高考数学二轮复习专项训练8恒成立问题与能成立问题含答案及解析

2025二轮复习专项训练8恒成立问题与能成立问题[考情分析]恒成立问题(能成立问题)多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的热门题型，难度大，一般为高考题中的压轴题．【练前疑难讲解】一、恒成立问题(1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略①求最值法，将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题．②分离参数法，将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的范围．(2)不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别．(3)判断含x，lnx，ex的混合式的函数值的符号时，需利用x0＝及ex≥x＋1，lnx≤x－1对函数式放缩，有时可放缩为一个常量，变形为关于x的一次式或二次式，再判断符号．二、能成立问题(1)含参数的不等式能成立(存在性)问题的转化方法若a≥f(x)在x∈D上能成立，则a≥f(x)min；若a≤f(x)在x∈D上能成立，则a≤f(x)max.(2)不等式能成立问题的解题关键点一、单选题1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2023·贵州·二模）已知函数，，对任意，，都有不等式成立，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题3．（2023·安徽马鞍山·一模）已知函数，若恒成立，则实数的可能的值为（

）A． B． C． D．4．（2023·广东广州·一模）已知函数，点分别在函数的的图像上，为坐标原点，则下列命题正确的是（

）A．若关于的方程在上无解，则B．存在关于直线对称C．若存在关于轴对称，则D．若存在满足，则三、填空题5．（2024·河北·三模）已知对任意恒成立，则实数的取值范围是．6．（2023·江苏连云港·模拟预测）已知定义在R上的函数，若有解，则实数a的取值范围是．四、解答题7．（2023·全国·高考真题）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．8．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数．(1)求的单调区间；(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．【基础保分训练】一、单选题1．（2024·河南·三模）若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（

）A． B． C．1 D．2．（2021·四川泸州·模拟预测）设函数（其中为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2023·四川成都·模拟预测）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题4．（21-22高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，下列命题正确的是（

）A．若是函数的极值点，则B．若是函数的极值点，则在上的最小值为C．若在上单调递减，则D．若在上恒成立，则5．（2021·山东菏泽·一模）对于函数，下列说法正确的是（

）A．在处取得极大值B．有两个不同的零点C．D．若在(0,+∞)上恒成立，则6．（2022·河北·模拟预测）若存在正实数x，y，使得等式成立，其中e为自然对数的底数，则a的取值可能是（

）A． B． C． D．2三、填空题7．（2023·河北保定·一模）已知是函数在定义域上的导函数，且，，若函数在区间内存在零点，则实数m的最小值为．8．（2023·河南开封·模拟预测）实数x，y满足，则的值为．9．（2023·山西·二模）已知，，且满足，则．四、解答题10．（2024·四川南充·二模）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.11．（23-24高二上·陕西榆林·开学考试）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，证明：当时，.12．（2024·福建泉州·模拟预测）（1）已知，求的最大值与最小值；（2）若关于x的不等式存在唯一的整数解，求实数a的取值范围.【能力提升训练】一、单选题1．（2024·陕西·模拟预测）当时，恒成立，则实数最大值为（

）A． B．4 C． D．82．（2024·湖南·一模）若不等式对恒成立，其中，则的取值范围为（

）A． B．C． D．3．（2024·全国·模拟预测）若关于的不等式在内有解，则正实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题4．（2025·广东·一模）已知定义在上的函数的图象连续不间断，当，且当x>0时，，则下列说法正确的是（）A．B．在上单调递增，在上单调递减C．若，则D．若是在内的两个零点，且，则5．（2023·全国·模拟预测）已知，恒成立，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．C．恒成立 D．的最大值为6．（2023·重庆·模拟预测）已知，当时，存在b，，使得成立，则下列选项正确的是（

）A． B． C． D．三、填空题7．（2024·浙江台州·二模）已知关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是.8．（2022高三·全国·专题练习）已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为：．9．（22-23高三上·全国·阶段练习）若关于x的不等式有且只有一个整数解，则实数a的取值范围为．四、解答题10．（2024·福建厦门·二模）若，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”.已知.(1)证明：存在源数列；(2)（ⅰ）若恒成立，求的取值范围；（ⅱ）记的源数列为，证明：前项和.11．（2023·浙江·模拟预测）已知为正实数，函数.(1)若恒成立，求的取值范围；(2)求证：（）.12．（2023·北京海淀·一模）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求的单调区间；(3)若存在，使得，求a的取值范围．

2025二轮复习专项训练8恒成立问题与能成立问题[考情分析]恒成立问题(能成立问题)多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的热门题型，难度大，一般为高考题中的压轴题．【练前疑难讲解】一、恒成立问题(1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略①求最值法，将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题．②分离参数法，将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的范围．(2)不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别．(3)判断含x，lnx，ex的混合式的函数值的符号时，需利用x0＝及ex≥x＋1，lnx≤x－1对函数式放缩，有时可放缩为一个常量，变形为关于x的一次式或二次式，再判断符号．二、能成立问题(1)含参数的不等式能成立(存在性)问题的转化方法若a≥f(x)在x∈D上能成立，则a≥f(x)min；若a≤f(x)在x∈D上能成立，则a≤f(x)max.(2)不等式能成立问题的解题关键点一、单选题1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2023·贵州·二模）已知函数，，对任意，，都有不等式成立，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题3．（2023·安徽马鞍山·一模）已知函数，若恒成立，则实数的可能的值为（

）A． B． C． D．4．（2023·广东广州·一模）已知函数，点分别在函数的的图像上，为坐标原点，则下列命题正确的是（

）A．若关于的方程在上无解，则B．存在关于直线对称C．若存在关于轴对称，则D．若存在满足，则三、填空题5．（2024·河北·三模）已知对任意恒成立，则实数的取值范围是．6．（2023·江苏连云港·模拟预测）已知定义在R上的函数，若有解，则实数a的取值范围是．四、解答题7．（2023·全国·高考真题）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．8．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数．(1)求的单调区间；(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．参考答案：题号1234答案CCADBCD1．C【分析】构造函数，求导，分离参数求最值即可.【详解】不等式等价于，令，根据题意对任意的，当时，，所以函数在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立.令，则，所以当时，，单调递增，当时，单调递减.所以，所以.故选：C.【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：（1）恒成立；（2）恒成立.2．C【分析】将问题转化为，利用导数求在上的最小值、在上的最小值，即可得结果.【详解】对任意，，都有不等式成立，，，，则在区间上单调递增，∴，，，，则在上单调递增，，，则在上单调递减，，，故，综上，.故选：C3．AD【分析】根据转化成恒成立，构造函数利用导数求解的单调性，问题进一步转化成恒成立，构造，求解最值即可.【详解】，故恒成立，转化成恒成立，记，则在单调递增，故由得，故恒成立，记，故当时，单调递减，当时，单调递增，故当时，取最大值，故由恒成立，即,故，故选：AD【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.4．BCD【分析】根据给定条件，求出方程在上有解的a范围判断A；设出点的坐标，由方程有解判断B；设出点的坐标，建立函数关系，求出函数的值域判断CD作答.【详解】函数，对于A，方程在上有解，显然函数在上单调递增，则有，解得，因此关于的方程在上无解，则或，A错误；对于B，设点，依题意，点Q关于直线对称点在函数的图象上，即关于t的方程有解，即有解，此时，令函数，，即函数在上单调递增，，而函数在上都单调递增，它们的取值集合分别为，因此函数的值域为，又，于是在有解，所以存在关于直线对称，B正确；对于C，设点，则点P关于y轴对称点在函数的图象上，即，令，，即函数在上单调递减，，又，恒有，因此，C正确；对于D，令，由得，显然，且，，令，，当时，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因此，即有，，而，当且仅当时取等号，所以，即，D正确.故选：BCD5．【分析】将原不等式变形为，设，通过求导求的最小值，然后解不等式即可.【详解】因为，，所以，即，设，，令，，即在上单调递增，令，，即在上单调递减，则，所以，解得.故答案为：.6．【分析】分析的奇偶性和单调性，根据奇偶性和单调性求解.【详解】，所以是奇函数，又，在R的范围内是增函数，有解等价于，有解，令，当时，是增函数，当x趋于时，趋于，满足题意；当时，当时，，是增函数，当时，是减函数，；令，则，当时，，是增函数，当时，是减函数，并且当时，，，当时，即当时，满足题意，所以a的取值范围是；故答案为：.7．(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可.方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证.【详解】（1）因为，定义域为，所以，当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减；当时，令，解得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）方法一：由（1）得，，要证，即证，即证恒成立，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.方法二：令，则，由于在上单调递增，所以在上单调递增，又，所以当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，故，则，当且仅当时，等号成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以要证，即证，即证，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.8．(1)单调递减区间为，单调递增区间为；(2)【分析】（1）先对函数求导，结合导数与单调性关系即可求解；（2）由已知不等式成立，先分离参数，结合成立与最值关系的转化即可求解．【详解】（1）因为，，令f'(x)=0，解得当时，，单调递减，当时，，单调递增，则的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）依题意，存在，使得，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故，因此，故的取值范围为．【基础保分训练】一、单选题1．（2024·河南·三模）若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（

）A． B． C．1 D．2．（2021·四川泸州·模拟预测）设函数（其中为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2023·四川成都·模拟预测）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题4．（21-22高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，下列命题正确的是（

）A．若是函数的极值点，则B．若是函数的极值点，则在上的最小值为C．若在上单调递减，则D．若在上恒成立，则5．（2021·山东菏泽·一模）对于函数，下列说法正确的是（

）A．在处取得极大值B．有两个不同的零点C．D．若在(0,+∞)上恒成立，则6．（2022·河北·模拟预测）若存在正实数x，y，使得等式成立，其中e为自然对数的底数，则a的取值可能是（

）A． B． C． D．2三、填空题7．（2023·河北保定·一模）已知是函数在定义域上的导函数，且，，若函数在区间内存在零点，则实数m的最小值为．8．（2023·河南开封·模拟预测）实数x，y满足，则的值为．9．（2023·山西·二模）已知，，且满足，则．四、解答题10．（2024·四川南充·二模）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.11．（23-24高二上·陕西榆林·开学考试）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，证明：当时，.12．（2024·福建泉州·模拟预测）（1）已知，求的最大值与最小值；（2）若关于x的不等式存在唯一的整数解，求实数a的取值范围.参考答案：题号123456答案BABABCACDACD1．B【分析】对所给不等式进行适当变形，利用同构思想得出对于任意的恒成立，进一步利用导数求出不等式右边的最小值即可求解.【详解】显然首先，，令，则，所以在定义域内严格单调递增，所以若有成立，则必有，即对于任意的恒成立，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，取得最小值，从而，所以的取值范围是，即实数的最大值为.故选：B.2．A【分析】由题意可得，令，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直线下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，即可得出答案．【详解】函数的定义域为，由，得，所以，令，由题意知，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，由，得，所以当时，单调递增，当时，单调递减，所以，没有最小值，由，得，当时，在上单调递增，在上单调递减，所以有最大值，无最小值，不合题意，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，所以即，所以，即m的取值范围为．故选：A．3．B【分析】题设中的不等式等价于，令，结合导数可得该函数的单调性，结合可得的解，从而可求实数的取值范围.【详解】由有意义可知，.由，得.令，即有.因为，所以，令，问题转化为存在，使得.因为，令，即，解得；令，即，解得，所以在上单调递增，在上单调递减.又，所以当时，.因为存在，使得成立，所以只需且，解得.故选：.4．ABC【分析】对于A，由可求出的值，对于B，由选项A，可求得，然后利用导数可求出在上的最小值，对于C，由题意可得，可求出的范围，对于D，将问题转化为在上恒成立，构造函数，再利用导数求出其最大值即可【详解】对于A，由，得，因为是函数的极值点，所以，得，经检验是函数的极小值点，所以A正确，对于B，由选项A，可知，则，由，得或，由，得，所以在和递增，在上递减，所以当时，时，取得最小值，所以B正确，对于C，因为在上单调递减，所以，即，得在上恒成立，令，则，所以在单调递增，所以，即，所以，所以C正确，对于D，由在上恒成立，得在上恒成立，即在上恒成立，令，，则，所以上单调递增，所以，所以，所以D错误，故选：ABC5．ACD【分析】对求导，利用导函数的符号判断的单调性即可得极值，可判断选项A；由的单调性以及函数值的符号可判断选项B；利用得单调性以及函数值与的关系可判断选项C；分离可得，计算的最大值可判断选项D，进而可得正确选项.【详解】对于选项A：函数定义域为(0,+∞)，，令可得，令可得，所以在单调递增，在单调递减，所以在时取得极大值，故选项A正确对于选项B：令，可得，因此只有一个零点，故选项B不正确；对于选项C：显然，在单调递减，可得，因为，即，故选项C正确；对于选项D：由题意知：在(0,+∞)上恒成立，令则，因为易知当时.，当时，，所以在时取得极大值也是最大值，所以，所以在上恒成立，则，故选项D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数的极值的步骤：①写定义域，对函数求导；②在定义域内，解不等式和得到单调性；③利用单调性判断极值点，代入解析式即可得极值.6．ACD【分析】，即，令，则，设，利用导数求出函数的值域，从而可得出答案.【详解】解：由题意，不等于，由，得，令，则，设，则，因为函数在上单词递增，且，所以当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，从而，即，解得或.故.故选：ACD.7．1【分析】（1）首先根据条件等式，变形得到函数，再变形得到，通过构造函数得到，参变分离后，转化为求函数的值域，即可求的取值范围.【详解】在中，，∴，∴∴（c为常数），由，解得：，∴，若在区间内存在零点，整理可得：，设，，令，得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，，所以，当时，等号成立，所以当且仅当时，上式取等号即存在，使，设，，令，得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，，所以，故m最小值为1,故答案为：1【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，零点，不等式的综合问题，本题的关键一是利用导数的等式，通过构造得到函数的解析式，关键二是利用同构得到等式，再构造函数求得，参变分离后即可求解.8．【分析】将原不等式变为，利用换元法令和构造函数，根据导数研究函数的单调性求出，当且仅当时成立，则，即可得出结果.【详解】因为，所以．显然，令，则，且，令，则，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以对，，即，当且仅当时等号成立．综上，当且仅当时，成立，此时，解得．故答案为：9．【分析】原式等价于.构造，根据导函数求出函数的最值，可得，即可得出，，求出的值，即可得出答案.【详解】因为，构造，，当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减.所以，在处取得极大值，也是最大值，所以.由题意可知，，所以，.因为，所以，，所以.故答案为：.【点睛】方法点睛：同构变形后，构造函数，根据导函数研究函数的性质，进而得出结论.10．(1)答案见解析(2)【分析】（1）求出导函数，按照的正负分类讨论，由的正负可得单调性；（2）将不等式变形为，令，对求导，再令，由的单调性判断的符号，进而确定的单调性，求出的最大值即可求出的取值范围.【详解】（1）由题意知的定义域为，

，当时，，在上单调递减；

当时，令，，故方程有两个不同的实数根，分别为，，且，，

当时，，单调递减，当时，，单调递增.综上可知，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）由可得，即，设，，则，设，，因为，则在上单调递减，且，所以当时，，即，所以在上单调递增，当时，，即，所以在上单调递减，所以的最大值为，所以，即的取值范围为.11．(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可得解；（2）构造函数，利用二次导数，结合函数的最值情况，证得，从而得证.【详解】（1）因为的定义域为，所以，当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令，得，当时，单调递减，当时，单调递增，综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）当时，，令，则，令，则，因为，所以，所以当时，恒成立，所以在上单调递减，即在上单调递减，所以，所以在上单调递减，所以，即.【点睛】结论点睛：恒成立问题：（1）恒成立；恒成立．（2）恒成立；恒成立．（3）恒成立；恒成立；（4），，．12．（1）最大值，最小值1；（2）【分析】（1）求导，利用导数研究函数的单调性，结合区间端点函数值比较大小即可求解最值；（2）解法一：把不等式化为，由的单调性结合端点函数值分析求解即可；解法二：令，求导，对a进行分类讨论，判断函数单调性及最大值，从而求得a的范围，结合gx>0有唯一整数解，进一步求出a【详解】（1）因为，，所以，令，解得，f'x，的变化情况如下表所示．x1f+0单调递增单调递减1所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减.当时，有极大值，也是的最大值.又因为，，而，所以，所以为的最小值.（2）解法一：因为，所以不等式可化为，由（1）可知在区间上单调递增，在区间上单调递减.因为的最大值，，，，，所以，时，最大，所以不等式，即存在唯一的整数解只能为1，所以，所以a的取值范围为.解法二：令，由题意可知gx>0，当时，，所以在0,+∞单调递增，而，所以，与题意矛盾；当时，由可得或（舍去），当时，，时，，所以在单调递增，在单调递减，所以时，取最大值为，由题意可知，解得，因为，所以当即时，由gx>0有唯一整数解知，解得，若，由在单调递增知，矛盾所以，由在单调递减可知，所以符合题意；当时，，，由在单调递减可知，，不符合题意；综上所述，a的取值范围为.【能力提升训练】一、单选题1．（2024·陕西·模拟预测）当时，恒成立，则实数最大值为（

）A． B．4 C． D．82．（2024·湖南·一模）若不等式对恒成立，其中，则的取值范围为（

）A． B．C． D．3．（2024·全国·模拟预测）若关于的不等式在内有解，则正实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题4．（2025·广东·一模）已知定义在上的函数的图象连续不间断，当，且当x>0时，，则下列说法正确的是（）A．B．在上单调递增，在上单调递减C．若，则D．若是在内的两个零点，且，则5．（2023·全国·模拟预测）已知，恒成立，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．C．恒成立 D．的最大值为6．（2023·重庆·模拟预测）已知，当时，存在b，，使得成立，则下列选项正确的是（

）A． B． C． D．三、填空题7．（2024·浙江台州·二模）已知关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是.8．（2022高三·全国·专题练习）已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为：．9．（22-23高三上·全国·阶段练习）若关于x的不等式有且只有一个整数解，则实数a的取值范围为．四、解答题10．（2024·福建厦门·二模）若，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”.已知.(1)证明：存在源数列；(2)（ⅰ）若恒成立，求的取值范围；（ⅱ）记的源数列为，证明：前项和.11．（2023·浙江·模拟预测）已知为正实数，函数.(1)若恒成立，求的取值范围；(2)求证：（）.12．（2023·北京海淀·一模）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求的单调区间；(3)若存在，使得，求a的取值范围．参考答案：题号123456答案BAAACDACDABC1．B【分析】本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，根据题意易于分离参数得，再利用切线放缩化简求出的取值范围.【详解】因为，由，得.令令，则在上恒成立，故函数在上单调递增，所以即，由，得，所以.当且仅当时，取“=”，此时，由与图象可知使，此时.所以，即有最大值为4.故选：B.2．A【分析】先讨论的范围，当时，利用导数求最值，根据最小值大于等于0可得，然后将二元化一元，令，利用导数求最值可解.【详解】令，即，当时，由函数与的图象可知，两函数图象有一个交点，记为，则当时，，即，不满足题意；当时，令，则，令，则，因为单调递增，所以当时，f'x<0，当时，f'x>0，所以时，有最小值，又对恒成立，所以，即，所以，当且仅当时等号成立.令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，，所以，即，当且仅当，时等号成立，所以的取值范围为.故选：A【点睛】方法点睛：本题属于恒成立问题，难点在于将恒成立转化为最值问题，以及利用的不等关系将二元化一元，此处应注意保证任何时候都能取到等号.3．A【分析】将由不等式转化为，令，得到，令函数，问题转化为存在，使得，利用导数求得函数的单调性，结合，得到且，即可求解.【详解】由不等式，即，令，即有，又由，所以函数在上单调递增，因为，所以，令，问题转化为存在，使得，因为，令，可得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，又因为，所以当时，，若存在，使得成立，只需且，解得，因为，所以.故选：A.【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围；2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与和相关的常见同构模型①，构造函数或；②，构造函数或；③，构造函数或.4．ACD【分析】选项，令x=0，可求；选项，对两边求导，结合得，，可判断单调性；C选项，的大小关系进行分类讨论，利用函数单调性，证明不等式；D选项，证明，利用函数单调性，证明且，可得结论.【详解】选项，令x=0，则有，所以，故正确.选项，对两边求导，得，所以，代入，得当x>0时，，所以.又因为，所以，.因此，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.故错误.C选项，对的大小关系进行分类讨论：①当时，在上单调递减，所以，显然有；②当时，在上单调递增，不符合题意；③当时，当时，.令，又因为，所以，因此.因为，由的单调性得，.故C正确.选项，因为，所以.先证，即证，即，只需证，即证.事实上，，因此得证.此时有.因为，又，所以，因为，又，所以.综上，，故D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.5．ACD【分析】构造，则原命题等价为，恒成立.由导数法判断，可求得为最小值点，即有a与b的关系.对A，由a与b的关系求范围；对B，由a与b的关系直接判断；对CD，由a与b的关系化简式子，结合导数法求最值判断.【详解】对B，令，则，恒成立等价为，恒成立.单调递增，由，且，单调递减；，单调递增.又，∴，B错；对A，，，A对；对C，，令，由.故，单调递减；，单调递增.故，C对；对D，，令，由.故，单调递增；，单调递减.故，D对.故选：ACD.【点睛】含指对数式不等式恒成立问题，一般需构造函数，通过导数法研究函数单调性及最值，结合命题，从而得到相关结论6．ABC【分析】对A，构造函数，求导，再设，利用其单调性得到，然后对分类讨论即可；对B，计算出在时的切线方程即可得到，即可得到的范围，对于C,D，代入得，则可确定和的范围，【详解】对A，由,令,所以,令,其对称轴为,故函数在上单调递增,所以,当时,即时,,则函数单调递增,所以.当时,即时,存在,使得,即,当时,,则函数单调递减,所以0,与矛盾,综上,，A正确;对B，由可得与在上存在分隔直线,，，，，，，则在处的切线方程分别为:,所以,可得,故B正确;对C，取得,所以,得,故C正确,对D，由C知，故D错误.故选：ABC.

【点睛】关键点睛：本题A选项的关键是构造函数，然后求导，对进行分类讨论，对B关键是得到在处的切线方程的斜率，从而得到不等式，对C和D通过代入得到，即可进行判断.7．【分析】原不等式变形转化为，构造函数，转化为恒成立，利用导数研究，可得，再分离参数即可得解.【详解】原不等式，构造函数，则，则，令，解得，故当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，且，若，则当时，，此时恒不成立，故，所以，所以成立，只需成立即可，即恒成立，令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故，所以.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对不等式结构的观察，同构出函数，转化为研究函数大致变化情况，再由对的分类讨论确定，且能得出，即可脱去“”，转化为恒成立，分参即可得解.8．【分析】将不等式化简后，构造函数，根据单调性转化为恒成立问题求解【详解】，∴，构造函数，显然在上单调递增，故等价于，即任意的实数恒成立，．令，则，故在上单调递减，在上单调递增，，得．故答案为：9．【分析】令，求导计算函数的单调区间，题目转化为，计算，得到，计算得到答案.【详解】令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，且当时，，当时，，，原不等式等价于或（不存在整数解），有且只有一个整数解，，故，即实数a的取值范围为．故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决方程的解的个数问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造函数确定单调性，将题目转化为是解题的关键