湖北省“腾·云”联盟2025届高三上学期12月联考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页湖北省“腾·云”联盟2025届高三上学期12月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−1,0,1,2}，B={x||x−m|≤2}，若A∪B=B，则m的取值范围是(

)A.(0,1) B.(−1,1) C.[0,1] D.[−1,1]2.已知椭圆M:x225+A.M的焦点在y轴上B.M的焦距为4C.M的离心率e=45D.M的长轴长是短轴长的3.(2x−1)5展开式中含x2项的系数为A.40 B.−40 C.20 D.−204.高三教学楼门口张贴着“努力的力量”的宣传栏，勉励着同学们专心学习，每天进步一点点，时间会给我们带来惊喜。如果每天的进步率都是2%，那么一年后是，如果每天的落后率都是2%，那么一年后是(1−2%)365≈0.0006，一年后“进步”是“落后”的1.023650.98365≈230万倍，现张三同学每天进步20%，李四同学每天落后10%，假设开始两人相当，则大约(    )天后，张三超过李四的100倍(参考数据：lgA.7 B.17 C.27 D.375.已知函数f(x)=ax2−lnx+2x是减函数，则A.(−∞,0] B.(−∞,−1] C.(−∞,1] D.(−∞,−6.已知实数x，y满足3x2+3xy+y2=3A.2 B.3 C.3 D.7.已知数列{an}为等比数列，a5=2，若{an}的前9项和为12A.512 B.125 C.538.设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，左、右顶点为A1A.13 B.23 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列关于向量与复数的说法正确的有(

)A.若复数z1，z2满足|z1|=|z2|，则z12=z22

B.若复数z满足i⋅z=1+2i，则|z|=510.已知函f(x)=cos2x+7cosA.f(x)的最小值为−5

B.g(x)在区间(0,π3)上单调递减

C.若当x=x0时，g(x)取得极大值，则sinx0=1411.已知定义在R上的函数y=f(x)，y=g(x)分别满足：f(x−1)+2x为偶函数，g(x+2)=g(x)−2，则下列结论正确的是(

)A.函数g(x)+x为周期函数

B.f(−1)=2

C.y=f(x−1)x的图像关于点(0,−2)中心对称

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知直线l1:ax−2y+1=0，l2:x+by+3=0，若l1//13.已知三棱锥P−ABC的四个顶点都在球体O的表面上，若BA=2，AC=4，且PA=PB=PC=BC=23，则球体O的表面积为

．14.已知△ABC中，2(cos2A−cos2B+sin2C)=sinBsinC， ①四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知数列{an}，{bn}满足(1)求证：数列{1b(2)令Cn=1bn⋅22n+116.(本小题15分)已知f(x)=(ax(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若f(x)在区间(−3,−1)内存在极小值点，求a的取值范围．17.(本小题15分)

如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC=2，∠ABC=60∘，E为CD的中点，沿AE将△DAE翻折至△PAE位置得到四棱锥P−ABCE，F为PB上一动点．(1)若F为PB的中点，证明：在翻折过程中均有CF//平面PAE;(2)若PB=2， ①证明：平面PAE⊥平面ABCE; ②记四棱锥P−ABCE的体积为V1，三棱锥F−ABC的体积为V2，若V1=3V218.(本小题17分)

如图，已知抛物线C:y2=2px(p>0)，过点P(2,1)作斜率为k1，k2的直线l1，l2，分别交抛物线于A，B与M，N，当k(1)求抛物线C的方程;(2)若|PM|⋅|PN|=|PA|⋅|PB|，证明：k(3)若直线AM过点Q(−2,0)，证明：直线BM过定点，并求出该定点坐标．19.(本小题17分)在某一次联考中，高三(9)班前10名同学的数学成绩xi(i=1,2,⋯,10)和物理成绩学生编号12345678910数学成绩11613112412612111010699118117数学名次71324891056物理成绩80787981746563707384物理名次35426910871(1)从这10名同学任取一名，已知该同学数学优秀(成绩在120分(含)以上)，则该同学物理也优秀(物理成绩在78分(含)以上)的概率;(2)已知该校高中生的数学成绩x，物理成绩y，化学成绩z两两成正相关关系，经计算这10名同学的数学成绩x和物理成绩y的样本相关系数约为0.8，已知这10名同学物理成绩y与化学成绩z的样本相关系数约为1213，分析相关系数的向量意义，求x，z(3)设N为正整数，变量x和变量y的一组样本数据为{(xi,yi)|i=1，2，⋯，N}，其中xi(i=1,2,⋯,N)两两不相同，yi(i=1,2,⋯,N)两两不相同，按照由大到小的顺序，记xi在{xn|n=1,2,⋯,N}中排名是si位(i=1,2,⋯,N)，yi在{yn|n=1,2,⋯,N}中的排名是wi位(i=1,2,⋯,N).定义变量x和变量y的“斯皮尔曼相关系数(记为ρ)为变量xi的排名si和变量yi的排名w参考答案1.C

2.C

3.B

4.B

5.D

6.A

7.D

8.A

9.BD

10.ACD

11.ACD

12.−2

13.18π

14.1415.解：(1)an+1=−12+an，bn+1=−12+an+1=1+an2+an，

∴1bn+1−1bn=2+an1+an16.解：(1)当a=1时，f′(x)=(x2+x+1+2x+1)ex，

所以f′(0)=2，f0=1，

∴切线方程y=2x+1;

(2)f′(x)=(ax2+x+1+2ax+1)ex=(x+2)(ax+1)ex，

①当a=0时，f′(x)=(x+2)ex，x∈(−∞,−2)，f′x<0，f(x)单调递减，

x∈(−2,+∞)，f′x>0，f(x)单调递增，

∴y=f(x)，x=−2取得极小值，符合;

②a>0时，(i)当−1a>−2即a>12时，x∈(−∞,−2)，f′(x)>0，f(x)单调递增，x∈(−2,−1a)，f′(x)<0，f(x)单调递减，

x∈(−1a,+∞)，f′x>0，f(x)单调递增，

∴f(x)在x=−1a取得极小值，∴−1a<−1，a<1，∴12<a<1，

(ii)当−1a=−2，即a=12时，此时f′x⩾0恒成立，f(x)单调递增，无极值不符合，

(ⅲ)当−1a<−2，即a∈(0,17.解：(1)取PA中点G连FG，EG，FG//CE，易知FG与CE平行且相等

四边形CFGE为平行四边形，∴CF//EG，

∵CF⊄面PAE，EG⊂面PAE，∴CF/​/面PAE．

(2) ①连BE，BE=3，PE=1，PB=2，

∴PE⊥BE，又∵BE⊥AE，PE与AE是平面PAE内两条相交直线

所以BE⊥面PAE，BE⊂面ABCE，

∴面PAE⊥面ABCE

，

，ℎp=2ℎF，

∴F为PB中点。

取AE中点O，AB中点H，连PO，OG，由 ①可知PO⊥面ABCE，OH⊥AE，

以O为原点，OA，OH，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

P(0,0,32)，B(−12,3,0)，F(−14,32,34)，C(−1,32,0)，

PC18.解：(1)AB:y=(2x−2)+1=2x−3联立y2=2px消去y，可得4x2−(12+2p)x+9=0，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，x1+x2=12+2p4=4，∴p=2∴抛物线C方程为：y2=4x；

(2)∵k1k2≠0，设AB:x=n1(y−1)+2，MN:x=n2(y−1)+2，(其中n1=1k1，n2=1k2)，

代入y2−4n1y+4n1−8=0，

y1+y2=4n19.解：(1)从这10名同学任取一名，已知该同学数学优秀(成绩在120分(含)以上)的为编号2，3，4，5

四位同学，其中物理也优秀的为2，3，4三位同学，故从这10名同学任取一名，已知该同学数学