高考数学二轮复习专项训练27最值、范围问题含答案及解析

2025二轮复习专项训练27最值、范围问题[考情分析]解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识模块，最值、范围问题是高考考查的重点知识，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等，试题难度较大，多次以压轴题出现．【练前疑难讲解】一、最值问题圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法一是几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为关于某个(些)变量的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．二、范围问题范围问题的求解策略解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，其方法有：(1)利用判别式来构造不等式；(2)利用已知参数的取值范围；(3)利用隐含的不等关系；(4)利用已知不等关系构造不等式；(5)利用函数值域的求法．一、单选题1．（22-23高三上·广西桂林·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（

）A． B．4 C．6 D．2．（2023·全国·模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，是椭圆上异于的一点．若椭圆的离心率的取值范围是，则直线，斜率之积的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题3．（2023·山东烟台·二模）已知双曲线C经过点，且与椭圆有公共的焦点，点M为椭圆的上顶点，点P为C上一动点，则（

）A．双曲线C的离心率为 B．C．当P为C与的交点时， D．的最小值为14．（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）已知点是左、右焦点为，的椭圆：上的动点，则（

）A．若，则的面积为B．使为直角三角形的点有6个C．的最大值为D．若，则的最大、最小值分别为和三、填空题5．（23-24高二上·重庆沙坪坝·阶段练习）过椭圆上一动点分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的取值范围为.6．（22-23高三上·安徽阜阳·期末）已知椭圆C的焦点为为C上一点满足，则C的离心率取值范围是．四、解答题7．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为12．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为．(1)求椭圆的方程．(2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．8．（22-23高二下·浙江杭州·期末）设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点，.当直线垂直于轴时，.

(1)求抛物线的标准方程.(2)已知点，直线，分别与抛物线交于点，.①求证：直线过定点；②求与面积之和的最小值.【基础保分训练】一、单选题1．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知F为椭圆的右焦点，P为C上一点，Q为圆上一点，则的最大值为（

）A．5 B． C． D．62．（21-22高二上·陕西西安·期末）已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（

）A．9 B．8 C．7 D．63．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，为坐标原点，记与的面积分别为和，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题4．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知椭圆的左焦点为，点是上任意一点，则的值可能是（

）A． B．3 C．6 D．85．（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）设抛物线的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率可以是（）A． B．C．1 D．26．（21-22高二·江苏·假期作业）已知双曲线：，下列结论正确的是（

）A．双曲线的渐近线方程为B．双曲线的焦点到渐近线的距离为C．与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线一定没有交点D．若直线与双曲线没有交点，则的取值范围为三、填空题7．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）若P是椭圆上一动点，，则的最大值为．8．（2024·全国·模拟预测）已知点是抛物线：上的动点，过点作圆：的切线，切点为，则的最小值为.9．（2023·浙江·一模）已知，分别是双曲线的左右焦点，且C上存在点P使得，则a的取值范围是．四、解答题10．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点．(1)求直线的斜率k的取值范围；(2)若线段，的中点分别为M，N，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标．11．（2022·江苏盐城·三模）已知双曲线：过点，渐近线方程为，直线是双曲线右支的一条切线，且与的渐近线交于A，B两点．(1)求双曲线的方程；(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．12．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，且当，时，．(1)求抛物线的方程；(2)若，求面积的最小值．【能力提升训练】一、单选题1．（22-23高三上·山西·阶段练习）已知点F为抛物线C：的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，则的最小值为（

）A．64 B．54 C．50 D．482．（2023·河北邯郸·三模）在平面直角坐标系内，已知，，动点满足，则（）的最小值是（

）A． B．2 C．4 D．163．（2023·安徽蚌埠·一模）若椭圆上存在两点到点的距离相等，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题4．（2022·河北唐山·二模）双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点．若双曲线C的方程为，下列结论正确的是（

）A．若，则B．当n过时，光由所经过的路程为13C．射线n所在直线的斜率为k，则D．若，直线PT与C相切，则5．（23-24高二上·广西南宁·期中）已知椭圆，、分别为它的左右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（

）A．点到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1B．的最小值为C．若为直角三角形，则的面积为D．的范围为6．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线的右支上一点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，则（）A．的最小值为8B．为定值C．若直线与双曲线相切，则点的纵坐标之积为；D．若直线经过，且与双曲线交于另一点，则的最小值为.三、填空题7．（2023·辽宁·一模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，点、在椭圆C上，满足，，若椭圆C的离心率，则实数λ取值范围为.8．（21-22高二上·江西抚州·阶段练习）椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为为坐标原点，，则的取值范围是.9．（2022高二上·全国·专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为．四、解答题10．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为12．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为．(1)求椭圆的方程．(2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．11．（2023·广西柳州·二模）已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同交点，且直线交轴于，直线交轴于.(1)求直线斜率的取值范围；(2)证明：存在定点，使得，且.12．（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知双曲线经过点，点与点关于原点对称，为上一动点，且异于两点.(1)求的离心率；(2)若△的重心为，点，求的最小值；(3)若△的垂心为，求动点的轨迹方程.13．（2022·全国·高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．(1)求C的方程；(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．14．（2024·山东济宁·一模）已知椭圆，直线与椭圆交于A、B两点，为坐标原点，且，，垂足为点．(1)求点的轨迹方程；(2)求面积的取值范围．

2025二轮复习专项训练27最值、范围问题[考情分析]解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识模块，最值、范围问题是高考考查的重点知识，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等，试题难度较大，多次以压轴题出现．【练前疑难讲解】一、最值问题圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法一是几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为关于某个(些)变量的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．二、范围问题范围问题的求解策略解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，其方法有：(1)利用判别式来构造不等式；(2)利用已知参数的取值范围；(3)利用隐含的不等关系；(4)利用已知不等关系构造不等式；(5)利用函数值域的求法．一、单选题1．（22-23高三上·广西桂林·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（

）A． B．4 C．6 D．2．（2023·全国·模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，是椭圆上异于的一点．若椭圆的离心率的取值范围是，则直线，斜率之积的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题3．（2023·山东烟台·二模）已知双曲线C经过点，且与椭圆有公共的焦点，点M为椭圆的上顶点，点P为C上一动点，则（

）A．双曲线C的离心率为 B．C．当P为C与的交点时， D．的最小值为14．（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）已知点是左、右焦点为，的椭圆：上的动点，则（

）A．若，则的面积为B．使为直角三角形的点有6个C．的最大值为D．若，则的最大、最小值分别为和三、填空题5．（23-24高二上·重庆沙坪坝·阶段练习）过椭圆上一动点分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的取值范围为.6．（22-23高三上·安徽阜阳·期末）已知椭圆C的焦点为为C上一点满足，则C的离心率取值范围是．四、解答题7．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为12．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为．(1)求椭圆的方程．(2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．8．（22-23高二下·浙江杭州·期末）设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点，.当直线垂直于轴时，.

(1)求抛物线的标准方程.(2)已知点，直线，分别与抛物线交于点，.①求证：直线过定点；②求与面积之和的最小值.参考答案：题号1234答案DDACDBCD1．D【分析】首先利用双曲线的定义转化，再结合图象，求的最小值，再联立方程求交点坐标.【详解】由题意并结合双曲线的定义可得，当且仅当，，三点共线时等号成立.而直线的方程为，由可得，所以，所以点的坐标为32,所以当且仅当点的坐标为32,12时，的最小值为故选：D.2．D【分析】先设点的坐标，然后将的坐标代入方程中，相减，构造出直线，的斜率，相乘转化只含有的表达式，再根据的关系以及椭圆的离心率的取值范围是建立不等式，求出直线，斜率之积的取值范围即可.【详解】设，由直线与椭圆交于两点可知两点关于原点对称，所以且，由题意知：，两式相减得：，即，又，由椭圆的离心率的取值范围是，即，所以，即，故选：D.3．ACD【分析】根据题意中的点求出双曲线方程，结合离心率的定义即可判断A；根据双曲线的渐近线，结合图形即可判断B；根据椭圆与双曲线的定义，结合余弦定理计算即可判断C；由两点距离公式，结合二次函数的性质即可判断D.【详解】A：由题意，，设双曲线的标准方程为，将点代入得，所以双曲线方程为，得其离心率为，故A正确；B：由A选项的分析知，双曲线的渐近线方程为，如图，，所以，得，故B错误；C：当P为双曲线和椭圆在第一象限的交点时，由椭圆和双曲线的定义知，，解得，又，在中，由余弦定理得，故C正确；D：设，则，所以，当时，，故D正确.故选：ACD.4．BCD【分析】根据焦点三角形面积的相关结论即可判断A；结合椭圆性质可判断B；结合椭圆定义可求线段和差的最值，判断CD.【详解】A选项：由椭圆方程，所以，，所以，所以的面积为，故A错误；B选项：当或时为直角三角形，这样的点有4个，设椭圆的上下顶点分别为，，则,同理，知，所以当位于椭圆的上、下顶点时也为直角三角形，其他位置不满足，满足条件的点有6个，故B正确；C选项：由于，所以当最小即时，取得最大值，故C正确；D选项：因为，又，则的最大、最小值分别为和，当点位于直线与椭圆的交点时取等号，故D正确.故选：BCD5．【分析】易知两圆的圆心为椭圆的两焦点，由勾股定理可得，，由椭圆的定义可得，设，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】，，，易知、为椭圆的两个焦点，，

根据椭圆定义，设，则，即，则，当时，取到最小值．当时，取到最大值．故的取值范围为：.故答案为：.6．【分析】设，，利用余弦定理可得，再结合基本不等式推出，即可求得答案.【详解】设椭圆C的方程为，设，，则，在中，，有,得，即，故，因为，即，当且仅当时取等号，故，即，故，解得，由，所以C的离心率取值范围是，故答案为：7．(1)(2)存在，使得恒成立.【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：，，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用表示，再根据可求的范围.【详解】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距，所以，故，故，所以，，故椭圆方程为：.（2）若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：，设，由可得，故且而，故，因为恒成立，故，解得.若过点的动直线的斜率不存在，则或，此时需，两者结合可得.综上，存在，使得恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.8．(1)(2)①证明见解析；②.【分析】（1）利用弦长求解p，即可求解抛物线方程；（2）（i）设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可求出定点；（ii）利用面积分割法求出两个三角形面积表达式，然后利用二次函数求最值即可.【详解】（1）由题意，当直线垂直于轴时，，代入抛物线方程得，则，所以，即，所以抛物线.（2）（i）设，，直线，与抛物线联立，得，因此，.设直线，与抛物线联立，得，因此，，则.同理可得.所以.因此直线，由对称性知，定点在轴上，令得，，所以直线过定点.（ii）因为，，所以，当且仅当时取到最小值.【基础保分训练】一、单选题1．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知F为椭圆的右焦点，P为C上一点，Q为圆上一点，则的最大值为（

）A．5 B． C． D．62．（21-22高二上·陕西西安·期末）已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（

）A．9 B．8 C．7 D．63．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，为坐标原点，记与的面积分别为和，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题4．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知椭圆的左焦点为，点是上任意一点，则的值可能是（

）A． B．3 C．6 D．85．（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）设抛物线的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率可以是（）A． B．C．1 D．26．（21-22高二·江苏·假期作业）已知双曲线：，下列结论正确的是（

）A．双曲线的渐近线方程为B．双曲线的焦点到渐近线的距离为C．与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线一定没有交点D．若直线与双曲线没有交点，则的取值范围为三、填空题7．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）若P是椭圆上一动点，，则的最大值为．8．（2024·全国·模拟预测）已知点是抛物线：上的动点，过点作圆：的切线，切点为，则的最小值为.9．（2023·浙江·一模）已知，分别是双曲线的左右焦点，且C上存在点P使得，则a的取值范围是．四、解答题10．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点．(1)求直线的斜率k的取值范围；(2)若线段，的中点分别为M，N，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标．11．（2022·江苏盐城·三模）已知双曲线：过点，渐近线方程为，直线是双曲线右支的一条切线，且与的渐近线交于A，B两点．(1)求双曲线的方程；(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．12．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，且当，时，．(1)求抛物线的方程；(2)若，求面积的最小值．参考答案：题号123456答案BABBCBCABD1．B【分析】由题意设椭圆的左焦点为，作出图形，结合图形和椭圆的定义可知当三点共线时取到最大值.【详解】由题意知，，设椭圆的左焦点为，如图，P为C上一点，Q为圆上一点，，半径为1，，当且仅当三点共线时，等号成立，所以的最大值为.故选：B2．A【分析】由双曲线方程求出，再根据点在双曲线的两支之间，结合可求得答案【详解】由，得，则，所以左焦点为，右焦点，则由双曲线的定义得，因为点在双曲线的两支之间，所以，所以，当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为9，故选：A3．B【分析】设出直线，联立，得到两根之和，两根之积，得，，，利用基本不等式即可求出最值.【详解】由题意得：，设直线，联立得：，设，不妨令，则，故，，则，当且仅当，即时，等号成立.故选：B4．BC【分析】根据到焦点距离的范围求解即可.【详解】由题意可知，所以，即.故选：BC.5．BC【分析】设直线方程，并与抛物线联立方程，再用根的判别式来处理，即可求得斜率范围.【详解】抛物线的准线与x轴交于点Q，

准线为，Q点的坐标，又直线l过点Q，且斜率必存在，可设l：，联立，可得，当时，得，即交点为，当时，由得，即，解得，或，综上，k的取值范围是．故选：BC.6．ABD【分析】A选项，利用焦点在轴上的双曲线方程为进行求解；B选项，利用点到直线距离公式进行求解；C选项，与渐近线平行的直线与双曲线有一个焦点；D选项，直线的斜率与渐近线斜率相比较，得到的取值范围．【详解】解：对于，由双曲线：，则，，所以其渐近线方程为，故A正确；对于B，由双曲线：，则，，，其焦点坐标为，其渐近线方程为，所以一个焦点到渐近线的距离为，故B正确；对于C，与渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个交点，故C不正确；对于D，若直线与双曲线没有交点，则的斜率应该和双曲线渐近线斜率比较，则或，故D正确．故选：ABD．7．4【分析】令，应用两点距离公式有，结合椭圆的有界性求最大值.【详解】令，则，又，所以，又，当时，的最大值为4.故答案为：48．【分析】设，求出到圆的圆心的距离的最小值，然后根据勾股定理求解MA的最小值．【详解】设，则，故当时，取最小值.又由圆的切线性质可得此时.故答案为：9．【分析】根据双曲线的定义结合条件可得，，进而可得，即得.【详解】因为，双曲线，又，所以，，又，解得，即a的取值范围是.故答案为：.10．(1)；(2)证明见解析；定点.【分析】（1）根据直线，均与椭圆相交，联立方程利用求解；（2）利用韦达定理分别求M，N的坐标，进而求出直线的方程判断定点．【详解】（1）根据题意直线，的斜率均存在且不为0直线，分别为，，联立得，由得，则或，同理，则，所以k的取值范围为．（2）设，，由（1）得，所以，则，所以，则，同理，则直线的方程为，化简整理得因此直线经过一个定点．11．(1)(2)2【分析】（1）由渐近线可得，再把点代入方程即可解得；（2）点M到y轴的距离的即为点M的横坐标为，联立方程利用韦达定理可求，分析求解即可，但要注意讨论直线的斜率是否存在．【详解】（1）由题设可知，解得则：．（2）设点M的横坐标为当直线斜率不存在时，则直线：易知点到轴的距离为﹔当直线斜率存在时，设：，，，联立，整理得，，整理得联立，整理得，则，则，即则，即∴此时点到轴的距离大于2；综上所述，点到轴的最小距离为2．12．(1)(2)【分析】（1）已知条件直线的解析式为，设Ax1,y1，B（2）利用得到m，n的关系，利用面积公式将的面积表示为关于n的函数，结合二次函数的性质可得答案．【详解】（1）当，时，直线的解析式为．设Ax1,y1，Bx2，，，解得．，，整理得，解得（舍负），抛物线的方程为．（2）由（1）知，，设Ax1,y1消去并整理得，，，，．，，即，整理得．将，，代入上式得．又，，且，解得或．点到直线的距离，，的面积．又或，当时，的面积最小，且最小面积为．【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解；（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）．【能力提升训练】一、单选题1．（22-23高三上·山西·阶段练习）已知点F为抛物线C：的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，则的最小值为（

）A．64 B．54 C．50 D．482．（2023·河北邯郸·三模）在平面直角坐标系内，已知，，动点满足，则（）的最小值是（

）A． B．2 C．4 D．163．（2023·安徽蚌埠·一模）若椭圆上存在两点到点的距离相等，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题4．（2022·河北唐山·二模）双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点．若双曲线C的方程为，下列结论正确的是（

）A．若，则B．当n过时，光由所经过的路程为13C．射线n所在直线的斜率为k，则D．若，直线PT与C相切，则5．（23-24高二上·广西南宁·期中）已知椭圆，、分别为它的左右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（

）A．点到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1B．的最小值为C．若为直角三角形，则的面积为D．的范围为6．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线的右支上一点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，则（）A．的最小值为8B．为定值C．若直线与双曲线相切，则点的纵坐标之积为；D．若直线经过，且与双曲线交于另一点，则的最小值为.三、填空题7．（2023·辽宁·一模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，点、在椭圆C上，满足，，若椭圆C的离心率，则实数λ取值范围为.8．（21-22高二上·江西抚州·阶段练习）椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为为坐标原点，，则的取值范围是.9．（2022高二上·全国·专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为．四、解答题10．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为12．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为．(1)求椭圆的方程．(2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．11．（2023·广西柳州·二模）已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同交点，且直线交轴于，直线交轴于.(1)求直线斜率的取值范围；(2)证明：存在定点，使得，且.12．（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知双曲线经过点，点与点关于原点对称，为上一动点，且异于两点.(1)求的离心率；(2)若△的重心为，点，求的最小值；(3)若△的垂心为，求动点的轨迹方程.13．（2022·全国·高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．(1)求C的方程；(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．14．（2024·山东济宁·一模）已知椭圆，直线与椭圆交于A、B两点，为坐标原点，且，，垂足为点．(1)求点的轨迹方程；(2)求面积的取值范围．参考答案：题号123456答案CCBCDACDAB1．C【分析】利用韦达定理表示出弦长和，利用基本不等式可求最小值.【详解】抛物线：的焦点，因为，所以直线，斜率存在，且均不为0.设直线的方程为，，，由得，所以，所以，因为，所以将中的替换为可得，所以，当且仅当，即时取等号.故的最小值是50.故选:C.2．C【分析】由题意求出点P的轨迹方程，则可以看成圆上动点与定直线上动点的距离，求得其最小值，即可求得答案.【详解】因为，，动点满足，则，整理得，可以看成圆上动点与定直线上动点的距离，其最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径2，即，因此，的最小值是，故选：C.3．B【分析】利用点差法可得直线AB的斜率，从而可得AB垂直平分线直线方程，由点P在AB垂直平分线上，结合AB的中点在椭圆内可解.【详解】记中点为，则，由题意点在线段的中垂线上，将坐标代入椭圆方程得两式相减可得，所以，得，所以的中垂线的方程为，令得，由题意，，故，所以所以故选：B.4．CD【分析】对于A：判断出，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于B：利用双曲线的定义直接求得；对于C：先求出双曲线的渐近线方程，由P在双曲线右支上，即可得到n所在直线的斜率的范围；对于D：设直线PT的方程为.利用相切解得，进而求出.即可求出.【详解】对于A：若，则.因为P在双曲线右支上，所以.由勾股定理得：二者联立解得：.故A错误；对于B：光由所经过的路程为.故B错误；对于C：双曲线的方程为.设左、右顶点分别为A、B.如图示：当与同向共线时，的方向为，此时k=0，最小.因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为.即.故C正确.对于D：设直线PT的方程为.，消去y可得：.其中，即，解得代入，有，解得：x=9.由P在双曲线右支上，即，解得：（舍去），所以.所以.故D正确故选：CD5．ACD【分析】对于A,利用焦半径的范围求解即可；对于B，利用位于椭圆上顶点时最大求解即可；对于C，利用点坐标求的面积即可；对于D，设利用二次函数求的范围即可.【详解】对A，易知，则，故A正确；对B，位于椭圆上顶点时最大，此时最小，且故此时为等边三角形，，故B错误；对C，若为直角三角形，由B知，，所以或，不妨设，则此时点横坐标，代入，得，故的面积为：，故C正确；对D，,设则，由得：，故，故，故D正确.故选：ACD6．AB【分析】设，由，可判定A正确；化简，可判定B正确；设直线的方程为，联立方程组，结合，得到，在化简，可判定C不正确；根据通经长和实轴长，可判定D错误.【详解】由题意，双曲线，可得，则，所以焦点，且，设，则，且，即，双曲线的两条渐近线的方程为，对于A中，由，所以A正确；对于B中，（定值），所以B正确；对于C中，不妨设，直线的方程为，联立方程组，整理得，若直线与双曲线相切，则，整理得，联立方程组，解得，即点的纵坐标为，联立方程组，解得，即点的纵坐标为，则点的纵坐标之积为所以C不正确；对于D中，若点在双曲线的右支上，则通经最短，其中通经长为，若点在双曲线的左支上，则实轴最短，实轴长为，所以D错误.故选：AB.7．【分析】先写出点、的坐标，再利用求得点的坐标，将点的坐标代入椭圆C方程即可化简出实数λ与离心率的关系，从而得到实数λ取值范围.【详解】根据题意知，由得，不妨设点在第一象限，则点的坐标为.由知，且，从而得到点的坐标为.将点的坐标代入椭圆C方程得，整理得，即，所以.又因为，所以，即实数λ取值范围为.故答案为：.8．【分析】根据椭圆和双曲线得定义求得，再根据，可得，从而有，求出的范围，根据，结合基本不等式即可得出答案.【详解】解：设，则有，所以，即，又因为，所以，所以，即，则，由，得，所以，所以，则，由，得，因为，当且仅当，即时，取等号，因为，所以，所以，即，所以的取值范围是.故答案为：.9．22【分析】由双曲线的定义可得，，据此，再由两点的位置特征可得是双曲线的通径时，最小，从而可得答案.【详解】根据双曲线，得，，由双曲线的定义可得：①，②，①+②可得：，由于过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于，两点，可得，即有．则，当是双曲线的通径时最小，故.故答案为：2210．(1)(2)存在，使得恒成立.【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：，，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用表示，再根据可求的范围.【详解】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距，所以，故，故，所以，，故椭圆方程为：.（2）若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：，设，由可得，故且而，故，因为恒成立，故，解得.若过点的动直线的斜率不存在，则或，此时需，两者结合可得.综上，存在，使得恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.11．(1)(2)证明见解析【分析】（1）由抛物线过可求得抛物线方程，设，与抛物线方程联立，由可得的范围，并确定韦达定理结论；根据可求得且，由此可确定的范围；（2）易知在轴上，设，利用向量数乘的坐标运算可得，，求得方程后，令可推导得到，同理得到，代入中，整理后代入韦达定理的结论可构造方程求得的值，从而确定定点.【详解】（1）抛物线经过点，，解得：，抛物线；由题意知：直线斜率存在，设，，，由y=kx+1x2，解得：或；，x1x2=−4k，，又直线与轴相交于两点，，即，解得：且；综上所述：直线斜率的取值范围为.（2）设点，，由，，知：共线，即在轴上，则可设，，，，，，同理可得：，，直线，令得：，同理可得：，，，由（1）知：，x1x，解得：，存在定点满足题意.【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中存在定点满足某条件的问题，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式或构造方程；④化简所得函数式或方程，整理可得定点坐标.12．(1)(2)(3)（去除点）.【分析】（1）将点代入双曲线的方程求出值，即可求得的离心率；（2）根据三角形的重心公式求得动点的轨迹方程，根据两点间距离公式求出的最小值；（3）根据求动点的轨迹方程.【详解】（1）因为双曲线经过点，所以，解得，