高考数学一轮复习专题01-二项分布(解析版)

概率与统计专题一：二项分布一、知识储备一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为()，用表示事件发生的次数，则的分布列为（）如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布（binomialdistribution），记作。二、例题讲解1．（2022·全国高三其他模拟）羽毛球是一项隔着球网，使用长柄网状球拍击打用羽毛和软木刷制作而成的一种小型球类的室内运动项目．羽毛球比赛的计分规则：采用21分制，即双方分数先达21分者胜，3局2胜．每回合中，取胜的一方加1分．每局中一方先得21分且领先至少2分即算该局获胜，否则继续比赛；若双方打成29平后，一方领先1分，即算该局取胜．某次羽毛球比赛中，甲选手在每回合中得分的概率为，乙选手在每回合中得分的概率为．（1）在一局比赛中，若甲、乙两名选手的得分均为18，求在经过4回合比赛甲获胜的概率；（2）在一局比赛中，记前4回合比赛甲选手得分为，求的分布列及数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为3．【分析】（1）可知甲在第4回合胜，前3回合胜2场，进而根据独立重复试验的概率公式即可求出结果；（2）求出X的取值，进而求出对应的概率，列出分布列，利用二项分布的期望即可求出结果．【详解】（1）记在经过4回合比赛，甲获胜为事件A，可知甲在第4回合胜，前3回合胜2场，所以；（2）易知X的取值为0，1，2，3，4，且，，，，，，所以X的分布列为：X01234P数学期望．2．（2022·青铜峡市高级中学高三开学考试（理））设甲､乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲､乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（1）用表示甲同学上学期间的每周五天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；（2）记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多3天”为事件，求事件发生的概率.【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）.【分析】（1）由题意可得，然后利用二项分布的概率公式求对应的概率，从而可列出分布列，（2）设乙同学上学期间的五天中7：30之前到校的天数为，由题意可知，且，再利用相互独立事件的概率公式求解即可【详解】解：（1）因为甲同学上学期间的五天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率为，所以，从而，，所以，随机变量的分布列为：P012345X所以；（2）设乙同学上学期间的五天中7：30之前到校的天数为，则，且事件，由题意知，事件之间互斥，且与相互独立，由（1）可得.感悟升华（核心秘籍）1、判断一个实验是否服从二项分布的标准：事件每次发生的概率是一样。2、表示次实验都完成了，每次实验发生的概率为；3．（2021·全国高三专题练习（理））一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.（1）设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列、期望、方差；（2）设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列；（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.【答案】（1）分布列见解析，，；（2）分布列见解析；（3）.【分析】（1）由题意这名学生在途中遇到红灯的次数服从二项分布，进而求得分布列，期望及方差；（2）（），表示前个是绿灯，第个是红灯，表示5个均为绿灯，则，，由此可求这名学生在首次停车前经过的路口数的分布列；（3）利用对立事件概率计算公式可求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.【详解】（1）由题意可知，可取、、、、、，服从二项分布，则，，，，，，∴的分布列为：∴，；（2）由题意可知，可取、、、、，5则，，，，，，∴的分布列为：（3）设这名学生在途中至少遇到一次红灯为事件，所求概率.感悟升华（核心秘籍）此题注意与前两题对比，此题第(2)问可以理解为首次成功问题；当一个实验成功了，就不继续做后面的实验了，这与有本质的区别，表示次实验都完成了，每次实验发生的概率为，至于这次实验成功了几次，需要等最后一次实验做完才知道；而此题首次成功，不再做后续的实验。实验的次数。实战练习1．（2022·湖北武汉·）在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是，那么在本次运动会上：（1）求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；（2）若该运动员能打破世界纪录的项目数为，求的分布列及期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，2.【分析】（1）依题意，该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件，并且每个事件发生的概率相同，然后根据二项分布的概率公式和互斥事件的概率公式求解即可，（2）由于，从而利用二项分布的概率公式求出对应的概率，进而可列出分布列，求出数学期望【详解】解：（1）依题意，该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件，并且每个事件发生的概率相同．设其打破世界纪录的项目数为随机变量，“该运动员至少能打破3项世界纪录”为事件A，则有（2）设该运动员能打破世界纪录的项目数为X，由（1）解答可知，，则,,,，所以X的分布列为X0123P所以期望．2．（2022·渝中·重庆巴蜀中学高三开学考试）某医院为筛查某病毒，需要检验血液是不是阳性，现有份血液样本，为了优化检验方法，现在做了以下两种检验方式：实验一：逐份检验，则需要检验次.实验二：混合检验，将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这份血液样本全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这份血液样本究竟哪几份为阳性，就要对这份血液样本再逐份检验，此时这份血液样本的检验次数总共为.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为.现取其中（且）份血液样本，记釆用逐份检验方式，需要检验的这份样本的总次数为，釆用混合检验方式，需要检验的这份样本的总次数为.（1）若每份样本检验结果是阳性的概率为，以该样本的阳性概率估计全市的血液阳性概率，从全市人民中随机抽取3名市民，（血液不混合）记抽取到的这3名市民血液成阳性的市民个数为，求的分布列及数学期望（2）若每份样本检验结果是阳性的概率为，为使混合检验需要的检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求的最大值.（，，）【答案】（1）分布列见详解；；（2）【分析】（1）利用二项分布的概率计算公式可列出分布列，根据二项分布的数学期望求法即可求解.（2）由题意可知，得到，结合推出，利用对数的运算法则，通过构造法，结合函数的导数，判断函数的单调性转化为求解的最大值.【详解】（1）由题意可知血液程阳性的概率为，可得，，，，，的分布列如下：.（2）由题意知，得，即，，，，设，则，令，则，时，，即在上单调递减，又，，，又，，，的最大值为3．（2022·全国高三其他模拟（理））新冠疫情这特殊的时期，规定居民出行或出席公共场合均需佩戴口罩，现将地区居民人一周的口罩使用量统计如表所示，其中个人一周的口罩使用为个以及个上的有人.个人的一周口罩使用数量（单位：个）频率（1）求、的值；（2）用样本估计总体，将频率视为概率，若从地区的所有居民中随机抽取人，记一周使用口罩数量（单位：个）在范围的人数为，求的分布列及数学期望.【答案】（1），；（2）分布列见解析，期望为.【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程，即可求得结果；（2）分析可得，利用二项分布可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.【详解】（1）由题意可得，则，因为，解得；（2）从地区的所有居民中随机抽取人，此人一周使用口罩数量（单位：个）在范围内的概率为，则，所以，，，，，，所以，随机变量的分布列如下表所示：故.4．（2022·新沂市第一中学高三其他模拟）市教育部门为研究高中学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该市某校200名高中学生的课外体育锻炼平均每天锻炼的时间进行了调查，数据如下表：平均每天锻炼的时间(分钟)总人数203644504010将学生日均课外体育锻炼时间在内的学生评价为“课外体育达标”.（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关；课外体育不达标课外体育达标总计男女20110总计（2）从上述课外体育不达标的学生中，按性别用分层抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取3人了解他们锻炼时间偏少的原因，记所抽取的3人中男生的人数为随机变量，求的分布列和数学期望；（3）将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有高中学生中抽取4名学生，求其中恰好有2名学生课外体育达标的概率.【答案】（1）列联表答案见解析，在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3）.【分析】（1）根据题目给出数据，填写列联表，计算的值，与临界值6.635比较即可（2）利用超几何分布公式计算，得到概率分布，利用期望公式计算即可；（3）利用二项分布计算即可.【详解】（1）课外体育不达标课外体育达标总计男603090女9020110总计15050200，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.（2）易知，所抽取的10名学生中，男生为名，女生为名.X可取..的分布列为X0123P.（3）设所抽取的4名学生中，课外体育达标的人数为，（1）中表中学生课外体育达标的频率为，将频率视为概率，.名学生中，恰好有2名学生的课外体育达标的概率为.【点睛】本题考查独立性检验，超几何分布和二项分布，离散型概率分布的期望，属基础题.5．（2022·陕西汉中·高三月考（理））树木根部半径与树木的高度呈正相关，即树木根部越粗，树木的高度也就越高.某块山地上种植了树木，某农科所为了研究树木的根部半径与树木的高度之间的关系，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取棵树木，调查得到树木根部半径(单位：米)与树木高度(单位：米)的相关数据如表所示：（1）求关于的线性回归方程；（2）对（1）中得到的回归方程进行残差分析，若某树木的残差为零，则认为该树木“长势标准”，以此频率来估计概率，则在此片树木中随机抽取棵，记这棵树木中“长势标准”的树木数量为，求随机变量的数学期望与方差.参考公式：回归直线方程为，其中【答案】（1）；（2）期望，方差.【分析】（1）由最小二乘法先求样本点中心，再代入公式求，即可得到答案；（2）先计算6棵A树木中残差为零的有3棵，占比为，即可得到随机变量，根据二项分布的期望和方差公式可得答案；【详解】（1）由，，，，有，，故关于的回归方程为：.（2）当时，，残差为，当时，，残差为，当时，，残差为，当时，，残差为，当时，，残差为，当时，，残差为，由这6棵A树木中残差为零的有3棵，占比为，这棵树木“长势标准”的概率为.所以记这棵树木中“长势标准”的树木数量为，且，所以随机变量的数学期望为，方差.6．（2022·四川成都·双流中学高三三模（理））从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图.（1）求的值并估计该市中学生中的全体男生的平均身高（假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（2）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在以上的概率.若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取人，用表示身高在以上的男生人数，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】（1），平均身高为；（2）分布列答案见解析，数学期望：.【分析】（1）利用直方图的面积之和为可求得的值，将每个矩形底边的中点值乘以矩形的面积，再将所得结果全部相加可得出平均数；（2）分析可知，根据二项分布可得随机变量的分布列，进而可计算得出的值.【详解】（1）根据题意得，解得，设样本中男生身高的平均值为，，所以估计该市中学全体男生的平均身高为；（3）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在以上的概率约为.由已知得，所以，，，.随机变量的分布列为所以.7．（2022·安徽安庆一中高三三模（理））安庆市某学校高三年级开学之初增加晚自习，晚饭在校食堂就餐人数增多，为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅，分别记做餐厅甲和餐厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅甲就餐的概率是25%､选择餐厅乙就餐的概率为75%，前一天选择餐厅乙就餐第二天选择餐厅乙就餐的概率是50%､选择餐厅甲就餐的概率也为50%，如此往复.假设学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第n天选择甲餐厅就餐的概率为.（1）记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X，求X的分布列，并求E(X)；（2）请写出与的递推关系；（3）求数列的通项公式并帮助学校解决以下问题：为提高学生服务意识和团队合作精神，学校每天从20个班级中每班抽调一名学生志愿者为全体学生提供就餐服务工作，根据上述数据，如何合理分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数？请说明理由.【答案】（1）分布列答案见解析，；

（2）；

（3）分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数8人和12人，理由见解析.【分析】（1）依题意可得，进而可得分布列和期望；（2）由可得结果；（3）由（2）求得，且，由此可得分配方案.【详解】（1）某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率，某同学第二天选择餐厅乙就餐的概率，位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数为，则.，的分布列为0123故.（2）依题意，，即.（3）由（2）知，则当时，可得，数列是首项为公比为的等比数列.，即.，所以，分配到餐厅甲的志愿者人数为，分配到餐厅乙的志愿者人数为.【点睛】关键点点睛：第（1）问的关键点是：探究得到；后两问的关键点是得到递推关系.8．（2022·湖北恩施·高三其他模拟）目前某市居民使用天然气实行阶梯价格制度，从该市随机抽取10户调查同一年的天然气使用情况，得到统计表如下：用气居民编号12345678910年用气量(立方米)95106112161210227256313325457（1）现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望；（2）若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市居民中抽取10户，其中恰有户年用气量不超过228立方米的概率为，求使取到最大值时，的值.【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）.【分析】（1）由统计表知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户，设抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为，则服从超几何分布，且的可能取值为0，1，2，3，由此可计算出概率得分布列，然后由期望公式计算期望．（2）抽到的年用气量不超过228立方米的用户数为，则服从二项分布，列出的不等式组，解之可得．【详解】解：（1）由题知，10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户，设抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为，则服从超几何分布，且的可能取值为0，1，2，3，则，，，，故随机变量的分布列为0123所以.（2）由题意知设从全市住户抽到的年用气量不超过228立方米的用户数为，则服从二项分布，且，由可得，，所以.故当取到最大值时，.【点睛】关键点点睛：本题考查随机变量的概率分布列和数学期望，考查二项分布的概率问题．解题关键是确定随机变量的概率分布，由此可得概率计算公式计算出概率．9．（2022·天津宝坻·高三其他模拟）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病，而新型冠状病毒(nCoV)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株人，感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状，发热、咳嗽、气促和呼吸困难等在较严重病例中，感染可导致肺炎，严重急性呼吸综合征，肾衰竭，甚至死亡．假如某医药研究机构合成了甲、乙两种抗“新冠病毒”的药物．经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为，现已进入药物临床试用阶段．每个试用组由4位该病毒的感染者组成．其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物．如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”．（1））求一个试用组为“甲类组”的概率；（2）观察3个试用组，用表示这3个试用机组“甲类组”的个数，求的分布列和数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为．【分析】（1）把“甲类组”这一复杂事件用几个互斥的基本事件的和来表示，再利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.（2）首先判断随机变量服从二项分布，再求其分布列和均值.【详解】解（1）设表示事件“一个试验组中，服用甲种抗病毒药物有效的人数人”，，表示事件“一个试验组中，服乙有效的人有人”，依题意有所求的概率为（2）的可能值为，且，，，，的分布列为0123数学期望．10．（2022·全国高三月考）2022年北京冬季奥运会将在北京市和河北省张家口市联合举行，北京市延庆区张山营镇的2022北京冬奥森林公园于2021年4月22日正式启动了冬奥赛区的树木移植工作．本次移植的树木来自2022北京冬奥赛区树木假植区，包含暴马丁香、核桃楸、大叶白蜡等多个品种．现从冬奥赛区树木假植区中抽取300棵暴马丁香，并对树木高度（单位：）进行测量，将测量结果绘制为如图所示的频率分布直方图．（1）估计抽取的300棵暴马丁香树木高度的平均值（同一组中的数据可用该区间的中点值为代表）；（2）北京冬奥赛区树木假植区内的暴马丁香的高度（）服从正态分布，其中近似为样本平均数．记为假植区内10000棵暴马丁香中高度位于区间的数量，求；（3）在树木移植完成后，采取施用生根粉、加挂营养液等方式确保了移植树木的成活率，经验收，单棵移植成活率达到了90%．假设各棵树木成活与否相互不影响，求移植五棵暴马丁香成活四棵及以上的概率．（保留三位小数）附：若，则，．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根据直方图中各矩形的面积之和为，可求得抽取树木高度为的频率，再运用每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得样本的平均值；（2）根据（1）估计得，由正态分布密度曲线的性质求得概率，依题意知，从而根据二项分布的期望公式可得答案．（3）根据独立重复实验的概率公式可求得答案．【详解】（1）抽取树木高度为的频率为，所以样本均值．（2）由第一问估计，，一棵树的高度位于区间的概率为0.1359，依题意知，所以．（3）记移植五棵树中成活了棵．．【点睛】方法点睛：本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题.直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.11．（2022·云南省元谋县第一中学高三其他模拟（理））随着5G通讯技术的发展成熟，移动互联网短视频变得越来越普及，人们也越来越热衷于通过短视频获取资讯和学习成长.某短视频创作平台，为了鼓励短视频创作者生产出更多高质量的短视频，会对创作者上传的短视频进行审核，通过审核后的短视频，会对用户进行重点的分发推荐.短视频创作者上传一条短视频后，先由短视频创作平台的智能机器人进行第一阶段审核，短视频审核通过的概率为，通过智能机器人审核后，进入第二阶段的人工审核，人工审核部门会随机分配3名员工对该条短视频进行审核，同一条短视频每名员工审核通过的概率均为，若该视频获得2名或者2名以上员工审核通过，则该短视频获得重点分发推荐.（1）某创作者上传一条短视频，求该短视频获得重点分发推荐的概率；（2）若某创作者一次性上传3条短视频作品，求其获得重点分发推荐的短视频个数的分布列与数学期望.【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：.【分析】（1）利用独立性概率乘法公式得到结果；（2）设其获得重点分发推荐的短视频个数为随机变量，服从二项分布，从而得到分布列与数学期望.【详解】（1）设“该短视频获得重点分发推荐”为事件，则.（2）设其获得重点分发推荐的短视频个数为随机变量，可取.则，；；；，所以随机变量的分布列如下：.(或)【点睛】方法点睛：本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望.求解该类问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.12．（2022·衡水第一中学高三月考（理））为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学，生物，政治，地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中组合：物理、化学、生物，组合：历史、政治、地理，组合：物理、化学、地理根据选课数据得到，选择组合的概率为，选择组合的概率为，选择组合的概率为，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的．（1）求这三位同学恰好选择互不相同组合的概率；（2）记表示这三人中选择含地理的组合的人数，求的分布列及数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【分析】（1）用表示第i位同学选择A组合，用表示第i位同学选择B组合，用表示第i位同学选择C组合，，则由题意可得，而三位同学恰好选择不同组合共有种情况，每种情况的概率相同，从而可求出概率；（2）由题意知的所有可能取值为0，1，2，3，且，然后求出各自所