高考数学二轮复习专题一函数与导数第5讲导数中函数的构造问题含答案及解析

第5讲导数中函数的构造问题（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 2【考点一】导数型构造函数 2【考点二】构造函数比较大小 3【专题精练】 5考情分析：导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题．真题自测真题自测一、单选题1．（2022·全国·高考真题）设，则（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．二、解答题3．（2022·全国·高考真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，，求a的取值范围；(3)设，证明：．4．（2021·全国·高考真题）设函数，已知是函数的极值点．（1）求a；（2）设函数．证明:．考点突破考点突破【考点一】导数型构造函数一、单选题1．（2023·河北唐山·一模）已知函数,则不等式的解集为（

）A． B．C． D．2．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2023·江苏南通·模拟预测）已知O为坐标原点，曲线在点处的切线与曲线相切于点，则（

）A． B．C．的最大值为0 D．当时，4．（2023·湖北·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．三、填空题5．（2023·山东威海·一模）若不等式对任意成立,则实数a的取值范围为.6．（2022高三·全国·专题练习）已知函数，若对任意正数，当时，都有成立，则实数m的取值范围是．四、解答题7．（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）已知函数．若函数有两个不相等的零点．(1)求a的取值范围；(2)证明：．8．（2023·湖北武汉·二模）已知函数，其中．(1)证明：恒有唯一零点；(2)记（1）中的零点为，当时，证明：图像上存在关于点对称的两点．规律方法：(1)出现nf(x)＋xf′(x)的形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；(2)出现xf′(x)－nf(x)的形式，构造函数F(x)＝eq\f(fx,xn).(3)出现f′(x)＋nf(x)的形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；(4)出现f′(x)－nf(x)的形式，构造函数F(x)＝eq\f(fx,enx).【考点二】构造函数比较大小一、单选题1．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知，则a，b，c大小关系为（

）A． B．C． D．2．（2023·广东·二模）已知，，，则（参考数据：）（

）A． B． C． D．二、多选题3．（23-24高二下·福建莆田·开学考试）已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．4．（2023·重庆·一模）已知m，n关于x方程的两个根，且，则（

）A． B．C． D．三、填空题5．（2022·福建龙岩·模拟预测）设，则的大小关系为.（从小到大顺序排）6．（2023·山西·模拟预测）已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且，，则不等式的解集是．四、解答题7．（2023高三·全国·专题练习）已知，函数有两个零点，记为，．(1)证明：．(2)对于，若存在，使得，试比较与的大小．8．（2023高三·全国·专题练习）设函数的两个零点是，求证：．规律方法：构造函数比较大小的常见类型(1)构造相同的函数，利用单调性，比较函数值的大小；(2)构造不同的函数，通过比较两个函数的函数值进行比较大小．专题精练专题精练一、单选题1．（2022·广东汕头·一模）已知，，，则以下不等式正确的是（

）A． B． C． D．2．（2023·江西萍乡·二模）已知，则这三个数的大小关系为（

）A． B．C． D．3．（22-23高三上·福建厦门·期末）已知定义在上的可导函数f（x）的导函数为f（x），满足且为偶函数.为奇函数，若，则不等式的解集为（）A． B．C． D．4．（23-24高二下·广东佛山·期中）已知，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．5．（2023·辽宁·模拟预测）已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当时，，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．6．（22-23高三下·江西南昌·阶段练习）已知定义在上的函数满足，为的导函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．7．（22-23高二上·重庆沙坪坝·期末）已知是函数的导函数，，且对于任意的有．则下列不等式一定成立的是（

）A．B．C．D．8．（2023·辽宁·模拟预测）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若对任意有，，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．二、多选题9．（22-23高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，若，则下列选项正确的是（

）A．B．C．当时，D．若方程有一个根，则10．（22-23高二下·重庆沙坪坝·开学考试）若函数的定义域为，其导函数为，满足恒成立，则下列结论一定正确的是（

）A． B． C． D．11．（22-23高二下·江苏南京·阶段练习）若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值可以是（

）A．1 B．e C．e2 D．3e三、填空题12．（23-24高三上·上海浦东新·期中）定义在上的函数满足，其中为的导函数，若，则的解集为.13．（2022高三·全国·专题练习）如果，那么的取值范围是．14．（23-24高三上·河南焦作·开学考试）已知定义在R上的函数及其导函数满足，若，则满足不等式的x的取值范围是．四、解答题15．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，.(1)若对于任意，都有，求实数的取值范围；(2)若函数有两个零点，求证：.16．（2023高三·全国·专题练习）已知函数．(1)若在上单调递增，求实数的取值范围；(2)当时，，不等式是否恒成立？并说明理由．

第5讲导数中函数的构造问题（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 9【考点一】导数型构造函数 9【考点二】构造函数比较大小 18【专题精练】 25考情分析：导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题．真题自测真题自测一、单选题1．（2022·全国·高考真题）设，则（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．二、解答题3．（2022·全国·高考真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，，求a的取值范围；(3)设，证明：．4．（2021·全国·高考真题）设函数，已知是函数的极值点．（1）求a；（2）设函数．证明:．参考答案：题号12答案CA1．C【分析】构造函数，导数判断其单调性，由此确定的大小.【详解】方法一：构造法设，因为，当时，，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则,令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以故选：C.方法二：比较法解：，，，①，令则，故在上单调递减，可得，即，所以；②，令则，令，所以，所以在上单调递增，可得，即，所以在上单调递增，可得，即，所以故2．A【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解.【详解】[方法一]：构造函数因为当故，故，所以；设，，所以在单调递增，故，所以，所以，所以，故选A[方法二]：不等式放缩因为当，取得：，故，其中，且当时，，及此时，故，故所以，所以，故选A[方法三]：泰勒展开设，则，，，计算得，故选A.[方法四]：构造函数因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，故选：A．[方法五]：【最优解】不等式放缩因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．故选：A．【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．3．(1)f(x)的减区间为，增区间为.(2)(3)见解析【分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性.（2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.【详解】（1）当时，，则，当时，，当时，，故的减区间为，增区间为.（2）设，则，又，设，则，若，则，因为为连续不间断函数，故存在，使得，总有，故在为增函数，故，故在为增函数，故，与题设矛盾.若，则，下证：对任意，总有成立，证明：设，故，故在上为减函数，故即成立.由上述不等式有，故总成立，即在上为减函数，所以.当时，有，

所以在上为减函数，所以.综上，.（3）取，则，总有成立，令，则，故即对任意的恒成立.所以对任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.4．（1）；（2）证明见详解【分析】（1）由题意求出，由极值点处导数为0即可求解出参数；（2）由（1）得，且，分类讨论和，可等价转化为要证，即证在和上恒成立，结合导数和换元法即可求解【详解】（1）由，，又是函数的极值点，所以，解得；（2）[方法一]：转化为有分母的函数由（Ⅰ）知，，其定义域为．要证，即证，即证．（ⅰ）当时，，，即证．令，因为，所以在区间内为增函数，所以．（ⅱ）当时，，，即证，由（ⅰ）分析知在区间内为减函数，所以．综合（ⅰ）（ⅱ）有．[方法二]【最优解】：转化为无分母函数由（1）得，，且，当时，要证，，，即证，化简得；同理，当时，要证，，，即证，化简得；令，再令，则，，令，，当时，，单减，故；当时，，单增，故；综上所述，在恒成立.[方法三]：利用导数不等式中的常见结论证明令，因为，所以在区间内是增函数，在区间内是减函数，所以，即（当且仅当时取等号）．故当且时，且，，即，所以．（ⅰ）当时，，所以，即，所以．（ⅱ）当时，，同理可证得．综合（ⅰ）（ⅱ）得，当且时，，即．【整体点评】（2）方法一利用不等式的性质分类转化分式不等式：当时，转化为证明，当时，转化为证明，然后构造函数，利用导数研究单调性，进而证得；方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当时，成立和当时，成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，运算简洁，为最优解；方法三先构造函数，利用导数分析单调性，证得常见常用结论（当且仅当时取等号）．然后换元得到，分类讨论，利用不等式的基本性质证得要证得不等式，有一定的巧合性.考点突破考点突破【考点一】导数型构造函数一、单选题1．（2023·河北唐山·一模）已知函数,则不等式的解集为（

）A． B．C． D．2．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2023·江苏南通·模拟预测）已知O为坐标原点，曲线在点处的切线与曲线相切于点，则（

）A． B．C．的最大值为0 D．当时，4．（2023·湖北·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．三、填空题5．（2023·山东威海·一模）若不等式对任意成立,则实数a的取值范围为.6．（2022高三·全国·专题练习）已知函数，若对任意正数，当时，都有成立，则实数m的取值范围是．四、解答题7．（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）已知函数．若函数有两个不相等的零点．(1)求a的取值范围；(2)证明：．8．（2023·湖北武汉·二模）已知函数，其中．(1)证明：恒有唯一零点；(2)记（1）中的零点为，当时，证明：图像上存在关于点对称的两点．参考答案：题号1234答案BAABBC1．B【分析】化简，得到，令，令，求得，得到在上单调递增，且函数为偶函数，进而得到上单调递减，把不等式转化为，列出不等式，即可求解.【详解】由函数，所以，令，可得令且，可得在上恒成立，所以，所以在上单调递增，又由，所以函数为偶函数，则在上单调递减，又由，即，即，整理得，解得或，即不等式的解集为.故选：B.2．A【分析】构建，根据题意分析可知在上单调递减，结合函数单调性解不等式.【详解】构建，则，因为，则，即，可知在上单调递减，且，由可得，即，解得，所以不等式的解集是.故选：A．【点睛】关键点点睛：根据构建，进而利用导数判断函数单调性，结合单调性解不等式.3．AB【分析】先利用导数几何意义求出切线方程，利用切线斜率和截距相等建立方程，然后利用指对互化判断A、B，由数量积坐标运算化简，判断函数值符号即可判断C，构造函数，利用导数法研究函数的单调性，判断D【详解】因为，所以，又，所以，切线：，即，因为，所以，又，所以，切线：，即，由题意切线重合，所以，所以，即，A正确；当时，两切线不重合，不合题意，所以，，，所以，，B正确；，当时，，，则，当时，，，则，，所以，C错误；设，则，所以函数在上单调递增，所以，所以，所以，∴，记，则，所以函数在上单调递增，则，所以，D错误.故选：AB【点睛】关键点点睛：本题需要表示出两条切线方程，然后比较系数，再进行代换，在代换过程中要尽量去消去指数或对数，朝目标化简.4．BC【分析】通过多次构造函数，结合函数的性质、选项及进行求解.【详解】设，，当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以的最大值为，即.因为，所以.设，，所以当时，为减函数；因为，，所以.由可得，所以，故B正确.设，，当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以的最大值为，所以，即..设，易知为增函数，由可得，故C正确.因为为单调递减函数，在上是增函数，在上是减函数，且的图象经过图象的最高点，所以当时，的大小无法得出，故A不正确.令，则，得，易知在为增函数，所以，所以不成立，故D不正确.故选：BC.【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的常用方法：（1）作差比较法：作差，构造函数，结合函数最值进行比较；（2）作商比较法：作商，构造函数，结合函数最值进行比较；（3）数形结合法：构造函数，结合函数图象，进行比较；（4）放缩法：结合常见不等式进行放缩比较大小，比如，等.5．【分析】将不等式变形为的形式,构造,求导判断单调性后可知,只需即可,即成立,只需,构造新函数,求导求单调性,求出最值解出a的取值范围即可.【详解】解:因为对任意成立,不等式可变形为:,即,即对任意成立,记,所以,所以在上单调递增,则可写为:,根据单调性可知,只需对任意成立即可,即成立,记,即只需,因为,故在上,,单调递增,在上,,单调递减,所以,所以只需即可,解得:.故答案为:【点睛】思路点睛:本题考查不等式恒成立问题，属于难题，关于恒成立问题的思路如下:(1)若，恒成立，则只需;(2)若，恒成立，则只需;(3)若，恒成立，则只需;(4)若，恒成立，则只需;(5)若，恒成立，则只需;(6)若，恒成立，则只需;(7)若，恒成立，则只需;(8)若，恒成立，则只需.6．【分析】令，进而原题等价于在单调递增，从而转化为，在上恒成立，参变分离即可求出结果.【详解】由得，令，∴∴在单调递增，又∵∴，在上恒成立，即令，则∴在单调递减，又因为，∴．故答案为：.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．7．(1)；(2)证明见详解.【分析】（1）利用导数研究函数的单调性及最值，结合零点存在性定理计算即可；（2）构造函数，利用导数研究其单调性与最值即可证明.【详解】（1）由题意可知：，若，则恒成立，即单调递增，不存在两个不等零点，故，显然当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，所以若要符合题意，需，此时有，且，令，而，即在上递减，故，所以，又，故在区间和上函数存在各一个零点，符合题意，综上；（2）结合（1），不妨令，构造函数，则，即单调递减，所以，即，因为，所以，由（1）知在上单调递增，所以由，故.8．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）令，对函数求导利用函数导数单调性进行证明即可；（2）将问题转化，构造新函数，对函数求导，利用函数导数单调性进行证明即可.【详解】（1），又，令，则，递增，令，则，递减，而时，gx<0，时gx有，，可得恒有唯一零点．（2）因为，故，要证图像上存在关于点对称的两点，即证方程有解；，令，，令，则，令，当时，，则，递增，当时，，则，递减，故，因为，故，又时，，时，，故先负后正再负，则先减再增再减，又，且时，，时，，故先正后负再正再负，则ℎx先增再减再增再减，又时，，时，，而，故ℎx在区间存在两个零点，则原题得证！【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现，难度相当大，主要考向有以下几点：1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；3、求函数的极值（最值）；4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；5、证明不等式；解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，对新函数求导再结合导数与单调性等解决.规律方法：(1)出现nf(x)＋xf′(x)的形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；(2)出现xf′(x)－nf(x)的形式，构造函数F(x)＝eq\f(fx,xn).(3)出现f′(x)＋nf(x)的形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；(4)出现f′(x)－nf(x)的形式，构造函数F(x)＝eq\f(fx,enx).【考点二】构造函数比较大小一、单选题1．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知，则a，b，c大小关系为（

）A． B．C． D．2．（2023·广东·二模）已知，，，则（参考数据：）（

）A． B． C． D．二、多选题3．（23-24高二下·福建莆田·开学考试）已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．4．（2023·重庆·一模）已知m，n关于x方程的两个根，且，则（

）A． B．C． D．三、填空题5．（2022·福建龙岩·模拟预测）设，则的大小关系为.（从小到大顺序排）6．（2023·山西·模拟预测）已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且，，则不等式的解集是．四、解答题7．（2023高三·全国·专题练习）已知，函数有两个零点，记为，．(1)证明：．(2)对于，若存在，使得，试比较与的大小．8．（2023高三·全国·专题练习）设函数的两个零点是，求证：．参考答案：题号1234答案DBBDACD1．D【分析】根据式子结构，构造函数，利用导数判断出的单调性，进而得到a，b，c的大小关系.【详解】根据式子结构，构造函数，则，令，则，令，得，因此在单调递增，在单调递减，而，，，因为，所以，即.故选：D2．B【分析】由，考虑构造函数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可.【详解】因为，，考虑构造函数，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，因为，所以，即，所以，所以，即，又，所以，故，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将被比较的数化为结构相似的形式，考虑构造函数利用函数的单调性比较大小.3．BD【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，结合单调性逐项判断即可.【详解】构造函数，其中，则，所以，函数在上为减函数，对于AB选项，，即，可得，A错B对；对于CD选项，，即，D对，C无法判断.故选：BD.4．ACD【分析】根据函数的图象可得，结合条件可得，，利用对勾函数的性质可判断A，构造函数，根据函数的单调性可判断B，构造函数，利用导数研究函数的性质结合条件可判断CD.【详解】画出函数与的大致图象，由题可知，即，所以，又，所以，可得，，由对勾函数的性质可知，故A正确；设函数，因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，又，所以，，即，故B错误；设函数，则，由，可得单调递增，由，可得单调递减，因为，所以，即，所以，即，故C正确；又，，所以，即，所以，即，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题关键点是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据不等式的“形状”变换函数“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.5．【分析】方法一：构造函数和，求导确定单调性，利用单调性即可比较大小.【详解】[方法一]：【最优解】构造函数法记，则，当时，，故在上单调递增，故，故，记，则，当时，，故在单调递减，故，故，因此．故答案为：[方法二]：泰勒公式放缩，由函数切线放缩得，因此.故答案为：【整体点评】方法一：根据式子特征，构造相关函数，利用其单调性比较出大小关系，是该题的通性通法，也是最优解；方法二：利用泰勒公式以及切线不等式放缩，解法简洁，但是内容超出教材，不是每一个同学可以掌握．6．【分析】利用构造法，构造函数，由其导数可得新函数的单调性，根据函数的对称性，可得新函数的函数值，进而可得答案.【详解】设，∴，∴在R上单调递减．∵，∴的图象关于直线对称，∴，∴．∵，∴，即，∴2，故不等式的解集是．故答案为：.7．(1)证明见解析(2)【分析】（1）问题化为方程有两个根，构造研究单调性，结合得到，即可证结论；（2）由已知，结合作差，再构造研究其函数值符号比较大小，根据单调性即可证结论.【详解】（1）函数有两个零点，即方程有两个根．令，则，故上，上，∴在上单调递增，在上单调递减，在处取得最大值，∴，即，且，又，且，，结合函数的单调性得，∴．（2）由得：．而，∴．设，则．令，则，∴在上是增函数，因此，故．又，，即，∴，从而，即．又在上是增函数，∴，即．8．证明见解析【分析】先利用函数有两个零点推得，再运用对数均值不等式将其转化成，接着将代入导函数，换元后利用函数单调性即得.【详解】先证对数均值不等式：，因要证，不妨设，则只需证：,.构造函数，则．因为时，，所以函数在上单调递增，故，从而,得证,即有：，.下证不等式.由题意得，（且）两式相减得，，则（*），则，且由对数均值不等式可得：，故由（*）可得：．由求导得：，于是，设，则，，因在上递减，故有：，即：.规律方法：构造函数比较大小的常见类型(1)构造相同的函数，利用单调性，比较函数值的大小；(2)构造不同的函数，通过比较两个函数的函数值进行比较大小．专题精练专题精练一、单选题1．（2022·广东汕头·一模）已知，，，则以下不等式正确的是（

）A． B． C． D．2．（2023·江西萍乡·二模）已知，则这三个数的大小关系为（

）A． B．C． D．3．（22-23高三上·福建厦门·期末）已知定义在上的可导函数f（x）的导函数为f（x），满足且为偶函数.为奇函数，若，则不等式的解集为（）A． B．C． D．4．（23-24高二下·广东佛山·期中）已知，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．5．（2023·辽宁·模拟预测）已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当时，，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．6．（22-23高三下·江西南昌·阶段练习）已知定义在上的函数满足，为的导函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．7．（22-23高二上·重庆沙坪坝·期末）已知是函数的导函数，，且对于任意的有．则下列不等式一定成立的是（

）A．B．C．D．8．（2023·辽宁·模拟预测）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若对任意有，，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．二、多选题9．（22-23高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，若，则下列选项正确的是（

）A．B．C．当时，D．若方程有一个根，则10．（22-23高二下·重庆沙坪坝·开学考试）若函数的定义域为，其导函数为，满足恒成立，则下列结论一定正确的是（

）A． B． C． D．11．（22-23高二下·江苏南京·阶段练习）若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值可以是（

）A．1 B．e C．e2 D．3e三、填空题12．（23-24高三上·上海浦东新·期中）定义在上的函数满足，其中为的导函数，若，则的解集为.13．（2022高三·全国·专题练习）如果，那么的取值范围是．14．（23-24高三上·河南焦作·开学考试）已知定义在R上的函数及其导函数满足，若，则满足不等式的x的取值范围是．四、解答题15．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，.(1)若对于任意，都有，求实数的取值范围；(2)若函数有两个零点，求证：.16．（2023高三·全国·专题练习）已知函数．(1)若在上单调递增，求实数的取值范围；(2)当时，，不等式是否恒成立？并说明理由．参考答案：题号12345678910答案CCACACABBCAC题号11答案AB1．C【分析】由于，所以构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单调性比较大小即可【详解】，，，令，则，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，因为，所以，，因为，所以，所以故选：C2．C【分析】令，利用导数可知在上单调递增，在上单调递减，结合，可得答案.【详解】令，令得，令得，所以在上单调递增，在上单调递减，因为，且，则，即.故选：C.3．A【分析】先证明出为周期为8的周期函数，把转化为.记，利用导数判断出在上单调递减，把原不等式转化为，即可求解.【详解】因为为偶函数，为奇函数，所以，.所以，，所以.令，则.令上式中取，则，所以.令取，则，所以.所以为周期为8的周期函数.因为为奇函数，所以，令，得：，所以，所以，即为，所以.记，所以.因为，所以，所以在上单调递减.不等式可化为，即为.所以.故选：.4．C【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数判断单调性即可得解.【详解】令函数，求导得，因此函数在上单调递增，则，，所以.故选：C5．A【分析】根据题意构造函数，通过导数研究函数的单调性和奇偶性，将不等式等价转化为，分情况讨论并求解即可.【详解】因为，所以，构造函数，当时，，所以函数在区间内单调递增，且，又是定义在R上的偶函数，所以是定义在R上的偶函数，所以在区间内单调递减，且．不等式整理可得：，即，当时，，则，解得；当时，，则，解得，又，所以．综上，不等式的解集为．故选：A．6．C【分析】由题意设，结合题意可得，即函数是定义在上的奇函数，又当，时，，则，可得在，上单调递增，在，上单调递增，利用单调性，即可得出答案．【详解】令，则，即，故函数是定义在上的奇函数，当,时，，则，故在,上单调递增，在,上单调递增，所以在上单调递增，又，则，则不等式，即，故，解得．故选：C．7．A【分析】设，，根据已知条件，利用导数得到为增函数，由可推出A正确；由可推出B不正确；由可推出C不正确；由可推出D不正确.【详解】因为对于任意的有．又，，所以，设，，则，因为当时，，所以，所以在上为增函数，因为，所以，所以，所以，所以，故A正确；因为，所以，所以，所以，所以，故B不正确；因为，所以，所以，所以，所以，故C不正确；因为，所以，所以，所以，所以，故D不正确；故选：A8．B【分析】构造，确定函数在上单调递增，计算，，转化得到，根据单调性得到答案.【详解】设，则恒成立，故函数在上单调递增.，则，即，故.，即，即，故，解得.故选：B.9．BC【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，可判断A选项；由函数的单调性可判断B选项；利用函数在区间上的单调性可判断C选项；取特例可判断D