北师版八年级上册初中数学全册公开课教案

1探索勾股定理（第1课时）

一、学生起点分析

八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力.在小学，他们已学习了一

些几何图形面积的计算方法（包括割补法），但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能

力还远远不够.部分学生听说过“勾三股四弦五”，但并没有真正认识什么是“勾股定理”.此

外，学生普遍学习积极性较高，探究意识较强，课堂活动参与较主动，但合作交流能力和探

究能力有待加强.

二、教学任务分析

本节课是义务教育课程标准教科书北师大版八年级（上）第一章《勾股定理》第一节第1

课时.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数

学的发展和现实世界中有着广泛的作用.本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生

认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性.此外，历史上勾

股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值.

为此本节课的教学目标是：

1.用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映

的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用.

2.让学生经历“观察一猜想一归纳一脸证”的数学思想，并体会数形结合和从特殊到

一般的思想方法.

3.进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧

密联系.

4.在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的

研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化历史，激励学生发奋学习.

三、教学过程设计

本节课设计了五个教学环节.第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探索发现勾

股定理；第三环节：勾股定理的简单应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业.

第一环节：创设情境，引入新课

内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数

学家大会的会标：

会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾

股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号.今天我们就来一同探索勾股

定理.（板书课题）

意图：紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育.

效果：激发起学生的求知欲和爱国热情.

第二环节：探索发现勾股定理

1.探究活动一

内容：投影显示如下地板砖示意图，引导学生从面积角度观察图形:

问：你能发现分勺面积之间有

学生通过观察,

结论1以等强边为边长的侬等于以斜边为边长

的正方形的面积.

意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边.通过对

特殊情形的探究得到结论1,为探究活动二作铺垫.

效果：1.探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力；2.通

过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望.

2.探究活动二

内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？

A的面积B的面积C的面积

（单位面积）（单位面积）（单位面积）

左图

右图

（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流.（学生可能会做出多种方法，教

师应给予充分肯定.)

图1图2图3

学生的方法可能有：

方法一：

如图1,将正方形C分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形，

Sc=4xlx2x3+l=13.

,2

方法二：

如图2,在正方形C外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减

01

去四个直角三角形的面积，S=5~—4x—x2x3=13.

c2

方法三：

如图3,正方形C中除去中间5个小正方形外，将周围部分适当拼接可成为正方形，如

图3中两块红色(或两块绿色)部分可拼成一个小正方形，按此拼法，Sc=2x4+5=13.

(4)分析填表的数据，你发现了什么？

学生通过分析数据，归纳出：

结论2以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正

方形的面积.

意图：探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形

的性质.由于正方形C的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节.

效果：学生通过充分讨论探究，在突破正方形C的面积计笄这一难点后得出结论2.

3.议一议

内容：(1)你能用直角三角形的边长a,b,c来表示上图中正方形的面积吗？

(2)你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？

(3)分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度.2中

发现的规律对这个三角形仍然成立吗？

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b,c分别表示

直角三角形的两直角边和斜边，那么/+〃=c2.

数学小史：勾股定理是我国录早发现的，中国古代把直角三角.

形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾勾

股

股定理”因此而得名.（在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理）

意图：议一议意在让学生在绐论2的基础上，进一步发现直角三角形三边关系，得到勾

股定理.

效果：1.让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力；2.通过

作图培养学生的动手实践能力.

第三环节：勾股定理的简单应用

内容：

例题如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m处折断倒下，树顶落在离

树根24m处.大树在折断之前高多少？

（教师板演解题过程）

练习：

1.基础巩固练习：

求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）：

2.生活中的应用----x

小明妈妈买了《29*闻端&电视机.小明量卜电视堆也赢4,发现屏幕只有58

cm长和46cm宽，他觉售货员搞错了.你同意他的想法吗？你店解释这是为什么吗？

意图：练习第1题是勾股定理的直接运用，意在巩固基础知识.

效果：例题和练习第2题是实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活，意

在培养学生“用数学”的意识.运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容.

第四环节：课堂小结

内容：

教师提问：

1.这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？

2.对这些内容你有什么体会？与同伴进行交流.

在学生自由发言的基础上，师生共同总结：

1.知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用。力，。分

别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么/+从=/.

2.方法:(1)观察一探索一猜想一验证一归纳一应用；

(2)“割、补、拼、接”法.

3.思想：(1)特殊一般特殊;

⑵数形结合思想.

意图：鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动.

效果：通过畅谈收获和体会，意在培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总结

的意识.

第五环节：布置作业

内容：布置作业：1.课本习题1.1.

2.观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足"+从=。2?

意图：课后作业设计包括了三个层面：作业1是为了巩固基础知职而设计；作业2是为

了扩展学生的知识面；作业3是为了拓广知识，进行课后探究而设计，通过此题可让学生进

一步认识勾股定理的前提条件.

效果：学生进一步加强对本课知识的理解和掌握.

五、教学设计反思

(-)设计理念

依据“学生是学习的主体”这一理念，在探索勾股定理的整个过程中，本节课始终采用

学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行主动学习.教师只在学生遇到困难时，进

行引导或组织学生通过讨论来突破难点.

(―)突出重点、突破难点的策略

为了让学生在学习过程中自我发现勾股定理，本节课首先情景创没激发兴趣，再通过几

个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这一特殊情形入手，自然过渡到探究一般直角三

角形，学生通过观察图形，计算面积，分析数据，发现直角三角形三边的关系，进而得到勾

股定理.

1探索勾股定理（第2课时）

一、学生起点分析

学生的知识技能基础：学生在七年级已经学习了整式的加、减、乘、除运算和等式的基

本性质，并能进行简单的恒等变形；上节课又已经通过测量和数格子的方法，对具体的直角

三角形探索并发现了勾股定理，但没有对一般的直角三角形进行验证.

学生活动经验基础：学生在以前数学学习中已经经历了很多独立探究和合作学习的过

程，具有了一定的自主探究经验和合作学习的经脸，具备了一定的探究能力和合作与交流的

能力；学生在七年级《七巧板》及《图案设计》的学习中已经具备了一定的拼图活动经脸.

二、教学任务分析

本节课是八（上）勾股定理第1节第2课时，是在上节课已探索得到勾股定理之后的内

容，具体学习任务：通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；应用勾股定理解决

一些实际问题，体会勾股定理的应用价值并逐步培养学生应用数学解决实际问题意识和能

力，为后面的学习打下基础.为此本节课的教学目标是：

1.掌握勾股定理及其脸证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.

2.在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过

程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.

3.在勾股定理的险证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对句股定理历史的了解，

感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识.

用面积法验■证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题是本节课的重点.

三、教学过程

本节课设计了七个教学环节：（一）复习设疑，激趣引入；（二）小组活动，拼图脸证；

（三）延伸拓展，能力提升（四）例题讲解，初步应用；（五）追溯历史，激发情感；；（六）

回顾反思，提炼升华；（七）布置作业，课堂延伸.

第一环节：复习设疑，激趣引入

内容：教师提出问题：

（1）勾股定理的内容是什么？（请一名学生回答）

（2）上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，

对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步脸证，如何验证勾股定理呢？事

实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理.

意图：（1）复习勾股定理内容；（2）回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角

形进行脸证，培养学生严谨的科学态度；（3）介绍世界上有数百种脸证方法，激发学生兴趣.

效果：通过这一环节，学生明确：仅仅探索得到勾股定理还不够，还需进行验证.当学

生听到有数百种险证方法时，马上就有了去寻求属于自己的方法的渴望.

第二环节：小组活动，拼图验证

内容：活动1：教师导入，小组拼图.

教师：今天我们将研究利用拼图的方法脸证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的

直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.（请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后4

人小组讨论.）

活动2:层层设问，完成验证一.

学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：

在此基础上教师提问：

（1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（学生先独立思考，再4

人小组交流）；

（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？（在学生回答的慰础上板书（。+匕）2=4x」"+c2,并

2

得到。?+从=c2）

从而利用图1脸证了勾股定理.

活动3:自主探究，完成验证二.

教师小结：我们利用耕图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系整式运算的有关知识，从理

论上脸证了勾股定理，你还能利用图2脸证勾股定理吗？

（学生先独立探究，再小组交流，放后请一个小组同学上台讲解脸证方法二）

意图：设计活动1的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验

证作铺垫，同时也培养学生的动手、创新能力.在活动2中，学生在教师的层层设问引导下

完成对勾股定理的脸证，完成本节课的一个重点内容.设计活动3,让学生利用另一个拼图独

立验证勾股定理的目的是让学生再次体会教形结合的思想并体会成功的快乐.

效果：学生通过先拼图从形上感知，再分析面积验证，比较容易地掌握了本节课的重

点内容之一，并突破了本节课的难点.

第三环节：延伸拓展，能力提升

1.议一议:观察下图，用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足^+从=02

2.一个直角三角形的斜边为20cm,且两直角边长度比为3:4,求两直角边的长.

意图：在前面已经讨论了直角三角形三边满足的关系，那么锐角三角形或钝角三角

形的三边是否也满足这一关系呢？学生通过数格子的方法可以得出：如果一个三角形不是直

角三角形，那么它的三边a,b,c不满足/+从=。2通过这个结论，学生将对直角三角形三

边的关系有进一步的认识，并为后续直角三角形的判别打下基础.

第四环节：例题讲解，初步应用

内容：例题：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米

处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？

意图：（1）初步运用勾股定理解决实际问题，培养学生应用数学的意识和能力；（2）体

会勾股定理的应用价值.

效果：学生对这样的实际问题很感兴趣，基本能把实际问题转化为数学问题并顺利解决.

第五环节：追溯历史，激发情感

活动内容：由学生利用所搜集的与勾股定理相关的资料进行介绍.

国内调查组报告：用图2验证勾股定理的方法，据载最早是三国时期数学家赵爽在为

《周髀算经》作注时给出的，我国历史上将图2弦上的正方形称为弦图.2002年的数学家大

会（ICM-2OO2）在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的弦图，这既标志

着中国古代的数学成就，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！

国际调查组报告：勾股定理与第一次数学危机.

约公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，

一个正方形的对角线的长度是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形边长是

1,则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比，这一事实不但与毕氏学派

的哲学信念大相径庭，而且建立在任何两个线段都可以公度基础上的几何学面临被推翻的威

胁，第一次数学危机由此爆发.据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、恼怒，

为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海.

不能表示成两个整数之比的数，15世纪意大利著名画家达•芬奇称之为“无理的数”，

无理数的英文“irrational”原义就是“不可比”.第一次数学危机一直持续到19世纪实数的

基础建立以后才圆满解决.我们将在下一章学习有关实数的知识.

趣闻调查组报告：勾股定理的总统证法.

在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位9年人正在散步，欣赏

黄昏的美景……他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈

论着什么，时而大声争论，时而小声探讨.由于好奇心驱使他循声向两个小孩走去，想搞清

楚两个小孩到底在干什么.只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角

形

于是这位中年人不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题.他经过反复的

思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法.

1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法.

1881年，这位中年人——伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾

股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统证法”.

说明：这个环节完全由学生来组织开展，教师可在两天前布置任务，让部分同学收集

勾股定理的资料，并在上课前拷贝到教师用的课件中便于展示，内容可灵活安排.

意图：（1）介绍与勾股定理有关的历史，激发学生的爱国热情；（2）学生加强了对数

学史的了解，培养学习数学的兴趣；（3）通过让部分学生搜集材料，展示材料，既让学生得

到充分的锻炼，同时也活跃了课堂气氛.

效果：学生热情高涨，对勾股定理的历史充满了浓厚的兴趣，同时也为中国古代数学

的成就感到自豪.也有同学提出：当代中国数学成就不够强，还应发奋努力.有同学能意识这

一点，这让我喜出望外.

第六环节：回顾反思，提炼升华

内容：教师提问：通过这节课的学习，你为什么样的收获？师生共同畅谈收获.

目的：（1）归纳出本节课的知识要点，数形结合的思想方法；（2）教师了解学生对本节

课的感受并进行总结；（3）培养学生的归纳概括能力.

效果：由于这节课自始至终都注意了调动学生学习的积极性，所以学生谈的收获很多，

包括利用拼图验证勾股定理中蕴含的数形结合思想，学生对勾股定理的历史的感悟及对勾股

定理应用的认识等等.

第七环节：布置作业，课堂延伸

内容：教师布置作业

1.课本习题1.21,2,3

2.上网或查阅有关书籍，搜集至少1种勾股定理的其它证法，至少1个勾股定理的应

用问题，一周后进行展评.

意图：（1）巩固本节课的内容.（2）充分发挥勾股定理的育人价值.

六、教学设计反思

1.设计说明

勾股定理作为“千古第一定理”其魅力在于其历史价值和应用价值，因此我注意充分挖

掘了其内涵.特别是让学生事先进行调查，再在课堂上进行展示，这极大地调动了学生，既

加深了对勾股定理文化的理解，又培养了他们收集、整理资料的能力.勾股定理的验证既是

本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，我设计了拼图活动，先让学生从形

上感知，再层层设问，从面积（数）入手，师生共同探究得到方法1,最后由学生独立探究

得到方法2.这样学生较容易地突破了本节课的难点.

2.教学建议

如果学生的程度较好可以按照本教学设计进行教学，并且可以把分层练习中“知识拓展”作

为课堂教学内容.如果学生程度稍差，可以舍弃第三环节以及第五环节中的（2）（3）.而把

分层练习中“基础训练”作为课堂过关使用.2一定是直角三角形吗

一、学生知识状况分析

学生已经了解勾股定理，并在先前其他内容学习中已经积累了一定的逆向思维、逆向研

究的经验，如：已知两直线平行，有什么样的结论？反之，满足什么条件的两直线是平行？

因而，本课时由勾股定理出发逆向思考获得逆命题，学生应该已经具备这样的意识，但具体

研究中，可能要用到反证等思路，对现阶段学生而言可能还具有一定困难，需要教师适时的

引导.

二、学习任务分析

本节课是义务教育课程标准教科书北师大版数学八年级（上）第一幸《勾股定理》第2节.

教学任务有：探索勾股定理的逆定理，并利用该定理根据边长判断一人三角形是否是直角三

角形，利用该定理解决一些简单的实际问题；通过具体的数，增加对勾股数的直观体验.本

节课的教学目标是：

1.理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念；

2.能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形；

3.经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力、归纳能力；

4.体脸生活中的数学的应用分值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、

用数学的兴趣.

教学重点

理解勾股定理逆定理的具体内容.

三、教法学法

1.教学方法：实脸一猜想一归纳一论证

本节课的教学对象是初二学生，他们的参与意识较强，思维活跃，对通过实验获得数学

结论已有一定的体验，但数学思维严谨的同学总是心存疑虑，利用逻辑推理的方式，让同学

心服口服显得非常迫切，为了实现本节课的教学目标，我力求从以下三个方面对学生进行引

导：

⑴从创设问题情景入手，通过知识再现，孕育教学过程;

⑵从学生活动出发，通过以旧引新，顺势教学过程；

(3)利用探索，研究手段，通it思维深入，领悟教学过程.

2.课前准备

教具：教材、电脑、多媒体课件.

学具：教材、笔记本、课堂练习本、文具.

四、教学过程设计

本节课设计了七个环节.第一环节：情境引入；第二环节：合作探究；第三环节：小试

牛刀；第四环节：量高望远；第五环节：巩固提高；第六环节：交流小结；第七环节：布置

作业.

第一环节：情境引入

内容：

情境：1.直角三角形中，三边长度之间满足什么样的关系？

2.如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否

就是直角三角形呢？

意图：通过情境的创设引入新课，激发学生探究热情.

效果：从勾股定理逆向思维这一情景引入，提出问题，激发了学生的求知欲，为下一环

节奠定了良好的基础.

第二环节：合作探究

内容1：探究

下面有三组数，分别是一个三角形的三边长a,b,c①5,12,13;②7,24,25;③8,

15,17;并回答这样两个问题：

1,这三组数都满足/+从=/吗？

2.分别以每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？学生

分为4人活动小组，每个小组可以任选其中的一组数.

意图：通过学生的合作探究，得出“若一个三角形的三边长〃,b,c,满足从=/,

则这个三角形是直角三角形”这一结论；在活劫中体脸出数学结论的发现总是要经历观察、

归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊-一般-特殊”的发展规律.

效果：经过学生充分讨论后，汇总各小组实验结果发现：①5,12,13满足/+从=°2,

可以构成直角三角形；②7,24,25满足/+从=百，可以构成直角三角形；③8,15,17满

足/+从=1,可以构成直角三角形.

从上面的分组实验很容易得乜如下结论：

如果一个三角形的三边长4,b,C,满足/+32=,2,那么这个三角形是直角三角形.

内容2:说理

提问：有同学认为测量结果可能有误差，不同意这个发现.你认为这个发现正确吗？你

能给出一个更有说服力的理由吗？

意图：让学生明确，仅仅基于测量结果得到的结论未必可靠，需要进一步通过说理等方

式使学生确信结论的可靠性，同叶明啪结论：

如果一个三角形的三边长。，b,c,满足/+/=。2,那么这个三角形是直角三角形.

满足/+/=/的三个正整数，称为勾股数.

注意事项：为了让学生确认该结论，需要进行说理，有条件的班级，还可利用几何画板

动画演示，让同学有一个直观的认识.

活动3:反思总结

提问：

1.同学们还能找出哪些勾股数呢？

2.今天的结论与前面学习勾股定理有哪些异同呢？

3.到今天为止，你能用哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢？

4.通过今天同学们合作探究，你能体验出一个数学结论的发现要经历哪些过程呢？

意图：进一步让学生认识该定理与勾股定理之间的关系

第三环节：小试牛刀

内容：

1.下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长？请说明理由.

①9,12,15;②15,36,39;③12,35,36;④12,13,22

解答：①②

2.一个三角形的三边长分别是Hcm,20cm,25cm,则这个三角形的面积是（）

A.250cm2B.150cm2C.200cm2D.不能确定

解答：B

3.如图，在△/15C中，ADLBC于点、D,BD=9,AD=\2,AC=20,则△4灰?是（）

A.等腰三角形B.锐角三角形

C.直角三角形D.钝角三角形

解答：C

BDC

4.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是()

A.直角三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.不能确定

解答：A

意图：通过练习，加强对勾股定理及勾股定理逆定理认识及应用.

效果：每题都要求学生独立完成(5分钟)，并指出各题分别用了哪些知识.

第四环节：登高望远

内容：

1.一个零件的形状如图2步示，按规定这个零件中以NQBC都应是直角.工人师傅量

得这个零件各边尺寸如图3所示，这个零件符合要求吗？

图2图3

解答：符合要求.

V32+42=52,:.ZDAB=90°.又•.F2+12?=13?,ZDBC=90°.

2.一艘在海上朝正北方向航行的轮船，航行240海里时方位仪坏了，凭经验，船长指

挥船左传90°,继续航行70海里，则距出发地250海里，你能判断船转弯后，是否沿正西

解答：由题意画出相应的图形，45=240海里，3。=70海里，40=250海里.

在AABC中，AC2-AB2=2502-2402=(250+240)(250-240)=

4900=702=BC2,AB2+BC2=AC2.

.••△46C是直角三角形.

答:船转弯后，是沿正西方向航行的.

意图：利用勾股定理的逆定理解决实际问题，进一步巩固该定理.

效果：学生能用自己的语言表达清楚解决问题的过程即可；利用三角形三边数量关系

"+62=。2判断一个三角形是直角三角形时，当遇见数据较大时，要懂得将°2+从=02作适

当变形（。2-从=/）,以便于计算.

第五环节：巩固提高

内容：

1.如图4,在正方形中，AB=4tAE=2,DR=1,图中有几个直角三角形，你

是如何判断的？与你的同伴交流.

解答：4个直角三角形，它们分别是△dHE、4DEF、XBCF、l\BEF.

2.如图5,哪些是直角三角形，哪些不是，说说你的理由？

第一题考查学生充分利用所学知识解决问题时，考虑问题要全面，不要漏解；第二题在

于考查学生如何利用网格进行计算，从而解决问题.

效果：

学生在对所学知识有一定的熟悉度后，能够快速做答并能简要说明理由即可.注意防漏

解及网格的应用.

第六环节：交流小结

内容：

师生相互交流总结出：

1.今天所学内容①会利用三角形三边数量关系/+从=/判断一个三角形是直角三角

形；②满足/+从=百的三个正整数，称为勾股数；

2.从今天所学内容及所作练习中总结出的经验与方法：①数学是源于生活又服务于生

活的；②数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和险证的过程，同时遵循由“特殊一

一般T特殊”的发展规律；③利用三角形三边数量关系"+从=。2判断一个三角形是直角三

角形时，当遇见数据较大时，要懂得将。2+从=c?作适当变形，便于计算.

意图:

鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想，体会到勾股定理及其逆定理的广泛应

用及它们的悠久历史；敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题

的成功经脸，进一步体会数学的应用价值，发展运用教学的信心和能力，初步形成积极参与

数学活动的意识.

效果：

学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，总结出利用三角形三边数量关系

判断一个三角形是直角三角形从古至今在实际生活中的广泛应用.

第七环节：布置作业

课本习题1.3第1,2,4题.

五、教学反思：

1.充分尊重教材，以勾股定理的逆向思维模式引入“如果一个三角形的三边长a,by

C,满足"+/=C2,是否能得到这个三角形是直角三角形”的问题；充分引用教材中出现

的例题和练习.

2.注重引导学生积极参与实验活动，从中体验任何一个数学结论的发现总是要经历观

察、归纳、猜想和脸证的过程，同时遵循由“特殊-一般T特殊”的发展规律.

3.在利用今天所学知识解决实际问题时，引导学生善于对公式变形，便于简便计算.

4.注重对学习新知理解应用偏困难的学生的进一步关注.

5.对于勾股定理的逆定理的论证可根据学生的实际情况做适当调整，不做要求.

由于本班学生整体水平较高，因而本设计教学容量相对校大，教学中，应注意根据自

己班级学生的状况进行适当的删减或调整.

附：板书设计

能得到直角三角形吗

情景引入一小试牛刀：鳌高望----------

11

合作探究一1.1.

L.L0.

2

3.煤后1乍.

3勾股定理的应用

一、学生知识状况分析

本节将利用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，其中需要学生了解空间图

形、对一些空间图形进行展开、折叠等活动.学生在学习七年级上第一章时对生活中的立体

图形已经有了一定的认识，并从事过相应的实践活动，因而学生已经具备解决本课问题所需

的知识基础和活动经验基础.

二、教学任务分析

本节课是义务教育课程标准教科书北师大版八年级(上)第一章《勾股定理》第3节.具

体内容是运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.当然，在这些具体问题的解决过程

中，需要经历几何图形的抽象过程，需要借助观察、操作等实践活动，这些都有助于发展学

生的分析问题、解决问题能力和应用意识；一些探究活动具体一定的难度，需要学生相互间

的合作交流，有助于发展学生合作交流的能力.

本节课的教学目标是：

1.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念.

2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学

建模的思想.

3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体脸数学学习的实用性.

利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题是本节课的

重点也是难点.

三、教法学法

1.教学方法

引导一探究一归纳

本节课的教学对象是初二学生，他们的参与意识教强，思维活跃，为了实现本节课的教

学目标，我力求以下三个方面对学生进行引导：

(1)从创设问题情景入手，通过知识再现，孕育教学过程；

(2)从学生活动出发，顺势教学过程；

(3)利用探索研究手段，通过思维深入，领悟教学过程.

2.课前准备

教具：教材、电脑、多媒体课件.

学具：用矩形纸片做成的圆柱、剪刀、教材、笔记本、课堂练习本、文具.

四、教学过程分析

本节课设计了七个环节.第一环节：情境引入；第二环节：合作探究；第三环节：做一

做；第四环节：小试牛刀；第五环节：举一反三；第六环节：交流小结；第七环节：布置作

业.

第一环节：情境引入

内容：

情景1:多媒体展示：

提出问题：从二鼓楼到综合楼怎样走最近？

情景2:

如图：在一个圆柱石髡上，若小明在吃东西时留下了一点食物

在8处，恰好一只在力处的蚂蚁，前捉到这一信息，于是它想从?!处

爬向方处，你们想一想，蚂蚁怎么走馥近？

意图：4ALi

通过情景1复习公理：两点之间线段最短；情景2的创设引入

新课，激发学生探究热情.

效果：

从学生熟悉的生活场景引入，提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好

基础.

第二环节：合作探究

内容：

学生分为4人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方

案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线.让学生

发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短

问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法.

意图：

通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化

为平面最短距离问题并利用勾股定理求解.在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流

的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展空间观念.

效果：

学生汇总了四种方案:

所以情形（1）的路线比情形（2）要短.

学生在情形（3）和（4）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线//!'剪

开圆柱得到矩形，情形（3）4T5是折线，而情形（4）是线段，故根据两点之间线段最短

可判断（4）较短，最后通过计算比较（1）和（4）即可.

如图：

（1）tA>3的路线长为：AA'+d.

（2）中的路线长为：AA'+A'B>AB.

（3）中力―/的路线长为：AC^OB>AB.

（4）中力-8的路线长为：AB.

得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解决问题.在这个环节中，可让学生沿母

线剪开圆柱体，具体观察.接下来后提问：怎样计算/皮

在氐△«'B中，利用勾股定理可得

+?4'B2,若已知圆柱体高为12cm,底面半径

为3cm,兀取3,则AB?=12?+（3x3）2,「.A8=15.

注意事项：本环节的探究把圆柱侧面寻最短路径拓展到

了圆柱表面，目的仅仅是让学生感知最短路径的不同存在可能.但这一拓展使学生无法去论

证最短路径究竟是哪条.因此教学时因该在学生在圆柱表面感知后，把探究集中到对圆柱侧

面最短路径的探究上.

方法提炼：解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学璞型，解决这一类几何

型问题的具体步骤大致可以归纳如下：

1.审题——分析实际问题；

2.建模——建立相应的数学模型；

3.求解——运用勾股定理计算；

4.检验——是否符合实际问题的真实性.

第三环节：做一做

内容：

李叔叔想要检测雕塑底座正面的月。边和边是否分别垂直于底

边AB,但他随身只带了卷尺，

(1)你能替他想办法完成任务吗？

(2)李叔叔量得力。长是30厘米，长是40厘米，长是50厘

米，/I。边垂直于/18边吗？为什么？

(3)小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检险

边是否垂直于边吗？反7边与边呢？

解答：(2)•.­AD2+AB2=302+402=2500,BD2=2500,

AD2+AB2=BD2,

「.7IZ?和力8垂直.

意图：

运用勾股定理逆定理来解决实际问题，让学生学会分析问题，利月允许的工具灵活处理

问题.

效果：

先鼓励学生自己寻找办法，再让学生说明李叔叔的办法的合理性,当刻度尺较短时，学

生可能会在上面解决问题的基础上，想出多种办法，如利用分段相加的方法量出AByAD

和3。的长度，或在力。边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三

边，从而得到结论.

第四环节：小试牛刀

内容：

1.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8:00甲先出发，他以6km/h的速度

向正东行走，1时后乙出发，他以5km/h的速度向正北行走.上午

10:00,甲、乙两人相距多远？

解答：如图:已知/是甲、乙的出发点，10:00甲到达8点，乙到

达C点.则：

/氏2X6=12(km),

AC=1X5=5(km),

在中：

BC?=AC2+AB2=52+122=169=132.

：.BC=13(km).

即甲乙两人相距13km.

2.如图，台阶4处的蚂蚁要爬到6处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离.

解答：/.AB2=152+202=625=252.

勿

3.有一个高为1.5m,半径是1m的圆柱形产在衣强宝西沙边_|的地方有小孔,

入一铁棒’，已知铁棒在油桶外的部分为:一0.5n守乩笈长？

解答：设伸入油桶中的长度为.Vm.tA

X2=1.52+22.

则最长时:

x=2.5.

二.最长是25+0.5=3(m).

最短时：x=1.5.

二.最短是1.5+05=2(m).

答:这根铁棒的长应在2〜3m之间.

意图：

对本节知识进行巩固练习，训练学生根据实际情形画出示意图并计算.

效果：

学生能独立地画出示意图，将现实情形转化为数学模型，并求解.

第五环节：举一反三

内容：

1.如图，在棱长为10cm的正方体的一个顶点?!处有一只蚂蚁，现要向顶点3处爬行,

已知蚂蚁爬行的速度是1cm/s,且速度保持不变，问蚂蚁能否在20s内从力爬到皮

2.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是:

有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出

水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的

深度和这根芦苇的长度各是多少？

解答：设水池的水深4C为X尺，则这根芦苇长为

AD=AB=(.v+1)尺，

在直角三角形力比'中，BC=5尺.

由勾股定理得力^+^^二/疔.

即52+x^=(A-+1)2.

25+A2=A2+2A+1.

2x=24.

厂.户12,肝1=13.

答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺.

意图:

第1题旨在对“蚂蚁怎样走最近”进行拓展，从圆柱侧面到横柱恻面，都是将空间问题

平面化；第2题，学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民

的聪明才智；运用方程的思想并利用勾股定理建立方程.

效果：

学生能画出棱柱的侧面展开图，确定出/18位置，并正确计算.如有可能，还可把正方

体换成长方体进行讨论.

学生能画出示意图，找等量关系，设适当的未知数建立方程.

注意事项：对于普通班级而言，学生完成“小试牛刀”，已经基本完成课堂教学任务.因

此本环节可以作为教学中的一个备选环节，共老师们根据学生状况选用.

第六环节：交流小结

内容：

师生相互交流总结：

1.解决实际问题的方法是建立数学模型求解.

2.在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，利用勾股定理及其逆定理解决实际问

题.

意图：

鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想，体会到勾股定理及其逆定理的广泛应

用及它们的悠久历史.

效果：

学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，总结出在寻求曲面最短路径时，往往考虑其

展开图，利用两点之间，线段最短进行求解.并赞叹我国古代数学的成就.

第七环节：布置作业

1.课本习题1.4第1,2,3题.

2.如图是学校的旗杆，旗杆上的绳子垂到了地面，并多出了一段，现

在老师想知道旗杆的高度，你能帮老师想个办法吗?请你与同伴交流设计方

案？

注意事项：作业2作为学有余力的学生的思考题.

五、教学设计反思

本节从生动有趣的问题情景出发，通过学生自主探究，运用勾股定理及其逆定理解决简

单的实际问题，既巩固了基本知识点，又在将实际问题抽象成几何图形过槎中，学会观察，

提高分析能力，渗透数学建摸思想.在设计中，我注重以下两点：

1.要充分利用好教材提供的素材

“蚂蚁怎么走最近”是一个生动有趣的问题，让学生充满了探究的欲望，这个问题体现

了二、三维图形的转化，对发展学生的空间观念很有好处.

2.合理使用教材提供的练习

本节课通过“小试牛刀”和‘举一反三”把教材中的练习重组，使练习有梯度，既巩固

了基本知识点，又训练了学生的应用能力.第一个作业让学生深入理解和应用勾股定理及逆

定理.

3.突破重点、突破难点的策略

在教学过程中教师应通过情景创设，激发兴趣，鼓励引导学生经历探索过程，得出结论,

从而发展学生的数学应用能力，提高学生解决实际问题的能力.

4.分层教学

根据本班学生实际情况可在教学过程中选择：基础训练——“小试牛刀”；提高训练一

—“举一反三”；拓展训练——作业第2题.

5.评价方式

根据新课标的评价理念，在教学过程中应关注学生的参与程度，关注活动中所反映出的

思维水平，关注对实际问题的理解水平，关注学生对基本知识的掌握情况和应用勾股定理及

逆定理解决实际问题的意识和能力.在教学过程中尊重学生的个体差异，对于学生的回答教

师应给予恰当的评价与鼓励，并帮助学生树立学习教学的自信，充分发挥教育的价值.

附：板书设计

蚂蚁怎样走最近

情境引入--------小试牛刀：举一反三-------

1

A口祢1下布卜•zG1・1・

L.L.

3.-课后作业：

1认识无理数(第1课时)

一、学生起点分析

通过前一章《勾股定理》的学习，学生已经明白什么是勾股数，但也发现并不是所有的

直角三角形的边长都是勾股数，甚至有些直角三角形的边长连有理数都不是，例如：①腰长

为1的等腰直角三角形的底边长不是有理数，②两条直角边分别为1,2的直角三角形的斜

边长不是有理数，这为引入“新教”奠定了必要性.

二、教学任务分析

《认识无理数》是义务教育课程标准教科书北师大版八年级(上)第二章《实数》的第

一节.本节内容安排了2个课时完成，第1课时让学生感受无理数的存在，初步建立无理数

的印象，结合勾股定理知识，会根据要求画线段；第2课时借助计算器感受无理数是无限不

循环小数，会判断一个数是无理数.本课是第1课时，学生将在具体的实例中，通过操作、

估算、分析等活动，感受无理数的客观存在性和引入的必要性，并能判断一个数是不是有理

数.

本节课的教学目标是：

①通过拼图活动，让学生感受客观世界中无理数的存在；

②能判断三角形的某边长是否为无理数；

③学生亲自动手做拼图活动，培养学生的动手能力和探索精神；

④能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解；

三、教学过程设计

本节课设计了6个教学环节：

第一环节：质疑；第二环节：课题引入；第三环节：获取新知；第四环节：应