高考数学二轮复习专项训练9导数与不等式证明含答案及解析

2025二轮复习专项训练9导数与不等式证明[考情分析]导数与不等式证明是高考考查的重点内容，在解答题中一般会考查函数的单调性、极值和最值的综合运用，试题难度较大，多以压轴题出现．【练前疑难讲解】一、单变量函数不等式的证明用导数证明不等式一般有以下方法(1)构造函数法．(2)由结论出发，通过对函数变形，证明不等式．(3)分成两个函数进行研究．(4)利用图象的特点证明不等式．(5)利用放缩法证明不等式．二、双变量函数不等式的证明破解含双参不等式的证明的关键：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；二是构造函数，借助导数，判断函数的单调性，从而求其值；三是回归含双参的不等式的证明，把所求的最值应用到含参的不等式中，即可证得结果．一、单选题1．（2023·福建·模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D．2．（21-22高三下·安徽安庆·阶段练习）已知，都是正整数，且，则（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2025·广东·模拟预测）记函数在区间的极值点分别为，，函数的极值点分别为，，则（

）A． B．C． D．4．（2023·重庆万州·模拟预测）若函数，，满足对均有，则的取值不可能为（

）A． B． C． D．9三、填空题5．（2022·河南·模拟预测）已知的定义域为R，若函数满足，则称为的一个不动点，有下列结论：①的不动点是3；②存在不动点；③若函数为奇函数，则其存在奇数个不动点；若为偶函数，则其存在偶数个不动点；④若为周期函数，则其存在无数个不动点；⑤若存在不动点，则也存在不动点，以上结论正确的序号是.6．（2021·河南郑州·模拟预测）已知函数，，若，则的最小值为.四、解答题7．（2024·山东济南·二模）已知函数(1)讨论的单调性；(2)证明：.8．（2023·甘肃酒泉·三模）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有两个极值点，且，求的取值范围．【基础保分训练】一、单选题1．（2021·全国·模拟预测）已知且且且，则（

）A． B． C． D．2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则（

）A． B．C． D．3．（21-22高三上·黑龙江哈尔滨·期末）若实数满足，则（

）A． B．C． D．二、多选题4．（2024·浙江温州·模拟预测）已知，，且则以下正确的是（

）A． B．C． D．5．（2022·广东茂名·二模）若对任意的，，且，都有，则m的值可能是（

）A． B． C． D．1三、填空题6．（2021·湖北武汉·三模）当x≠0时，函数f(x)满足，写出一个满足条件的函数解析式f(x)=．7．（20-21高二·全国·课后作业）已知，，，，使得成立，则实数的取值范围是．四、解答题8．（2024·北京石景山·一模）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求在区间上的最大值与最小值；(3)当时，求证：．9．（2022·广东广州·一模）已知函数，为的导数.(1)证明：当时，；(2)设，证明：有且仅有2个零点.10．（2025·全国·模拟预测）设函数(1)分析的单调性和极值；(2)设，若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围；(3)若，且满足时，证明：.11．（2023·河南郑州·三模）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个极值点，，且，求证：．【能力提升训练】一、单选题1．（2022·江苏·二模）已知实数，且，为自然对数的底数，则（

）A． B． C． D．2．（2023·福建福州·模拟预测），则（

）A． B．C． D．3．（2022·山西晋中·模拟预测）已知函数，，若存在，，使得成立，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．二、多选题4．（2022·全国·模拟预测）已知a，，满足，则（

）A． B． C． D．5．（2024·河北沧州·一模）已知函数与函数的图象相交于两点，且，则（

）A． B．C． D．6．（2024·海南海口·模拟预测）设函数，则（

）A．B．函数有最大值C．若，则D．若，且，则三、填空题7．（2023·浙江温州·二模）已知函数，则的最小值是；若关于的方程有个实数解，则实数的取值范围是.8．（2024·北京西城·三模）已知函数，下面命题正确的是.①存在，使得；②存在，使得；③存在常数，使得恒成立；④存在，使得直线与曲线有无穷多个公共点.9．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知函数，若存在，使得，则的最小值为.四、解答题10．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且，函数（1）求函数的单调区间；（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.(注：是自然对数的底数)11．（2023·山东潍坊·一模）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，.12．（2024·广东佛山·二模）已知.(1)当时，求的单调区间；(2)若有两个极值点，，证明：.

2025二轮复习专项训练9导数与不等式证明[考情分析]导数与不等式证明是高考考查的重点内容，在解答题中一般会考查函数的单调性、极值和最值的综合运用，试题难度较大，多以压轴题出现．【练前疑难讲解】一、单变量函数不等式的证明用导数证明不等式一般有以下方法(1)构造函数法．(2)由结论出发，通过对函数变形，证明不等式．(3)分成两个函数进行研究．(4)利用图象的特点证明不等式．(5)利用放缩法证明不等式．二、双变量函数不等式的证明破解含双参不等式的证明的关键：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；二是构造函数，借助导数，判断函数的单调性，从而求其值；三是回归含双参的不等式的证明，把所求的最值应用到含参的不等式中，即可证得结果．一、单选题1．（2023·福建·模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D．2．（21-22高三下·安徽安庆·阶段练习）已知，都是正整数，且，则（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2025·广东·模拟预测）记函数在区间的极值点分别为，，函数的极值点分别为，，则（

）A． B．C． D．4．（2023·重庆万州·模拟预测）若函数，，满足对均有，则的取值不可能为（

）A． B． C． D．9三、填空题5．（2022·河南·模拟预测）已知的定义域为R，若函数满足，则称为的一个不动点，有下列结论：①的不动点是3；②存在不动点；③若函数为奇函数，则其存在奇数个不动点；若为偶函数，则其存在偶数个不动点；④若为周期函数，则其存在无数个不动点；⑤若存在不动点，则也存在不动点，以上结论正确的序号是.6．（2021·河南郑州·模拟预测）已知函数，，若，则的最小值为.四、解答题7．（2024·山东济南·二模）已知函数(1)讨论的单调性；(2)证明：.8．（2023·甘肃酒泉·三模）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有两个极值点，且，求的取值范围．参考答案：题号1234答案AAABDAB1．A【分析】构造，根据导函数可得在上单调递减，进而可得出.构造，根据导函数单调性，结合中间值1即可得出，即可得出答案.【详解】令，则，令，则恒成立，所以，即在R上单调递增.又，所以，当时，恒成立，所以，在上单调递减.又，，所以，即，，即，即，所以.令，则，导函数单调递增，且所以存在，所以在上单调递减，在上单调递增，且，所以，又，所以；综上可得，.故选：A.2．A【分析】根据题意得，构造函数求解即可.【详解】因为，所以，令，所以，故在上单调递增，由已知得，故，因为，都是正整数，即.故选：A.3．ABD【分析】选项A：根据导数可得，为方程的两个根，进而可得；选项B：，根据换元设得，与解析式相同，进而可判断；选项C：由可判断；选项D：根据先求出，根据不等式的性质进而可得.【详解】选项A：，，故由题意可知，为方程的两个根，故，A正确；选项B：，设，因，则，此时函数y=fx可化为，由题意此函数的极值点分别为，，当时，函数单调递增，故，，故，，故B正确；选项C：由解得，，由题意函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，而，故，故C错误；选项D：由A可知，，，因，故，即，故，故D正确，故选：ABD4．AB【分析】将问题转化为两个函数的零点重合，得出转化单变量的函数最值问题，求导计算即可.【详解】条件对均有恒成立，等价于，易知，与均在定义域内单调递增，且由，故时，若要满足题意，只需两函数的零点相同即可，则令，即，则，令，则，，即在上单调递减，上单调递增，，显然A、B不可能，C、D可能故选：AB5．①⑤【分析】①直接求解即可判断；②利用导数证；③④取特殊函数进行判断；⑤根据定义可得：．【详解】①则，①正确；②构建则令则∴在上递减，在上递增，则∴即不存在不动点，②不正确；③为偶函数，显然只有一个不动点；③不正确；(为奇函数,显然有无数个不动点)④为周期函数，显然只有一个不动点；④不正确；⑤若存在不动点，设为，即∴，则也存在不动点，⑤正确．故答案为：①⑤．6．【分析】设，可得，，从而，进而构造函数，求出的最小值即可.【详解】设，即，，解得，，所以，令，则，令，解得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以的最小值为.故答案为：.7．(1)答案见详解(2)证明见详解【分析】（1）求导可得，分和两种情况，结合导函数的符号判断原函数单调性；（2）构建，，根据单调性以及零点存在性定理分析ℎx的零点和符号，进而可得Fx的单调性和最值，结合零点代换分析证明.【详解】（1）由题意可得：的定义域为0,+∞，，当时，则在0,+∞上恒成立，可知在0,+∞上单调递减；当时，令f'x>0，解得；令f'x可知在上单调递减，在上单调递增；综上所述：当时，在0,+∞上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）构建，则，由可知，构建，因为在0,+∞上单调递增，则ℎx在0,+且，可知ℎx在0,+∞上存在唯一零点当，则ℎx<0，即；当，则ℎx>0，即；可知Fx在上单调递减，在上单调递增，则，又因为，则，，可得，即，所以.8．(1)(2)【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而根据点斜式即可得出结果；（2）求出，可得，化简，构造函数，利用单调性即可求得答案.【详解】（1），曲线在点处的切线方程为，即.（2），则函数的定义域为，若函数有两个极值点，且．则方程的判别式，且，．．设，则在上恒成立．故在单调递减，从而．因此，的取值范围是．【基础保分训练】一、单选题1．（2021·全国·模拟预测）已知且且且，则（

）A． B． C． D．2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则（

）A． B．C． D．3．（21-22高三上·黑龙江哈尔滨·期末）若实数满足，则（

）A． B．C． D．二、多选题4．（2024·浙江温州·模拟预测）已知，，且则以下正确的是（

）A． B．C． D．5．（2022·广东茂名·二模）若对任意的，，且，都有，则m的值可能是（

）A． B． C． D．1三、填空题6．（2021·湖北武汉·三模）当x≠0时，函数f(x)满足，写出一个满足条件的函数解析式f(x)=．7．（20-21高二·全国·课后作业）已知，，，，使得成立，则实数的取值范围是．四、解答题8．（2024·北京石景山·一模）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求在区间上的最大值与最小值；(3)当时，求证：．9．（2022·广东广州·一模）已知函数，为的导数.(1)证明：当时，；(2)设，证明：有且仅有2个零点.10．（2025·全国·模拟预测）设函数(1)分析的单调性和极值；(2)设，若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围；(3)若，且满足时，证明：.11．（2023·河南郑州·三模）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个极值点，，且，求证：．参考答案：题号12345答案DDAABDBCD1．D【解析】令，利用导数研究其单调性后可得的大小.【详解】因为，故，同理，令，则，当时，，当时，，故在为减函数，在为增函数，因为，故，即，而，故，同理，，，因为，故，所以.故选：D．【点睛】思路点睛：导数背景下的大小比较问题，应根据代数式的特征合理构建函数，再利用导数讨论其单调性，此类问题，代数式变形很关键．2．D【分析】构造函数，判断函数单调性，代入数值可比较大小.【详解】设，，时，，为减函数，时，，为增函数，所以，，即.设，，时，，为增函数，时，，为减函数，所以，，即，所以.设，，为增函数，所以，所以，即.故选：D3．A【分析】根据题意将原不等式化简为，令，可知原不等式等价于，再令，则原不等式等价于；再利用导数求出函数g(x)单调性，进而可得，由此可知只有当时，即时才满足，据此即可求出的值，进而求出结果.【详解】∵∴，即

∴，设，则有，即，∴，令，则，∴当时，，g(x)单调递增；当时，，g(x)单调递减；∴，即，要使成立等价于成立，只有当时，即时才满足，∴∴，∴.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是对原不等式的变形，将其变形成，再进行换元、构造辅助函数，借助函数的最值和唯一性求解.4．ABD【分析】首先利用因式分解法得，再通过证明，可知只有一解即：，然后把选项中的代换为并进行化简可得A正确，C错误，而BD则需要构造为关于的函数，利用求导法来判断单调性和最值，从而得证．【详解】由因式分解可得：，又因为，可知，即，又由函数，求导，当时，，可知在上递减，当时，，可知在上递增，所以在时取到最小值为0，有即不等式成立，所以，由可得：，即，对于选项A，，所以选项A的正确的；对于选项B，，构造函数，求导，由时，，所以在上递增，即，因为，所以，所以选项B是正确的；对于选项C，与不可能等价，所以选项C是错误的；对于选项D，，构造函数，求导，由时，，所以在上递增，由时，，所以在上递减，所以的最大值是，即，所以选项D是正确的；故选：ABD.5．BCD【分析】将转化为，构造函数，利用导数求其单调递减区间即可.【详解】，且，则，整理得设，则只需要在上单调递减即可，，令，解得，则，所以BCD符合，故选：BCD.6．【分析】先列举一个满足条件的函数解析式，再证明.【详解】设，所以，所以在(0,+∞)单调递增，在单调递减，所以所以；设，所以；故答案为：【点睛】方法点睛：对于这种开放性试题，一般先要根据已知条件，找到一个满足已知条件的函数解析式，再进行证明.7．【分析】可转化为在上，，求导可得的单调性，将的最小值代入，即得解【详解】，，使得成立等价于在上，．易得，当时，，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴函数在区间上的最小值为．易知在上单调递增，∴函数在区间上的最小值为，∴，即实数的取值范围是．故答案为：8．(1)(2)见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据导数的几何意义，求切线方程；（2）首先求函数的导数，再讨论和两种情况求函数的单调性，求函数的最值；（3）首先根据不等式构造函数，再利用导数求函数的最小值，即可证明.【详解】（1），，，所以曲线在点处的切线方程为；（2），当时，在区间上恒成立，在区间上单调递增，所以函数的最小值为，最大值为，当时，，得，在区间小于0，函数单调递减，在区间大于0，函数单调递增，所以函数的最小值为，，，显然，所以函数的最大值为，综上可知，当时，函数的最小值为，最大值为，当时，函数的最小值为，最大值为；（3）当时，，即证明不等式，设，，，设，，，所以在单调递增，并且，，所以函数在上存在唯一零点，使，即，则在区间，，单调递减，在区间，，单调递增，所以的最小值为，由，得，且，所以，所以，即.9．(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析【分析】（1）令，利用导数判断的单调性，并求出其最小值即可证明；（2）由（1）可知，在上单调递增，利用零点存在性定理可证明在这个区间上有一个零点，通过构造函数即可证明在上单调递减，同理利用零点存在性定理可证明在这个区间上有一个零点，即可得证.【详解】（1）由，设，则，当时，设，，∵，，∴和在上单调递增，∴，，∴当时，，，则，∴函数在上单调递增，∴，即当时，;（2）由已知得，①当时，∵，∴在上单调递增，又∵，，∴由零点存在性定理可知在上仅有一个零点，②当时，设，则，∴在上单调递减，∴，∴，∴，∴在上单调递减，又∵，，∴由零点存在性定理可知在上仅有一个零点，综上所述，有且仅有2个零点.10．(1)在单调递减，在单调递增，的极小值为，无极大值.(2)(3)证明见解析【分析】（1）求导研究函数单调性，求出极值；（2）构造函数，求导后注意到，进而得到，，再验证充分性；（3）构造函数利用导函数研究其单调性，从而证明不等式.【详解】（1）函数，则，令，解得：，且当时，，时，，因此：在单调递减，在单调递增，故的极小值为，无极大值.（2）对任意的，都有成立，即对任意的，恒成立，令，则，注意到：，若要，必须要求，即，亦即，另一方面：当时，因为单调递增，则当时，恒成立，所以在时单调递增，故；故实数的取值范围为：；（3）记，则，记，，，当x∈0,1时，，为增函数，当x∈1,+∞时，，为减函数，所以，即，所以函数在0,+∞单调递减，则为，注意到，不妨，要证，只需证，即证：，即证：，即证：，记，则，记，则，所以在0,1单调递增，所以，即，所以在0,1单调递减，所以，所以，所以，得证.11．(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）首先求函数的导数，再根据判别式讨论函数的单调区间；（2）根据（1）的结果，可知，，，，这样可将所证明不等式进行变形，从而构造函数，利用导数即可证明.【详解】（1）函数的定义域为，，设，令，，当时，即，在单调递减，当时，即，，令，得，，若，，，由即，得出.由即，得出.当时，，由即，得出.由即，得出.综上所述：当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；在上单调递减.（2）由（1）可知：当时，，是函数两个极值点，有，，此时，要证明，只要证明设，令，当时，，所以当时，，单调递减，所以有，即证【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数性质的综合应用问题，本题第二问处理双变量问题，关键是，，，从而为后面的消参，构造函数创造条件.【能力提升训练】一、单选题1．（2022·江苏·二模）已知实数，且，为自然对数的底数，则（

）A． B． C． D．2．（2023·福建福州·模拟预测），则（

）A． B．C． D．3．（2022·山西晋中·模拟预测）已知函数，，若存在，，使得成立，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．二、多选题4．（2022·全国·模拟预测）已知a，，满足，则（

）A． B． C． D．5．（2024·河北沧州·一模）已知函数与函数的图象相交于两点，且，则（

）A． B．C． D．6．（2024·海南海口·模拟预测）设函数，则（

）A．B．函数有最大值C．若，则D．若，且，则三、填空题7．（2023·浙江温州·二模）已知函数，则的最小值是；若关于的方程有个实数解，则实数的取值范围是.8．（2024·北京西城·三模）已知函数，下面命题正确的是.①存在，使得；②存在，使得；③存在常数，使得恒成立；④存在，使得直线与曲线有无穷多个公共点.9．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知函数，若存在，使得，则的最小值为.四、解答题10．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且，函数（1）求函数的单调区间；（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.(注：是自然对数的底数)11．（2023·山东潍坊·一模）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，.12．（2024·广东佛山·二模）已知.(1)当时，求的单调区间；(2)若有两个极值点，，证明：.参考答案：题号123456答案DDAABDACACD1．D【分析】化简条件后根据形式构造函数，利用单调性判断不等式【详解】因为，所以，函数在上单调递增，且，因为所以，所以，即，又，所以，所以，即，综上，.故选：D2．D【分析】令，利用导数研究函数的单调性可得到，即可判断、的大小关系；构造函数判断与0.1的大小，构造函数判断0.1与大小，从而可判断b、c大小．【详解】令，，则，所以当时，即在上单调递增，所以，即，即，即，令，则，在时，，则为减函数，∴，即；令，，则，故在为减函数，∴，即；∴，令，则，即，∴，所以．故选：D．【点睛】结论点睛：常用的不等式：，，，，，.3．A【分析】先得到，再由的单调性得，进而得到，由导数求出的最大值，即可求解.【详解】，，易得在上，则在上单调递增，又，所以即，，所以，则，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，则，即时，取得最大值．故选：A4．ABD【分析】A、D利用基本不等式即可判断，注意等号成立条件；B由，构造且，利用导数证明不等式；C根据A、B的分析，应用特殊值法判断.【详解】A：由，即，当且仅当时等号成立，正确；B：由，则且，令且，则，递减，所以，，即成立，正确；C：当时，，错误；D：由，当且仅当时等号成立，正确.故选：ABD5．AC【分析】构造函数利用奇偶性和单调性得出，结合选项逐项验证即可.【详解】由题意有两个不等的实数根，，，令，则，即为奇函数；当时，，为增函数；若，则，又，所以.对于A，，正确.对于B，若成立，则有，与矛盾，所以B不正确.对于C，由指数均值不等式可得，所以，C正确.对于D，令，，当时，，为增函数，所以，即，D不正确.故选：AC.【点睛】结论点睛：均值不等式的拓展：（1）对数型均值不等式：，其中，；（2）指数型均值不等式：，其中.6．ACD【分析】根据fx的解析式直接求解可对A判断；利用导数求最值方法可对B判断；结合给出的已知条件并利用A、B中的结论可对C、D判断求解.【详解】对A，由题意知，所以，故A正确；对B，由题意知fx的定义域为，，当，，当，，所以fx在上单调递减，在上单调递增，所以当时，fx取到极小值也是最小值，故B错误；对C，当时，可得，由A知，所以，由B知恒成立，所以，故C正确；对D，当时，得，又因为，所以，由B知fx在上单调递增，所以，又由A知，所以，故D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：灵活运用已知条件，，并结合fx的对称性和单调性进行求解.7．【分析】第一空，由题意可知，故设，作出其图象，数形结合，可得的最小值；第二空，利用导数的几何意义求出直线与曲线相切时的的值，将关于的方程有个实数解问题转化为直线与曲线的交点问题，数形结合，可得答案.【详解】根据与大小关系（比较与大小的推理见后附），可知，设，注意到曲线与曲线恰好交于点，显然，，作出的大致图象如图，

可得的最小值是1，从而的最小值是．由，得．设直线与曲线切于点，，直线过定点，则，解得，从而．由图象可知，若关于的方程有个实数解，则直线与曲线有个交点，则或，即所求实数的取值范围是，故答案为：；附：当时，设，则，所以在区间上单调递减，从而，此时；当时，设，在区间上单调递减，所以当时，，即；当时，，即；当时，，即．【点睛】关键点睛：解答本题的关键所在：（1）明确的含义，即；（2）数形结合思想，作出函数的图象；（3）将关于的方程有个实数解，转化为直线与曲线的交点问题.8．①③【分析】①函数求导，用，令，与同正负.研究正负即可，用来研究即可得出答案.；②，即两点间的斜率正负问题，也就是转化研究内的单调性.求导即可.③用三角函数的有界性可解.④借助函数单调性,数形结合可解.【详解】函数，定义域.由于知其为偶函数.，令，与同正负..对于①，当，，则单调递增，则，故存在，，即存在，使得.故①正确.对于②，与①同理，当，，则单调递减，则，故，，即，单调递减.任意，，故②错误.对于③，由于为偶函数，根据对称性，我们只需要考虑即可.令，则，即在上单调递减，故，即，故，故存在常数，使得，故③正确.对于④，将代入，得，由于为偶函数，根据对称性，我们只需要考虑即可.由①②知，，单调递减，，单调递减，，单调递增.一直往复下去.图象如下.则与不能有无数个交点，即与不能有无穷多个公共点.故④错误.综上所得，只有①③正确.故答案为：①③.【点睛】本题主要考查函数很多性质，如奇偶性、单调性、零点与方程，有界性等.综合性较强，有一定难度，关键是借助导数来研究性质，需要冷静分析，认真计算.9．【分析】根据分段函数解析式画出函数的简图，设，根据图像确定的取值范围，将化成只含有一个变量的二次函数，由定区间内二次函数的性质，从而确定的最小值.【详解】当时，，，当时，，当时，，即当时，取得极小值为.当时，为增函数，且，函数的图像如图：设，由题可知，由得，则，则，，所以当时，取得最小值为.故答案为：.【点睛】本题重点是根据函数解析式做出函数图像，然后根据换元的思想，把双变量问题转化为单变量问题，然后就可以轻松求解.10．(1)见解析(2)；(3)证明见解析.【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；(2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数a的取值范围；(3)方法一：结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立.【详解】(1)，①若，则，所以在上单调递增；②若，当时，单调递减，当时，单调递增.综上可得，时，的单调递增区间为,无减区间；时，函数的单调减区间为，单调增区间为.(2)有2个不同零点有2个不同解有2个不同的解，令，则，记，记，又，所以时，时，，则在单调递减，单调递增