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文档简介

2025届省际名校高三3月份第一次模拟考试数学试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线的实轴长为,离心率为,、分别为双曲线的左、右焦点,点在双曲线上运动,若为锐角三角形,则的取值范围是()A. B. C. D.2.命题:的否定为A. B.C. D.3.已知平行于轴的直线分别交曲线于两点,则的最小值为()A. B. C. D.4.如果直线与圆相交,则点与圆C的位置关系是()A.点M在圆C上 B.点M在圆C外C.点M在圆C内 D.上述三种情况都有可能5.已知函数若对区间内的任意实数,都有,则实数的取值范围是()A. B. C. D.6.已知平面向量满足,且,则所夹的锐角为()A. B. C. D.07.()A. B. C. D.8.对于正在培育的一颗种子,它可能1天后发芽,也可能2天后发芽,….下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表,则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是()发芽所需天数1234567种子数43352210A.2 B.3 C.3.5 D.49.函数的对称轴不可能为()A. B. C. D.10.曲线上任意一点处的切线斜率的最小值为()A.3 B.2 C. D.111.函数的图象大致是()A. B.C. D.12.各项都是正数的等比数列的公比,且成等差数列,则的值为()A. B.C. D.或二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数,若函数有个不同的零点,则的取值范围是___________.14.已知圆柱的上、下底面的中心分别为,,过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为______.15.如图,为测量出高,选择和另一座山的山顶为测量观测点,从点测得点的仰角,点的仰角以及;从点测得.已知山高,则山高__________.16.已知向量=(1,2),=(-3,1),则=______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,.(1)若,,求实数的值.(2)若,,求正实数的取值范围.18.(12分)选修4-5:不等式选讲设函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若在上恒成立,求实数的取值范围.19.(12分)已知直线与椭圆恰有一个公共点,与圆相交于两点.(I)求与的关系式;(II)点与点关于坐标原点对称.若当时,的面积取到最大值,求椭圆的离心率.20.(12分)平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为,点.(1)求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线交于点,曲线与曲线交于点,求的面积.21.(12分)已知(1)当时,判断函数的极值点的个数;(2)记,若存在实数,使直线与函数的图象交于不同的两点,求证:.22.(10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线的参数方程是(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是.(1)写出的极坐标方程和的直角坐标方程;(2)已知点、的极坐标分别为和,直线与曲线相交于,两点,射线与曲线相交于点,射线与曲线相交于点,求的值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

由已知先确定出双曲线方程为,再分别找到为直角三角形的两种情况,最后再结合即可解决.【详解】由已知可得,,所以,从而双曲线方程为,不妨设点在双曲线右支上运动,则,当时,此时,所以,,所以;当轴时,,所以,又为锐角三角形,所以.故选:A.【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用,本题的关键是找到为锐角三角形的临界情况,即为直角三角形,是一道中档题.2、C【解析】

命题为全称命题,它的否定为特称命题,将全称量词改为存在量词,并将结论否定,可知命题的否定为,故选C.3、A【解析】

设直线为,用表示出,,求出,令,利用导数求出单调区间和极小值、最小值,即可求出的最小值.【详解】解:设直线为,则,,而满足,那么设,则,函数在上单调递减,在上单调递增,所以故选:.【点睛】本题考查导数知识的运用:求单调区间和极值、最值,考查化简整理的运算能力,正确求导确定函数的最小值是关键,属于中档题.4、B【解析】

根据圆心到直线的距离小于半径可得满足的条件,利用与圆心的距离判断即可.【详解】直线与圆相交,圆心到直线的距离,即.也就是点到圆的圆心的距离大于半径.即点与圆的位置关系是点在圆外.故选:【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质,考查点到直线距离公式的应用,属于中档题.5、C【解析】分析:先求导,再对a分类讨论求函数的单调区间,再画图分析转化对区间内的任意实数,都有,得到关于a的不等式组,再解不等式组得到实数a的取值范围.详解:由题得.当a<1时,,所以函数f(x)在单调递减,因为对区间内的任意实数,都有,所以,所以故a≥1,与a<1矛盾,故a<1矛盾.当1≤a<e时,函数f(x)在[0,lna]单调递增,在(lna,1]单调递减.所以因为对区间内的任意实数,都有,所以,所以即令,所以所以函数g(a)在(1,e)上单调递减,所以,所以当1≤a<e时,满足题意.当a时,函数f(x)在(0,1)单调递增,因为对区间内的任意实数,都有,所以,故1+1,所以故综上所述,a∈.故选C.点睛:本题的难点在于“对区间内的任意实数,都有”的转化.由于是函数的问题,所以我们要联想到利用函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、极值等)来分析解答问题.本题就是把这个条件和函数的单调性和最值联系起来,完成了数学问题的等价转化,找到了问题的突破口.6、B【解析】

根据题意可得,利用向量的数量积即可求解夹角.【详解】因为即而所以夹角为故选:B【点睛】本题考查了向量数量积求夹角,需掌握向量数量积的定义求法,属于基础题.7、D【解析】

利用,根据诱导公式进行化简,可得,然后利用两角差的正弦定理,可得结果.【详解】由所以,所以原式所以原式故故选:D【点睛】本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式,关键在于掌握公式,属基础题.8、C【解析】

根据表中数据,即可容易求得中位数.【详解】由图表可知,种子发芽天数的中位数为,故选:C.【点睛】本题考查中位数的计算,属基础题.9、D【解析】

由条件利用余弦函数的图象的对称性,得出结论.【详解】对于函数,令,解得,当时,函数的对称轴为,,.故选:D.【点睛】本题主要考查余弦函数的图象的对称性,属于基础题.10、A【解析】

根据题意,求导后结合基本不等式,即可求出切线斜率,即可得出答案.【详解】解:由于,根据导数的几何意义得:,即切线斜率,当且仅当等号成立,所以上任意一点处的切线斜率的最小值为3.故选:A.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值,考查计算能力.11、B【解析】

根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案.【详解】设,,则的定义域为.,当,,单增,当,,单减,则.则在上单增,上单减,.选B.【点睛】本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断.12、C【解析】分析:解决该题的关键是求得等比数列的公比,利用题中所给的条件,建立项之间的关系,从而得到公比所满足的等量关系式,解方程即可得结果.详解:根据题意有,即,因为数列各项都是正数,所以,而,故选C.点睛:该题应用题的条件可以求得等比数列的公比,而待求量就是,代入即可得结果.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

作出函数的图象及直线,如下图所示,因为函数有个不同的零点,所以由图象可知,,,所以.14、【解析】

设圆柱的轴截面的边长为x,可求得,代入圆柱的表面积公式,即得解【详解】设圆柱的轴截面的边长为x,则由,得,∴.故答案为:【点睛】本题考查了圆柱的轴截面和表面积,考查了学生空间想象,转化划归,数学运算的能力,属于基础题.15、1【解析】试题分析:在中,,,在中,由正弦定理可得即解得,在中,.故答案为1.考点:正弦定理的应用.16、-6【解析】

由可求,然后根据向量数量积的坐标表示可求.【详解】∵=(1,2),=(-3,1),∴=(-4,-1),则=1×(-4)+2×(-1)=-6故答案为-6【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示,属于基础试题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)1(2)【解析】

(1)求得和,由,,得,令,令导数求得函数的单调性,利用,即可求解.(2)解法一:令,利用导数求得的单调性,转化为,令(),利用导数得到的单调性,分类讨论,即可求解.解法二:可利用导数,先证明不等式,,,,令(),利用导数,分类讨论得出函数的单调性与最值,即可求解.【详解】(1)由题意,得,,由,…①,得,令,则,因为,所以在单调递增,又,所以当时,,单调递增;当时,,单调递减;所以,当且仅当时等号成立.故方程①有且仅有唯一解,实数的值为1.(2)解法一:令(),则,所以当时,,单调递增;当时,,单调递减;故.令(),则.(i)若时,,在单调递增,所以,满足题意.(ii)若时,,满足题意.(iii)若时,,在单调递减,所以.不满足题意.综上述:.解法二:先证明不等式,,,…(*).令,则当时,,单调递增,当时,,单调递减,所以,即.变形得,,所以时,,所以当时,.又由上式得,当时,,,.因此不等式(*)均成立.令(),则,(i)若时,当时,,单调递增;当时,,单调递减;故.(ii)若时,,在单调递增,所以.因此,①当时,此时,,,则需由(*)知,,(当且仅当时等号成立),所以.②当时,此时,,则当时,(由(*)知);当时,(由(*)知).故对于任意,.综上述:.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力,对于恒成立问题,通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题.18、(1);(2)【解析】

(1)当时,将原不等式化简后两边平方,由此解出不等式的解集.(2)对分成三种情况,利用零点分段法去绝对值,将表示为分段函数的形式,根据单调性求得的取值范围.【详解】(1)时,可得,即,化简得:,所以不等式的解集为.(2)①当时,由函数单调性可得,解得;②当时,,所以符合题意;③当时,由函数单调性可得,,解得综上,实数的取值范围为【点睛】本小题主要考查含有绝对值不等式的解法,考查不等式恒成立问题的求解,属于中档题.19、(Ⅰ)(II)【解析】

(I)联立直线与椭圆的方程,根据判别式等于0,即可求出结果;(Ⅱ)因点与点关于坐标原点对称,可得的面积是的面积的两倍,再由当时,的面积取到最大值,可得,进而可得原点到直线的距离,再由点到直线的距离公式,以及(I)的结果,即可求解.【详解】(I)由,得,则化简整理,得;(Ⅱ)因点与点关于坐标原点对称,故的面积是的面积的两倍.所以当时,的面积取到最大值,此时,从而原点到直线的距离,又,故.再由(I),得,则.又,故,即,从而,即.【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系,以及椭圆的简单性质,通常需要联立直线与椭圆方程,结合韦达定理、判别式等求解,属于中档试题.20、(1).(2)【解析】

(1)根据题意代入公式化简即可得到.(2)联立极坐标方程通过极坐标的几何意义求解,再求点到直线的距离即可算出三角形面积.【详解】解:(1)曲线,即.∴.曲线的极坐标方程为.直线的极坐标方程为,即,∴直线的直角坐标方程为.(2)设,,∴,解得.又,∴(舍去).∴.点到直线的距离为,∴的面积为.【点睛】此题考查参数方程,极坐标,直角坐标之间相互转化,注意参数方程只能先转化为直角坐标再转化为极坐标,属于较易题目.21、(1)没有极值点;(2)证明见解析【解析】

(1)求导可得,再求导可得,则在递增,则,从而在递增,即可判断;(2)转化问题为存在且,使,可得,由(1)可知,即,则,整理可得,则,设,则可整理为,设,利用导函数可得,即可求证.【详解】(1)当时,,,所以在递增,所以,所以在递增,所以函数没有极值点.(2)由题,,若存在实数,使直线与函数的图象交于不同的两点,即存在且,使.由可得,,由(1)可知,可得.,所以,即,下面证明,只需证明:,令,

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