伽利略相对性原理牵连加速度：加速度关系：受力关系：坐标可变、速度可变，受力不可变!两个参考系中进行的任何力学实验都会产生相同的测量结果。三、伽利略相对性原理2.2.2伽利略相对性原理力学过程在惯性系中都是等价的。如何处理非惯性系？非惯性系：“虚拟”的惯性力：新再次脱胎于旧，非惯性系牛顿第二定律改造成功！三、伽利略相对性原理2.2.2伽利略相对性原理现实困难：物体之间普遍存在相互作用，找不到一个不受任何外力影响的参考物来建立真正的惯性系。地球的自转向心加速度大小：地球的公转向心加速度大小：地球绕银河系中心旋转的向心加速度大小：一、平动参考系2.2.3非惯性系的动力学整体上引入同一个非惯性力：2）同一质点在空间各处所受非惯性力相同；3）质量不同的质点所受非惯性力不同。1）由牵连加速度和质量共同决定。二、转动参考系2.2.3非惯性系的动力学通过加速度关系求解惯性力：二、转动参考系2.2.3非惯性系的动力学在系中，观察者与参考系无相对运动，测得:P点相当速度为：于是：对任意矢量，定义相对变化率的求导：常规和相对求导关系：二、转动参考系2.2.3非惯性系的动力学常规和相对求导关系：牵连转动速度牵连平动速度二、转动参考系2.2.3非惯性系的动力学二、转动参考系2.2.3非惯性系的动力学相对加速度：牵连加速度：牵连转动加速度牵连向轴加速度牵连平动加速度三、惯性力2.2.3非惯性系的动力学牵连惯性力：科里奥利力：2.2.4力的常见数学形式例题2.3一质量为的小球受恒定作用力的作用，沿着轴运动。初始时刻小球位于处，初始速度为，求其速度和运动方程。一、恒定力解：以速度表达的动力学方程为对上式求时间的限定积分可以得到时刻质点的速度为(1)(2)(3)2.2.4力的常见数学形式一、恒定力由于速度和位置之间存在关系将式(3)两边对时间进行积分，有因此(4)(5)(6)值得注意的是，由式(2)可知，当物体受力之后，速度的改变还需要一个时间上的积累过程。2.2.4力的常见数学形式二、与位置相关的力解：以速度表达的动力学方程为(1)一质量为的小球受作用力的作用（为正常数），初始时刻被静止地放在处，求小球第一次返回坐标原点所需要花费的时间。例题2.4该方程中涉及3个变量，需要降低变量数目，常用的技巧是，将用和替换(2)2.2.4力的常见数学形式于是，(2)式变形为对式(3)分离变量，然后积分可得(3)(4)(5)二、与位置相关的力2.2.4力的常见数学形式所以负号反映了小球当前沿x轴的负方向移动，进一步对该式进行积分，求运动方程于是(6)(7)(8)二、与位置相关的力2.2.4力的常见数学形式至此，我们得到了小球运动方程那么其返回原点的时间为方程的正实数解(9)(10)(11)二、与位置相关的力2.2.4力的常见数学形式三、与速度相关的力解：如右图所示，质点所受的阻力为(1)一质量为的小球于离地面高度为处被无初速度地释放。小球在竖直下落的过程中受到与速度成正比的阻力。请求出小球速度和位置随时间的变化。例题2.52.2.4力的常见数学形式根据质点的受力情况，可以列出其动力学方程二阶方程，需要降阶，通常利用一阶导数分离变量可得(2)(3)(4)三、与速度相关的力2.2.4力的常见数学形式对上式两边同时积分，有对上式再次积分，有于是(5)(6)(7)三、与速度相关的力2.2.4力的常见数学形式当1）随着时间的推移，质点的速度将逐渐稳定；2）最后进行匀速直线运动；3）我们将这一稳定的末速度称为“收尾速度”。(8)三、与速度相关的力2.2.4力的常见数学形式四、惯性力一质量为在光滑空心直钢管中，有一质量为的小球，初始时刻停留在距点米处的点。以恒定的角速度绕其端点做平面转动。试求小球沿着管道的运动方程和管道给予小球的作用力。例题2.6解：如右图所示，以为原点，建立随钢管一起运动的运动坐标系。参考系的转动角速度为，小球沿着管道运动的速度为2.2.4力的常见数学形式小球在转动参考系中运动，受到惯性力。其中惯性离心力为科里奥利力为除此之外，小球还受到重力、管壁给小球的压力在动坐标系中，相对y、z轴无运动，受力平衡，根据牛顿定律有四、惯性力2.2.4力的常见数学形式式(1)的通解为(1)(4)四、惯性力(2)(3)2.2.4力的常见数学形式由题意可知，当时，，，代入式(4)和(5)可求得积分常数为(6)四、惯性力对其求时间导数有(5)因此，小球沿着管道的运动方程为(7)管道给予小球的作用力为(8)2.2.5微分方程的积分解力和力矩的时空积累2）降阶涉及积分；1）二阶微分方程的求解，一般技巧是降阶；3）积分过程可以被看作是变化的累积；4）累积的结果将导致新的物理概念。2.2.5微分方程的积分解一、力的时间积累：冲量与动量定理通过力的时间积累，实现方程的降阶力的时间积累效果：质点动量的增加值——冲量改变动量动量定理2.2.5微分方程的积分解二、力的空间积累：做功与动能定理力的空间效应，做功的基本单元：元功直角坐标系中，沿着路径AB积分，累积功为合力所做的功应等于各个分力所做的功的总和2.2.5微分方程的积分解二、力的空间积累：做功与动能定理力对质点做功引起其动能的改变动能定理2.2.5微分方程的积分解二、力的空间积累：做功与动能定理旋度为零的力所做的功仅与初末位置相关，与运动路径无关。无旋力：元功：为功的全微分，有：1）无旋力：保守力2）标量场：势场3）标量V：势能2.2.5微分方程的积分解三、力矩的时间积累：冲量矩与角动量定理考察力矩：类比：力矩导致角动量（动量矩）改变角动量（动量矩）定理冲量矩2.2.5微分方程的积分解四、力矩的空间积累：无限小转动下的做功考察微小转动：力矩的空间累积实际上是力矩对质点所做的功，引起动能变化：2.2.5微分方程的积分解五、运动的守恒定律：二阶微分方程的降阶1）动量守恒定律当质点未受到外力作用时：2）角动量守恒定律当质点所受力矩为0：3）机械能守恒定律当质点所受力为保守力：2.2.5微分方程的积分解五、运动的守恒定律：二阶微分方程的降阶三个守恒定律都源于运动微分方程的第一积分，得到的是关于速度的方程：进一步积分，我们可以得到质点的运动方程2.2.5微分方程的积分解六、有心力下的动力学：行星运动与粒子散射1）动力学方程具有力交汇于一点（力心）性质的力被称为有心力。在有心力作用下的力矩系统的动量矩守恒，在平面内运动选极坐标进行描述2.2.5微分方程的积分解六、有心力下的动力学：行星运动与粒子散射1）动力学方程利用牛顿定律可得质点的运动微分方程。有心力下，有心力下，质点在极坐标系中的基本运动微分方程组2.2.5微分方程的积分解六、有心力下的动力学：行星运动与粒子散射1）动力学方程计算有心力的旋度：对应势场：机械能守恒：2.2.5微分方程的积分解六、有心力下的动力学：行星运动与粒子散射1）动力学方程二阶方程一阶方程守恒律2.2.5微分方程的积分解六、有心力下的动力学：行星运动与粒子散射2）轨道微分方程❓2.2.5微分方程的积分解六、有心力下的动力学：行星运动与粒子散射2）轨道微分方程2.2.5微分方程的积分解六、有心力下的动力学：行星运动与粒子散射2）轨道微分方程排斥力吸引力比耐公式已知轨道可计算质点所受的力已知受力可求解微分方程（比耐公式）得到质点运动轨道2.2.5微分方程的积分解六、有心力下的动力学：行星运动与粒子散射3）行星运动行星围绕太阳的运动受力：太阳高斯常数构造辅助方程代入比耐公式可得2.2.5微分方程的积分解六、有心力下的动力学：行星运动与粒子散射3）行星运动轨道方程令：有：2.2.5微分方程的积分解六、有心力下的动力学：行星运动与粒子散射3）行星运动轨道方程为椭圆近日点时远日点时正交弦长度2.2.5微分方程的积分解六、有心力下的动力学：行星运动与粒子散射3）行星运动轨道方程为抛物线正交弦长度2.2.5微分方程的积分解六、有心力下的动力学：行星运动与粒子散射3）行星运动轨道方程为双曲线行星之间的引力作用为吸引性质，因此轨道应选择双曲线的左侧分支2.2.5微分方程的积分解六、有心力下的动力学：行星运动与粒子散射3）行星运动势能机械能轨道与能量有关系吗？2.2.5微分方程的积分解六、有心力下的动力学：行星运动与粒子散射3）行星运动2.2.5微分方程的积分解六、有心力下的动力学：行星运动与粒子散射4）开普勒定律开普勒第一定律：行星绕太阳作椭圆运动，太阳位于椭圆的一个焦点上。开普勒第二定律：行星和太阳之间的连线，在相等时间内所扫过的面积相等。开普勒第三定律：行星公转的周期的平方和轨道半长轴的立方成正比。2.2.5微分方程的积分解六、有心力下的动力学：行星运动与粒子散射4）开普勒定律开普勒第二定律物理意义：表明行星的动量矩是守恒的，行星所受的力是有心力，并且太阳位于该力的力心。2.2.5微分方程的积分解六、有心力下的动力学：行星运动与粒子散射4）开普勒定律开普勒第一定律物理意义：表明行星所受的力是引力，且与行星与太阳的距离的平方成反比。比耐公式：与行星本身无关，这是开普勒的第三定律所揭示的内容。2.2.5微分方程的积分解六、有心力下的动力学：行星运动与粒子散射4）开普勒定律开普勒第三定律物理意义：得到万有引力定律。2.2.5微分方程的积分解六、有心力下的动力学：行星运动与粒子散射5）宇宙速度第一宇宙速度：脱离地球表面，绕地球表面做圆周运动轨道形状决定能量：利用重力加速度估计k：2.2.5微分方程的积分解六、有心力下的动力学：行星运动与粒子散射5）宇宙速度第二宇宙速度：完全脱离地球的束缚，动能全部转换为势能。机械守恒：第二宇宙速度2.2.5微分方程的积分解六、有心力下的动力学：行星运动与粒子散射5）宇宙速度第三宇宙速度：脱离太阳系束缚。机械守恒：日地之间的平均距离2.2.5微分方程