高考数学二轮复习专项训练24直线与圆含答案及解析

2025二轮复习专项训练14直线与圆[考情分析]直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是高考的重点，考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题，试题难度为中档．【练前疑难讲解】一、直线的方程1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．两个距离公式(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))(A2＋B2≠0)．(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).二、圆的方程圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，圆心为(a，b)，半径为r.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径为r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2).三、直线、圆的位置关系直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离．一、单选题1．（2024·江苏·一模）设为坐标原点，圆与轴切于点，直线交圆于两点，其中在第二象限，则（

）A． B． C． D．2．（2024·全国·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则AB的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．3．（2024·河北沧州·二模）若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．4．（2023·北京门头沟·一模）若点是圆上的任一点，直线与轴、轴分别相交于、两点，则的最小值为（

）A． B． C． D．5．（2024·江西宜春·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（

）A． B． C． D．6．（23-24高二上·江苏·阶段练习）在直角坐标平面内，点到直线的距离为3，点到直线的距离为2，则满足条件的直线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题7．（2024·全国·模拟预测）已知圆关于直线对称的圆的方程为，则下列说法正确的是（

）A．若点是圆上一点，则的最大值是B．圆关于直线对称C．若点是圆上一点，则的最小值是D．直线与圆相交8．（2023·山东·模拟预测）已知点为圆：上的动点，点的坐标为，，设点的轨迹为曲线，为坐标原点，则下列结论正确的有（

）A．的最大值为2B．曲线的方程为C．圆与曲线有两个交点D．若，分别为圆和曲线上任一点，则的最大值为9．（2024·湖南衡阳·二模）已知圆是直线上一动点，过点作直线分别与圆相切于点，则（

）A．圆上恰有一个点到的距离为 B．直线恒过点C．的最小值是 D．四边形面积的最小值为10．（2024·全国·一模）在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是曲线．则下列说法正确的是（）A．曲线的方程为B．若直线与曲线相交，则弦最短时C．当三点不共线时，若点，则射线平分D．过A作曲线的切线，切点分别为，则直线的方程为三、填空题11．（2024·湖北武汉·二模）与直线和直线都相切且圆心在第一象限，圆心到原点的距离为的圆的方程为．12．（21-22高二上·湖北·期末）曲线所围成的封闭图形的面积为．13．（23-24高二上·河北保定·期中）已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为.14．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知圆，圆，直线．若直线与圆交于两点，与圆交于两点，分别为的中点，则．【基础保分训练】一、单选题1．（22-23高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如下图是重庆千厮门嘉陵江大桥，共有对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距均为．最短拉索的锚，满足，，则最长拉索所在直线的斜率为（

）A． B． C． D．2．（2024·山东·二模）已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则的右焦点到直线的距离为（

）A．2 B． C． D．43．（2024·云南昆明·模拟预测）已知是圆的切线，点为切点，若，则点的轨迹方程是（

）A． B． C． D．4．（23-24高二上·湖南长沙·期末）直线，圆．则直线被圆所截得的弦长为（

）A．2 B．4 C． D．5．（2024·辽宁·二模）已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（

）A． B．C． D．6．（2024·江苏南京·二模）“”是“过点有两条直线与圆相切”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．（2024·浙江丽水·二模）复数满足（为虚数单位），则的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．68．（2023·吉林白山·一模）已知圆与直线，P，Q分别是圆C和直线l上的点且直线PQ与圆C恰有1个公共点，则的最小值是（

）A． B． C． D．9．（2024·云南昆明·一模）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形的面积为（

）A．4 B． C．8 D．10．（2024·广东佛山·二模）已知P是过，，三点的圆上的动点，则的最大值为（

）A． B． C．5 D．2011．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，若，则（

）A． B．1 C． D．212．（2024·山东·模拟预测）已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．内切 D．内含13．（2024·辽宁·模拟预测）已知圆：与圆：交于A，B两点，当变化时，的最小值为，则（

）A．0 B．±1 C．±2 D．14．（2024·河北石家庄·三模）已知圆和圆，则两圆公切线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题15．（2024·云南昆明·模拟预测）设直线：与圆C：，则下列结论正确的为（

）A．直线与圆C可能相离B．直线不可能将圆C的周长平分C．当时，直线被圆C截得的弦长为D．直线被圆C截得的最短弦长为16．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知圆，圆，则下列结论正确的是（

）A．若和外离，则或B．若和外切，则C．当时，有且仅有一条直线与和均相切D．当时，和内含17．（2024·广东肇庆·模拟预测）已知曲线的方程为，则（

）A．当时，曲线表示双曲线B．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆C．当时，曲线表示圆D．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆18．（2024·浙江温州·一模）若圆与直线相切，且与圆相切于点，则圆的半径为（

）A．5 B．3 C． D．三、填空题19．（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线在处的切线与直线垂直，则.20．（2024·湖南·二模）已知直线是圆的切线，点和点到的距离相等，则直线的方程可以是.（写出一个满足条件的即可）21．（21-22高三上·江苏连云港·期中）已知抛物线与坐标轴交于，，三点，则外接圆的标准方程为.22．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）点为圆上的动点，则的取值范围为.【能力提升训练】一、单选题1．（23-24高二上·重庆·阶段练习）如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．2．（2024·北京·三模）已知，若点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（23-24高二上·安徽阜阳·期中）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离为：.已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（

）A． B． C． D．4．（2024·重庆·一模）过点作圆的两条切线，切点分别为，若为直角三角形，为坐标原点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．5．（2023·北京西城·模拟预测）已知圆，过直线上的动点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．26．（22-23高一下·陕西西安·期末）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A． B． C． D．7．（2024·河北沧州·一模）过点作圆相互垂直的两条弦与，则四边形的面积的最大值为（

）A． B． C． D．158．（2024·广西贺州·一模）已知点P为直线与直线的交点，点Q为圆上的动点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．9．（2024·浙江·模拟预测）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则原点到直线的距离为（

）A． B． C． D．10．（22-23高二下·安徽合肥·开学考试）若两圆和恰有三条公切线，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题11．（23-24高三下·江西·阶段练习）设分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象限内任意一点，分别表示直线的斜率，则（

）A．存在点，使得 B．存在点，使得C．存在点，使得 D．存在点，使得12．（2024·辽宁抚顺·三模）已知抛物线，过点作直线，直线与交于两点．在轴上方，直线与交于两点，在轴上方，连接，若直线过点，则下列结论正确的是（

）A．若直线的斜率为1，则直线的斜率为B．直线过定点C．直线与直线的交点在直线上D．与的面积之和的最小值为．13．（2024·河南南阳·一模）已知双曲线上一点A到其两条渐近线的距离之积为，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．14．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知曲线，其中，则（

）A．存在使得C为两条直线B．存在使得C为圆C．若C为椭圆，则越大，C的离心率越大D．若C为双曲线，则越大，C的离心率越小三、填空题15．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知直线与直线，若，则的最大值为.16．（2024·陕西安康·模拟预测）已知直线与均与相切，点在上，则的方程为.17．（2024·广东广州·二模）已知分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过三点的圆恰与轴相切，则的离心率为．18．（2024·浙江·模拟预测）点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是.

2025二轮复习专项训练14直线与圆[考情分析]直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是高考的重点，考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题，试题难度为中档．【练前疑难讲解】一、直线的方程1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．两个距离公式(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))(A2＋B2≠0)．(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).二、圆的方程圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，圆心为(a，b)，半径为r.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径为r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2).三、直线、圆的位置关系直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离．一、单选题1．（2024·江苏·一模）设为坐标原点，圆与轴切于点，直线交圆于两点，其中在第二象限，则（

）A． B． C． D．2．（2024·全国·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则AB的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．3．（2024·河北沧州·二模）若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．4．（2023·北京门头沟·一模）若点是圆上的任一点，直线与轴、轴分别相交于、两点，则的最小值为（

）A． B． C． D．5．（2024·江西宜春·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（

）A． B． C． D．6．（23-24高二上·江苏·阶段练习）在直角坐标平面内，点到直线的距离为3，点到直线的距离为2，则满足条件的直线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题7．（2024·全国·模拟预测）已知圆关于直线对称的圆的方程为，则下列说法正确的是（

）A．若点是圆上一点，则的最大值是B．圆关于直线对称C．若点是圆上一点，则的最小值是D．直线与圆相交8．（2023·山东·模拟预测）已知点为圆：上的动点，点的坐标为，，设点的轨迹为曲线，为坐标原点，则下列结论正确的有（

）A．的最大值为2B．曲线的方程为C．圆与曲线有两个交点D．若，分别为圆和曲线上任一点，则的最大值为9．（2024·湖南衡阳·二模）已知圆是直线上一动点，过点作直线分别与圆相切于点，则（

）A．圆上恰有一个点到的距离为 B．直线恒过点C．的最小值是 D．四边形面积的最小值为10．（2024·全国·一模）在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是曲线．则下列说法正确的是（）A．曲线的方程为B．若直线与曲线相交，则弦最短时C．当三点不共线时，若点，则射线平分D．过A作曲线的切线，切点分别为，则直线的方程为三、填空题11．（2024·湖北武汉·二模）与直线和直线都相切且圆心在第一象限，圆心到原点的距离为的圆的方程为．12．（21-22高二上·湖北·期末）曲线所围成的封闭图形的面积为．13．（23-24高二上·河北保定·期中）已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为.14．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知圆，圆，直线．若直线与圆交于两点，与圆交于两点，分别为的中点，则．参考答案：题号12345678910答案DCCADCABCDBCDACD1．D【分析】先根据圆的弦长公式求出线段的长度，再求出直线的倾斜角，即可求得与的的夹角，进而可得出答案.【详解】由题意，圆心，到直线距离为，所以，直线的斜率为，则其倾斜角为，则与的的夹角为，所以.故选：D．

2．C【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得，即，令得，故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，AB最小，，此时.

故选：C3．C【分析】由点在圆外代入圆的方程可得，再由圆的一般方程中可得，最后求交集即可.【详解】由题意知，故，又由圆的一般方程，可得，即，即或，所以实数的范围为.故选：C.4．A【分析】作出图形，分析可知当直线与圆相切，且切点位于轴下方时，取最小值，求出、的大小，可求得的最小值.【详解】如下图所示：直线的斜率为，倾斜角为，故，圆的标准方程为，圆心为，半径为，易知直线交轴于点，所以，，由图可知，当直线与圆相切，且切点位于轴下方时，取最小值，由圆的几何性质可知，且，则，故.故选：A.5．D【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，再求出圆心到公共弦的距离，由弦长即可求出两圆的公共弦长.【详解】由，作差得两圆的公共弦所在直线的方程为．由，得．所以圆心，半径，则圆心到公共弦的距离．所以两圆的公共弦长为．故选：D．6．C【分析】将问题转化为求以点为圆心，以3为半径的圆和以点为圆心，以2为半径的圆的公切线的条数求解.，【详解】到点距离为3的直线可看作以A为圆心3为半径的圆的切线，同理到点距离为2的直线可看作以B为圆心2为半径的圆的切线，故所求直线为两圆的公切线，又，故两圆外切，所以公切线有3条，故选：C7．AB【分析】根据点关于直线对称可得，进而可得圆方程，根据斜率的意义，结合直线与圆相切即可求解A，根据圆心在直线上即可求解B，根据点到直线的距离公式即可求解CD.【详解】设圆的圆心为．因为圆关于直线对称的圆的方程为，圆的圆心为，半径为2，所以圆的半径为2，两圆的圆心关于直线对称，则解得所以，故圆的方程为．对于A，的几何意义为圆上的点Px,y与坐标原点O0,0连线的斜率，如图，过原点作圆的切线，当切线的斜率存在时，设切线方程为，即，所以圆心到直线的距离，解得，故由图可知的最大值是，故A正确；

对于B，圆心在直线上，则圆关于直线对称，故B正确；对于C，表示圆上任意一点到直线的距离的倍，圆心到直线的距离为，所以的最小值是，故C错误；对于D，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，故D错误．故选:AB．8．CD【分析】根据直线与圆相切，结合正切的和差角公式即可求解A，根据向量关系，代入坐标运算即可求解B，根据两圆圆心距离与半径的关系即可判断C，根据三点共线即可求解D.【详解】对于A，当直线与圆在第一象限相切时，（如图）此时最大，进而最大，由于圆：的圆心，半径，故,因此,,故A错误，对于B，设Bx,y，则，由于在圆：上，代入可得：，故B错误，对于C，由于曲线的方程为，为圆心为，半径为的圆，故两圆圆心距离为，故两圆相交，因此有两个交点，故C正确，对于D，由于，当且仅当三点共线时，如图,故的最大值为,故D正确，故选：CD9．BCD【分析】根据直线与圆的位置关系，求出圆上点到直线距离的最值可判断A错误；求出直线的方程可得其恒过点，利用弦长公式可求得AB的最小值是，可得BC正确；进而求得四边形面积的最小值为，即D正确.【详解】易知圆心，半径，如下图所示：对于A，圆心到直线的距离为，可得圆上的点到直线距离的最小值为,圆上的点到直线距离的最大值为，所以圆上恰有两个点到的距离为，即A错误；对于B，设，可得；易知，由，整理可得，同理可得，即可知两点在直线上，所以直线的方程为，即，令，解得，所以直线恒过定点，即B正确；对于C，由直线恒过定点，当点与圆心的连线垂直于时，AB的值最小，点与圆心之间的距离为，所以，故C正确；对于D，四边形的面积为，根据切线长公式可知，当PC最小值，最小，，所以，故四边形的面积为，即D正确；故选：BCD10．ACD【分析】由点的轨迹满足已知条件列两点间距离公式化简可求A选项；由弦长公式和基本不等式可求B选项；由角平分线定理的逆定理可求C选项；由几何关系和两圆方程相减可得两圆公共弦方程可求D选项.【详解】A：设Px,y，因为A−2,0，动点满足，所以，化简可得，故A正确；B：由选项A可知，圆心1,0，半径，设圆心到直线的距离为，则，设弦长为，由弦长公式得，因为，当且仅当，取等号，所以弦最短时，故B错误；C：因为，则，又，所以，，则，所以由角平分线定理的逆定理可知射线平分，故C正确；D：过A作曲线的切线，切点分别为，则由集合关系可知在以为直径的圆上，半径为，圆心为，此圆方程为，两圆方程相减可得公共线的方程为，故D正确；故选：ACD.11．【分析】设圆心坐标，根据题意列关于的方程，求出它们的值，进而求得半径，即可得答案.【详解】设圆心坐标为，由于所求圆与直线和直线都相切，故，化简为，而，则，又圆心到原点的距离为，即，解得，即圆心坐标为，则半径为，故圆的方程为，故答案为：12．【分析】首先判断曲线关于轴，轴对称，从而确定曲线在第一象限内与轴所围成的图形，再求出图形的面积.【详解】对于曲线，在上式中，将y换成得，即曲线关于x轴对称，将x换成得，即曲线关于y轴对称，因此只需考虑在第一象限的情形，当，时曲线即，即，所以曲线在第一象限内与x轴所围成的图形是由半径为的圆去掉一个等腰直角三角形而形成的图形，根据对称性可得曲线所围成的封闭图形为下图阴影部分，所以所围成的封闭图形的面积．故答案为：.13．【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再表示出渐近线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可得到，即可求出离心率.【详解】圆即，圆心为，半径，双曲线的渐近线方程为，依题意，即，又，所以，所以离心率.故答案为：14．【分析】利用点到直线的距离公式，以及两点之间的距离公式，结合几何关系，即可求得结果.【详解】设圆的半径为，由题可得：，故，满足，故两圆相交，连接，过作，垂足为，如下图所示：由点到直线的距离公式可得，，则，又，在直角三角形中，由勾股定理可得.故答案为：.【基础保分训练】一、单选题1．（22-23高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如下图是重庆千厮门嘉陵江大桥，共有对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距均为．最短拉索的锚，满足，，则最长拉索所在直线的斜率为（

）A． B． C． D．2．（2024·山东·二模）已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则的右焦点到直线的距离为（

）A．2 B． C． D．43．（2024·云南昆明·模拟预测）已知是圆的切线，点为切点，若，则点的轨迹方程是（

）A． B． C． D．4．（23-24高二上·湖南长沙·期末）直线，圆．则直线被圆所截得的弦长为（

）A．2 B．4 C． D．5．（2024·辽宁·二模）已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（

）A． B．C． D．6．（2024·江苏南京·二模）“”是“过点有两条直线与圆相切”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．（2024·浙江丽水·二模）复数满足（为虚数单位），则的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．68．（2023·吉林白山·一模）已知圆与直线，P，Q分别是圆C和直线l上的点且直线PQ与圆C恰有1个公共点，则的最小值是（

）A． B． C． D．9．（2024·云南昆明·一模）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形的面积为（

）A．4 B． C．8 D．10．（2024·广东佛山·二模）已知P是过，，三点的圆上的动点，则的最大值为（

）A． B． C．5 D．2011．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，若，则（

）A． B．1 C． D．212．（2024·山东·模拟预测）已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．内切 D．内含13．（2024·辽宁·模拟预测）已知圆：与圆：交于A，B两点，当变化时，的最小值为，则（

）A．0 B．±1 C．±2 D．14．（2024·河北石家庄·三模）已知圆和圆，则两圆公切线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题15．（2024·云南昆明·模拟预测）设直线：与圆C：，则下列结论正确的为（

）A．直线与圆C可能相离B．直线不可能将圆C的周长平分C．当时，直线被圆C截得的弦长为D．直线被圆C截得的最短弦长为16．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知圆，圆，则下列结论正确的是（

）A．若和外离，则或B．若和外切，则C．当时，有且仅有一条直线与和均相切D．当时，和内含17．（2024·广东肇庆·模拟预测）已知曲线的方程为，则（

）A．当时，曲线表示双曲线B．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆C．当时，曲线表示圆D．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆18．（2024·浙江温州·一模）若圆与直线相切，且与圆相切于点，则圆的半径为（

）A．5 B．3 C． D．三、填空题19．（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线在处的切线与直线垂直，则.20．（2024·湖南·二模）已知直线是圆的切线，点和点到的距离相等，则直线的方程可以是.（写出一个满足条件的即可）21．（21-22高三上·江苏连云港·期中）已知抛物线与坐标轴交于，，三点，则外接圆的标准方程为.22．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）点为圆上的动点，则的取值范围为.参考答案：题号12345678910答案CCBBCBBACB题号1112131415161718答案BDCCBDABCACBD1．C【分析】根据题意利用已知长度可分别计算，，再利用斜率的定义可解.【详解】根据题意，最短拉索的锚，满足，，且均为，拉索下端相邻两个锚的间距均为，则，即点，同理，又，即点，所以，，故选：C.2．C【分析】根据双曲线方程求出渐近线，解得的值，从而求得右焦点到直线的距离即可.【详解】双曲线的渐近线方程为，因为直线与双曲线的一条渐近线平行，所以，解得，所以双曲线的右焦点坐标为，所以的右焦点到直线的距离为.故选：C.3．B【分析】根据题意，由圆的定义可知点的轨迹为圆，再由圆的方程即可得到结果.【详解】因为，所以点到圆心的距离恒为，所以点的轨迹方程是以为圆心，为半径的圆，即，故选：B4．B【分析】将圆的一般方程化为标准方程，可得直线过圆心,从而可求解.【详解】圆的标准方程为,直线过圆心,所以直线被圆所截得的弦长等于直径长度4.故选:B．5．C【分析】根据对称可知是圆和圆圆心连线的垂直平分线，利用垂直关系求解斜率，由点斜式方程即可．【详解】圆，圆心，半径，，圆心，半径，由题意知，是圆和圆圆心连线的垂直平分线，，，的中点，圆心连线的斜率为，则直线的斜率为，故的方程：，即,故C正确．故选：C．6．B【分析】由已知点在圆外，求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得答案.【详解】由题意，点在圆外，则有，，所以“”是“过点有两条直线与圆相切”的必要不充分条件.故选：B7．B【分析】利用复数的几何意义及两点间的距离公式即可求解.【详解】设,则所以，又，所以，即，所以对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，表示复平面内的点到点的距离，所以的最小值是.故选：B.8．A【分析】，的最小值为圆心到直线的距离，可求的最小值.【详解】圆化为标准方程为，则圆C的圆心为，半径，则，直线PQ与圆C相切，有，因为点Q在直线l上，所以，则．即的最小值是.故选：A9．C【分析】根据两点距离公式可得，即可由勾股定理求解，由三角形面积公式即可求解.【详解】由，得,则圆心，则，则，则四边形的面积为.故选：C10．B【分析】由向量的坐标运算可得，即得是以为直径的圆上的三点，从而可求得结果.【详解】依题意，，则，因此线段是圆的直径，且，而点是该圆上的点，所以的最大值为.故选：B11．B【分析】先计算直线到圆心的距离，然后根据勾股定理得到，从而代入条件即可解出，从而得到.【详解】如图所示：

设坐标原点到直线的距离为，则.设线段的中点为，则，根据勾股定理，有.由，得，故，解得，故.故选：B.12．D【分析】根据点到直线的距离公式求的值，再利用几何法判断两圆的位置关系.【详解】圆：，所以圆心，半径为.由点到直线距离公式得：，且，所以.又圆的圆心，半径为：1.所以，.由，所以两圆内含.故选：D13．C【分析】先求两个圆的公共弦所在直线方程，利用勾股定理求出弦长的表达式，结合最值可得答案.【详解】两圆的公共弦所在线的方程为：，圆心到直线的距离为，，因为，所以，所以，解得.故选：C14．C【分析】根据圆与圆的位置关系求两圆圆心距及两圆半径，从而可判断两圆位置关系，即可得公切线条数.【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心，半径，则，故两圆外切，则两圆公切线的条数为.故选：C.15．BD【分析】对于A，由直线过圆内的定点即可判断；对于B，直线不可能过圆心即原点，由此即可判断；对于CD，由点到直线距离公式、圆的弦长公式验算即可.【详解】因为直线过定点，且点在圆内，所以直线与圆必相交，A错误；若直线将圆的周长平分，则直线过原点，此时直线的斜率不存在，但这是不可能的，所以B正确；当时，直线的方程为，圆心C到直线的距离为，所以直线被截得的弦长为，C错误；因为圆心到直线的距离为，所以直线被截得的弦长为，等号成立当且仅当，即，D正确，故选：BD.16．ABC【分析】首先得到两圆圆心坐标与半径，从而求出圆心距，再根据两圆的位置关系由圆心距与半径的和差关系得到不等式（方程），即可判断.【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，所以，若和外离，则，解得或，故A正确；若和外切，则，解得，故B正确；当时，，则和内切，故仅有一条公切线，故C正确；当时，，则和相交，故D错误.故选：ABC．17．AC【分析】根据双曲线，椭圆以及圆的性质即可结合选项逐一求解.【详解】对于A，当时，表示焦点在轴双曲线，故A正确，对于B，当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，B错误，对于C,当时，,表示圆，C正确，对于D,当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，D错误，故选：AC18．BD【分析】由已知得圆心在轴，设圆心为，然后由圆与直线相切及过点列方程组求得圆心后再求得半径．【详解】圆的圆心为，半径为1，圆与圆相切于点，则圆心在轴，设圆心为，则由题意，解得或，时，半径为，时，半径为，故选：BD．19．【分析】利用导函数的几何意义以及两直线的位置关系与斜率的关系求解.【详解】由题意得函数的导函数为，故在处切线的斜率为，直线的斜率存在为，根据题意得，，解得.故答案为:.20．（写出一个满足条件的即可）【分析】当时设的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径求出，若经过的中点，分斜率存在与斜率不存在两种情况讨论，分别求出切线方程，即可得解.【详解】若，此时的斜率为.设的方程为，则点到的距离，解得，因此的方程为或.若经过的中点，当的斜率不存在时，此时的方程为，满足与圆相切；当的斜率存在时，设其方程为，则点到直线的距离，解得，此时直线的方程为.故答案为：（写出一个满足条件的即可）.21．【分析】由题意分别计算，，三点的坐标，设圆：，代入三点的坐标计算，再写出标准方程即可.【详解】令，则，解得，即，；令，得，即，设圆：，所以，∴.所以圆的方程为.故答案为：22．【分析】法一：设，代入方程得到，从而题目实际上就是求的取值范围使得该方程有解，而这直接使用二次方程判别式就可得到结果；法二：利用圆的几何性质，将命题转化为距离问题，再使用距离公式求解.【详解】法一：我们要求的取值范围使得存在满足，，由于满足前一个方程的必不为零，故这等价于，.而这又可以等价转化为，，故我们就是要求的取值范围，使得关于的方程有解.该方程中的系数显然非零，所以命题等价于，解得.法二：由于圆和轴无公共点，故命题等价于求实数的取值范围，使得直线和圆有公共点.该圆的方程可化为，故命题等价于点到直线的距离不超过，即.解得.故答案为：.【能力提升训练】一、单选题1．（23-24高二上·重庆·阶段练习）如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．2．（2024·北京·三模）已知，若点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（23-24高二上·安徽阜阳·期中）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离为：.已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（

）A． B． C． D．4．（2024·重庆·一模）过点作圆的两条切线，切点分别为，若为直角三角形，为坐标原点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．5．（2023·北京西城·模拟预测）已知圆，过直线上的动点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．26．（22-23高一下·陕西西安·期末）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A． B． C． D．7．（2024·河北沧州·一模）过点作圆相互垂直的两条弦与，则四边形的面积的最大值为（

）A． B． C． D．158．（2024·广西贺州·一模）已知点P为直线与直线的交点，点Q为圆上的动点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．9．（2024·浙江·模拟预测）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则原点到直线的距离为（

）A． B． C． D．10．（22-23高二下·安徽合肥·开学考试）若两圆和恰有三条公切线，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题11．（23-24高三下·江西·阶段练习）设分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象限内任意一点，分别表示直线的斜率，则（

）A．存在点，使得 B．存在点，使得C．存在点，使得 D．存在点，使得12．（2024·辽宁抚顺·三模）已知抛物线，过点作直线，直线与交于两点．在轴上方，直线与交于两点，在轴上方，连接，若直线过点，则下列结论正确的是（

）A．若直线的斜率为1，则直线的斜率为B．直线过定点C．直线与直线的交点在直线上D．与的面积之和的最小值为．13．（2024·河南南阳·一模）已知双曲线上一点A到其两条渐近线的距离之积为，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．14．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知曲线，其中，则（

）A．存在使得C为两条直线B．存在使得C为圆C．若C为椭圆，则越大，C的离心率越大D．若C为双曲线，则越大，C的离心率越小三、填空题15．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知直线与直线，若，则的最大值为.16．（2024·陕西安康·模拟预测）已知直线与均与相切，点在上，则的方程为.17．（2024·广东广州·二模）已知分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过三点的圆恰与轴相切，则的离心率为．18．（2024·浙江·模拟预测）点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是.参考答案：题号12345678910答案CCDDCADBAC题号11121314答案ABDABDACDABD1．C【分析】由点为圆与椭圆的焦点，可得，，结合条件，应用勾股定理即可得.【详解】连接、，由在以为直径的圆上，故，、在椭圆上，故有，，设，则，则有，，即可得，解得，故，则，故.故选：C.2．C【分析】先确定的轨迹以及直线过的定点，再根据圆的性质特点求最值.【详解】由可得点的轨迹为以线段为直线的圆，圆心为，半径为，又直线，其过定点，故距离的最大值为.故答案为：C3．D【分析】如图，作过点作平行于轴的直线交直线于点，过点作于点，结合直线的斜率得出平行于轴，最小，再设，求出，利用三角函数知识得最小值．【详解】如图，过点作平行于轴的直线交直线于点，过点作于点表示的长度，因为直线的方程为，所以，即，当固定点时，为定值，此时AB为零时，最小，即与重合（平行于轴）时，最小，如图所示，设，，则，，由三角函数知识可知，其中，则其最大值是，所以，故D正确.故选：D.

【点睛】关键点睛：本题的关键是理解曼哈顿距离的定义，得到，再利用辅助角公式即可求出其最值.4．D【分析】根据给定条件，求出点的轨迹，再利用圆的几何性质求解即得.【详解】圆的圆心，半径，由切圆于点，且为直角三角形，得，连接，则，即四边形是正方形，，因此点在以点为圆心，为半径的圆上，而，于是，所以OP的取值范围为.故选：D5．C【分析】连接，，当最小时，最小，计算点到直线的距离得到答案.【详解】如图所示：连接，则，当最小时，最小，，故的最小值为.故选：C.6．A【分析】圆的方程化为，求出圆心和半径，利用直角三角形求出，由二倍角公式可得的值．【详解】圆可化为，则圆心，半径为；设，切线为、，则，中，，所以．故选：A．7．D【分析】记，由题意可知，易得，再利用基本不等式，得出其最值.【详解】如图所示：,记,则，，，当且仅当，即时，取等号.所以四边形的面积的最大值为.故选：D

8．B【分析】先求出点的轨迹方程，再判断两圆的位置关系，即可求出的取值范围.【详解】因为点为直线与直线的交点，所以由可得，且过定点，过定点，所以点的轨迹是以点与点为直径端点的圆(去除)，圆心为，半径.而圆的圆心为，半径为，所以