春季人教版7年级数学教案

春季人教版7年级数学教案

第1讲相交线与平行线

［教学内容］

《数学思维训练教程》春季人教版，7年级第1讲“相交线与平行线”.

［教学目标］

知识技能：

1.在具体情境中了解邻补角、对顶角，能找出图形中的一个角的邻补角和对

顶角，理解对顶角相等，并能运用它解决一些简单问题；

2.掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理，了解“三线八角”

并能在具体图形中找出同位角、内错角与同旁内角；

3.掌握平行线的概念与平行公理，使学生理解平行线的性质和判定的区别，

掌握平行线的三个性质，并能运用它们作简单的推理；

4.了解平移的概念，会进行点的平移，理解平移的性质，能解决简单的平移

问题.

数学思考：

通过动手、操作、推断、交流等活动，进一步发展空间观念，培养识图能力,

推理能力和有条理表达能力.

问题解决：

经历从不同的角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方

法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法.

情感态度：

1.积极参与数学活动，充数学有好奇心和求知欲；

2.感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难

的勇气，具备学好数学的信心.

［教学重点与难点］

重点:平行线性质和判定综合应用，两条平行线的距离，命题等概念

难点:平行线性质和判定灵活运用

［教学准备］

动画多媒体课件

第一课时

教学过程:

学生方案

教学路径

活动说明

一、课前谈话：

师：同学们好，愉快的假期生活结束了，新的学期已向我们走

来，我是你们的*老师，在，我将带领人家学习7年级春季课程.希

望大家在新学期的学习中能够不断的进步.

师：课件展示小人在剪树枝的画面

一年之计在于春，很快树木就要伴着春风发芽了，这不玛丽太创设

太正要修剪一下小树希望来年它能够更加茁壮成长，她手里面拿的情境激

是什么呢？发好奇

观察剪刀

剪树枝的

过程，引

入两条相

交直线.

生：一把大剪刀.

师：这把剪刀的构造可以看作是两条相交的直线，如果在平面内，学生讨

两条直线不相交，那么这两条直线又是什么样子的呢？论回答.师生

生：…平行.互动

师：什么样的线平行，同学们来看看下面这个问题.

课件出示启动性问题：

观察下面每幅图中的直线〃、b,它们分别平行吗？你能验证它

们是否平行吗？下图中以匕为蓝色，其他线为红色.

小亮：可以，利用直尺和三角板的推移验证平行线.

小萍：动画：再出红线和三角板，

三隹板向上平移，

师：图中有相交线也有平行线，关于相交线和平行线都有哪些

相关的知识呢？我们来看看知识回顾.

回顾

1.相交线

对顶角的性质：对顶角■—.

垂线的性质：过一点有且只有—卜条一直线与已知直线垂

直.

垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线

段Jft短__,简单说成：垂线段最短.

(下一步出答案)

2.平行线及其判定

定义：在同一平面内，的两条直线叫做平行线.

平行公理：经过直线外一点，』且只有——条直线与这条直线平

行.

判定：(1)一同位角____相等，两直线平行.

(2)内错角相等，两直线平行.

(3)同旁内向互补，两直线平行.

性质：（1）两直线平行，—同位角相等.

（3）两直线平行，—同旁内角—互补.

（下一步出答案）

3.命题、定理

命题：—判困L一件事情的语句叫做命题，命题由_旭设和结论—

两部分组成，命题有真命题和假命题.

定理：正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.

（下一步出答案）

4.平移

定义；把一个图形整体沿着_^个方向—移动，会得到一个新

图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同.图形的这种移

动，叫做平移变换，简称平移.

性质：新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，

若两个点是对应点，连接各组对应点的线段_'♦行且相等

（下一步出答案）

师：下面我们就一起来看几道题目.

初步性问题

探究类型之一对顶隹与邻补角

例1如图，直线AB,。。相交于点。，B.ZDOE=ZBOD,。/平

分NAOE,若NAOC=28°,贝ijNEOF=.

师：指定学生读题，并说说自己从题目和图中获得的信息.

生：（从图中可以知道NAOC和NBOO是对顶角，所以/3OD二

NAOC.因为0尸平分N4OE,所以NEOF=NAOF=-Z

2

AOE...）

师：那么要求NEO凡我们需要求出哪个角？如何来求呢？

生：我们需要求出NAOE,而N4OE=180°-/BOE,而题目还

告诉了我们NOOE=NBO。，所以NBOE=2NBOD...

师：下面大家就独立完成解答.

师：指定学生讲解，集体核对答案.

解析：标NDOE=N3OD=N4OC红色，

VZDOE=ZBOD=ZAOC=2S°,下一步NBOE涂蓝色

；.NBOE=/BOD+NDOE=56°,下一步NAOE涂绿色

・・.NAOE=1800-ZBOE=180°-56°=124°.

（下一步）涂/EOF乙40E绿色，OFOA0E紫色

Y0/平分NAOE,

：.ZEOF=-ZAOE=Q2°.

2

答案：62°

师：在题中。尸和CO有什么关系？

生：OFLCD.

师总结：

1.互为邻补角的两个角的平分线互相垂直.

2.这个图形是我们经常会遇到的，综合考察了角平分线的定义、对

顶角、互为邻补角、余角等知识，大家一定要记住.

探究类型之二同位隹、内错角与同旁内角

例2如图，ABIICD,那么图中共有同位角（）

A.4对B.8对C.16对D.32对

A\/B

D

N

师：如图是一组平行线被两条直线所截，为了便于确定哪两条

直线被哪一条直线所截，我们需要将复杂的组合图形分解成若干个

基本图形，然后在基本图形中去探究同位角的关系.

师：请同学们考虑下面两个问题：

1.本题的图形有几条直线组成？（4条）

2.图形可以分解为多少个基本图形？（4个）

生：同桌之间交流讨论，找一找，画一画.

师；找学生说说讨论结果并点评，出示课件分析，讲解此题.

解析：本题的图形共有；I个基本图形呢?

图（1）有几对同位角？动画后出（4对）下一步

图（2）有几对同位角？动画后出（4对）下一步

图（3）有几对同位角？动画后出（12对）下一步

图（4）有几对同位角？动画后出（12对）下一步

共有多少同位角？（32对）

答案：D

总结：为了便于确定哪两条直线被哪一条直线所截，我们需要

将复杂的组合图形分解成若干个基本图形，这样才能保证不重不漏

地准确地辨别出同位角，内错角，同旁内角.分解复杂图形时，一般

要看图中共有多少条直线，哪两条直线被第三条直线所截，由其位

置关系得到不同的基本图形.

探究类型之三平行线的性质与判定

例3如图，直线将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C

放在直线机上，若Nl=25°,则N2的度数为（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

C州

师：观察图形，同学们考虑N5与Nl、N2之间有什么关系？

生：……（NB=N1+N2,过B作直线〃力可证，如下图.）

A

C用

证明：因为n〃l〃tn,

所以N4=N1,Z2=Z3.

所以N4+/3=N2+N1=NR

师：学生独立完成解答，教师指定学生讲解.

解析：过点B作直线〃〃/,标N3Z4.

A

CM

过点8作直线〃如绍所示.

（下一步）曾勿〃m涂蓝，N2=N3同色N4=N1同色

*.*/〃，n,n〃l〃m,

AZ4=Z1=25°,Z2=Z3.

VZABC=45°,

/.Z2=Z3=ZABC-Z4=45°-25°=20°.

答案：A

师总结：通过证明N1+N2=NB,观察下面的图形，你还能发

现什么？你能总结你发现的规律吗？

辅助线提示：过角作/、山的平行线.

（课件不出示，教师根据具体教学情况选择补充讲解）

:「

Z1+Z3=Z2+Z4,N2+N4=N1+N3+N5,

探究类型之四平行线的判定

例4如图，下列条件中能判定直线/|/72的是（）

A.Z1=Z2B.Z1=Z5C.Zl+Z3=180°D.Z3=Z5

y\iih

师：教师指定学生说说判定平行线的方法.

生：...

师：难度不大，学生独立完成解答，集体核对答案.

提示:分析图形/|与/2之间有两组同旁内角.根据同旁内角互补

证明两直线平行，

解析：涂h〃hN1+N3同色N2+N4同色

若Nl+N3=180°,N2+N4=180°,则“以

答案：C选项C画J

类似性问题

1.如图，48〃CD,ACJ_BC,/Cr5C,则图中与NBAC互余的角有

（）

A.1个B.2个M/N

C.3个D.4个—SJ----------

F-------------*----------------D

师：同学们，思考一下什么样的角互余呢？

生：两角之和等于90°.

师：学生独立完成解答，教师指定学生讲解.

解析：三角形ABC涂浅色，NA4C涂红、

/ABC,/BCD,NWBG涂蓝.

与NB4C互余的角有NABC,NBCD,4NBG.

2.如图，l〃m,Zl=115°,Z2=95°,则N3=()

A.120°B.130°.

C.140°D.150°/________/

J

师：提示学生仿照例3作平行线的方法，独立解决此题.

解析：如图，过点A作〃M,（动画）

（下一■步）N1+N2+N3涂同色

由两直线平行，同旁内角互补得Nl+N2+N3=360°,

Z3=360°-Zl-Z2=360°-115°-95°=150°.

答案：D

第二课时

教学过程:

学生方案

教学路径

活动明

一.观察图形形成印象

生活中有许多美丽的图案，请同学们欣赏下面图案.

（教师可根据情况展示一些通过平移得到的图案，课件不出示）老

师根据

实际情

况设计

此环节.

观察上面图形，我们发现他们都有一个局部和其他部分重复，如果

给你一个局部，你能得到和他们重复的图形吗？

生：可以，通过平移就可以得到.

师：平移的图形有什么性质？

生：新图形与原图形的形状和大小完全相同.

师：说的很好，那么利用平移怎么解决问题呢？看看我们的例

5.

二.提出新知实践探索

探窕类型之五f多形的平移

例5夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中

行”的美好意境；，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设

小桥.若荷塘周I长为280m,且桥宽忽略不计，则小桥总长为

______m.

师：图形的平移不改变:大小和形状，那么这道题该怎么解决呢？

学生独立关:成解答，设定时间看哪位学生在最短的时间

内找到解题思路r,让最快找到的学生说说解题思路.

提示：通过平移，把分散的桥集中到长和宽上.

解析：动画将图中小桥平移到长方形的长与宽上；

（下一步）

小桥总长为280+2=14。（m）.

答案：140

探究类型之六图形的平移规律探索性问题

例6如图，长方形43CD中，AB=6,第1次平移将长方形

ABCD沿AB的方向向右平不%5个单位，得到长方形

AI^ICIDI,第2次平移将长方形/IBICIDI沿AiBi的方

向向右平移5个单位，得至“£方形A252c2。2…,第n

次平移将长方形i£>,：1HiAn-\Bn-1的方向平移

5个单位，得到长方形A“8”CnDn（M>2）.

DDxCD2CI&C»iCn

AAiBAi%4m8n■]及

（1）求ABi和ABi的长.

（2）若AB〃的长为56,求n.

师：指定学生读题并说说自己获得的信息.

生：根据平移的性质可知：

AB=A\8i=42&=•,,=A,Bi=6,

aa

AA\=A]A2=A2A3=*=An-\An=5f

BB\=B\B2=5253=,,,=Bn=5.

师：谁还有其他的发现？

生：我发现AIB=A2BI=•,,=AnBni=6-5=1.

师；知道这么多相等的线段，下面自己求一下A&和AB2的

长.

师：学生独立计算ABx和A历的长，教师指定学生讲解，

其他学生指正补充.老师在黑板上写出三种情况.

生1：A5i=AB+BBi=6+5=U,

4B2=AB+8BI+BIB2=6+5+5=16.

生2：AB\=AA\+AiBi=5+6=ll,

AB2=AA1+A1A2+A2B2=5+5+6=16.

生3：ABi=AAi+AIA2+A2BI=5+5+1=11,

AB2=AAI+A1A2+A2A3+A382=5+5+5+1=16.

师：通过比较三种方法，哪一种计算A&比较方便？

生：AB3=AB+BB]+BiB2+8283=6+5+5+5=21.

师：你们发现什么规律了吗？

生：我发现A8〃的长二平移次数X5+A8长.（如果学生

不能够发现此规律，教师引导学生动手实际操作平移长方形

纸片）

师：那么问题（2）现在告诉了我们〃的长，让我们

求〃的值，你会吗？学生独立完成第（2）问.

师：学生独立完成解答，教师指定学生讲解.

教总结：平移前后，两图形的大小不变，形状不变，解

决这类问题时要注意探究规律，然后根据规律解答.

解析：动画展示ABC。到AlBlClDl到AnBnCnDn.

根据平移的性质可知：

AB=A\B\=AZB2=…=A,B）=6,

BBi=B、B2=B2B3h-=B“\B“=5.

答案：A3涂红色BBT涂蓝色

解：（1）产A8+88i=6+5=ll,

AB2=AB+BB\+BI62=64-5+5=16.下一步

（2）ABn=AB+BB1+B1B2+…+

下一步题目2框住

根据题意得5〃+6=56,解得H=10.

类似性问题

3.把三张大小相同的正方形卡片A、8、C叠放在一个底面为正方形

的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若按图（1）摆

放时，阴影部分的面积为，，若按图（2）摆放时，阴影部分的面

积为S?,则S____S2（填“>”“V”或“二”）

1c」c

B

AL

B

（1）（2）

师：同学们回想一下例5,这个题该怎么解决？

生：…平移.

提示：（1）C向左平移到边.（2）B向下平移到边.

解析：

动画将第一个图形中。正方形向左平移，阴影移到右边；

然后动画将第二个图形中8正方形向下平移，阴影移到上边.

（下一步）

S\=Si.

4.如图，AB〃CD,直线£尸分别交A3、CD于点、E、尸，EG平分/

AEF,Zl=40°,求N2度数.

_____EJD

AD

D

G7

师：难度不大，学生独立完成解答，教师指定学生讲解.

解析：N尸EG二NAEG=N1涂红色

根据角平分线的定义及平行线的性质得到：

NFEG=/AEG=NL

（F一步）

Z2=180°-ZAEF=180°-2ZAEG.

答案：

解：・；AB〃CD,/.ZAEG=Z1=40°.

9

：EG^ZAEFf：.ZFEG=ZAEG=40°.

.\Z2=180°-ZAEF

=180°-2Z1

=180°-2X40°

=100°.

5.某宾馆重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红

地毯，已知这种地毯售价为30元/n?,主楼梯宽2m,

其侧面如图所示.

(1)这个地毯的长是多少m?

(2)这个地毯的面积是多少n??

(3)购买地毯至少需要多少元？

师：根据例5的解题思路，谁说说这个题怎么做？

生：平移.

师：如何平移？

生：楼梯平移到A3和3。上.

师；剩下的学生尝试独立解答，教师指定完成的学生讲解.

解析：出示动画

答案：

解：(1)5.8+2.6=8.4(m).

(2)8.4X2=16.8(m2).

(3)16.8X30=504(元).

6.证明：平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，则在这5条

直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°.

师：学生分小组讨论完成，师可巡视参与讨论，学生没有思路

时老师给予适当的提示.

提示：5条直线两两相交,不一定必须交于一点，但是任意一条直线

经过平移之后,它与其他直线的交角大小保持不变(同位角或内错角

定理).因此可以把这些直线平移到一点.5条直线相交于一点,那么

这5条直线相交的10个角之和就为360度,那每个角至少平均都为

36度，如果有一个角大于36度,那么就一定有一个角小于36度，即

至少有一个角是要小于36度或等于36度.

证明：动画作图分步完成

蜜

动画在黑色五边形任取一点。，过。点作己知5条

直线的平行线小2h，/4,k，

在平面上任取一点。，过0点作已知5条直线的平

行线八，eh，","下一步

动画将以。为顶点的周角分成10个彼此依次相邻的

角，记为NQi,NQ,…，Z09,ZQio.

将以。为顶点的周角分成10个彼此依次相邻的角，

记为NQi,NQ2,…，NQ%NQio.下一步

每个角N0G=1,2,…,9,10）都等于这5条直线中某

两条直线相交所成的角，这10个角的和恰等于360°,

即NQI+NQ2+…+N09+NQIO=36O°,

若NQ、NQ、…、NQio均大于36°,贴左边〉

360°,矛盾，故至少有一个角不超过36°.

课堂总结：

通过本次课的学习，同学们都有哪些收获？

（1）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直.

（2）遇到复杂图形找同位角，内错角，同旁内角时，一般要看图中

共有多少条直线，哪两条直线被第三条直线所截，由其位置关

系得到不同的基本图形.这样才能保证不重不漏地准确地辨

别出同位角，内错角，同旁内角.

(3)平移前后，两图形的大小不变，形状不变,

参考答案

类似性问题

1.C

2.D

3.=

,

4.解：：AB/7CD1AZAEG=Z1=40°.

TEG平分N4EF,/.ZFEG=ZAEG=40°.

AZ2=180°-ZAEF=1SQ°-2Z1=18O°-2X40°=100°.

5.解：(1)5.8+2.6=8.4(m).

(2)8.4X2=16.8(m2).

(3)16.8X30=504(元).

6.证明：如图，在平面上任取一点。，过。点作已知5条直线的

平行线小eh，/4,k，将以。为顶点的周角分成10个彼此依

次相邻的角，记为NQi,/Q2,…，NQ%NQio.

每个角ZG(/=1,2,…,9,1G)都等于这5条直线中某两条直线相交

的一个角，这10个角的和恰等于360。，即NQI+NQ+・・・+NQ9

+NQo=360°,若NQ,NQ,…，NQo均大于36°,则左边＞360°,

矛盾，故至少有一个角不超过36°.

练习册

1.B

2.C

3.C

4.ZAEF=80°或N8EC80。或NBE尸=100°或NAEC1000

5.15

6.90°

7.解：AB/7CD.理由如下：

•；/l+NMNC=180°,/\=3/MNC,：.ZMNC=45°.

VZ2=45°,：.Z2=ZMNC,：.AB//CD.

8.解：

（1）直线a,b,c,d共有一个交点，理由如下：设直线a,〃，c的交点为尸，

直线Rc,d的交点为Q,这意味着点P、。都是直线力和c的交点.由于

两条不同的直线至多有一个交点，因此点P、。必是同一个点，即4条直

线〃，b,c,d相交于同一个点，因此，这4条直线〃，b,c,d只有1个

交点（不妨设为点0）.

（2）因为作的第5条直线/与（1）中的直线d平行，所以直线/不过点0,而直

线aAc都与直线d相交于点0,所以直线与直线/都相交（与两

条平行线中的一条相交的直线必与另一条相交）.设直线I与直线瓦c分

别相交于点A,8,C,这时，图中有A,B,C,0四个不同的点，可以连出

OA,OB,OC,AB,AC,BC,共6条不同的线段.

第2讲证明

［教学内容］

《数学思维训练教程》春行线的性质与判定的

证明”.

［教学目标］

知识技能：

1.探索平行线性质，掌握平行线的性质定理，并能应用定理解决有关问题;

2.能够灵活地应用平行线的性质定理和判定定理解决一些较为复杂的问题.

数学思考:

通过共同探究问题的过程，进一步体验”观察一猜想一证明”这种发现问题，解

决问题的方法，初步体验”从特殊到一般”的数学思想.

问题解决：

经历从不同的角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方

法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。

情感态度：

1.积极参与数学活动，阪数学有好奇心和求知欲；

2.感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难

的勇气，具备学好数学的信心。

［教学重点与难点］

重点:平行线性质和判定综合应用，两条平行线的距离，命题等概念

难点:平行线性质和判定灵活运用

［教学准备］

动画多媒体语言课件

第一课时

教学过程:

学生方案说

教学路径

活动明

师:上节课我们重点学习了平行线的性质,今天我们进一步学

习平行线的相关知识，首先我们来看这样一个问题：

启动性问题：

如图，在4,B两地之间要修一条公路，在A地测得公路的

走向是北偏东80°,即NG=80°.现在要求在A,8两地同时施

工，那么在8地公路走向应按等于多少度施工..北

口匕

D

C

师:考虑AC,8。两条线代表什么？他们之间是什么关系？

生：它们代表朝向北方的两条线，两条线平行.

师：通过平行线的相关知识，Na、是什么关系？

生：它们是同旁内角，却为180。.

小萍：标角Na=80°,ACBD红色，AB蓝色.

AC//BD,Za+Z^=180°,N夕=100。

师：让我们再复习一下平行线的性质及判定定理.

回顾

ab画成平行线

三线八角图

同位角按钮：N1和/2,N3和N4,N5和N6,N7和N8.

内错角按钮：N2和N7,N4和N5.

同旁内角按钮：N2和/5,N4和N7.

1平.行线的性质

（1）两直线平行，同位角相等;

（2）两直线平行，内错角相等;

（3）两宜线平行，同旁内角互处.

2.平行线的判定

（1）同位角相等,两直线平行；

（2）内错角相等,两直线平行；

（3）同旁内角互补,两直线平行互补.

（下一步出示横线上的文字）

初步性问题

探究类型之一平行线的性质

例1已知如图，AB〃CD〃EF,点M,N,P分别在A8,CD,

EF上,NQ平分/MNP.

A£E

BDQ%

师：指定学生读题并说说自己获得的信息.

生：由AB〃CD〃EF可得NAMN=/MND,/EPN=/DNP,

ZAMN+ZCNM=\SO°...,

因为NQ平分NMNP,所以/MNQ=/PNQ=；NMNP.

师：下面自己尝试独立计算下NMNP,NQNQ的度数.

师：学生独立完成第(1)问解答，教师指定学生讲解.

生：NMNP=/MND+/DNP=6U°+80°=140°,

NDNQ=/MNQ-/MND=L4MNP-/MND...

师：下面请自己先思考一下第(2)问，然后同桌交流讨论.

生：...

提示：根据NON0=NMNe-NMM),

/MNQ=g/MNP=；(/AMN+/EPN),

/MND=/AMN,

找NOP0与NAMP,NENP的数量关系.

师：教师指定学生汇报，其他学生指正并补充.

分两题出第1.2问的图不变

(1)若NAA/N=60。,NEPN=80°,分别求NMNP,NON。的

度数；

解析：A8、CD、EF、MN、PN同红色，

标NMND=NAMN=60°ZDNP=ZEPN=30°同红色

由AB〃CO〃上巴可得NMNO=NAMN=60°,

NDNP=/EPN=80°,则NMNP可求；

下一步保留1的图，去掉角度.NQMNNP蓝色.

/MNQ/PNQ同蓝色

由NQ平分/MNP,可计算出NMN。，

然后计算NONQ=NMNQ-NMND即可.

答案：

解：・；AB〃CD〃EF,

AZM7VD=ZAM7V=6O°,/DNP=/EPN=8C,

・•・NMNP=NMND+NDNP=600+80°=140°.下一步

■:NQ平分NMNP,

・・・NMNQ=；NMNP=；X140。=70°,

：・/DNQ=NMNQ-/MND=70°-60°=10°.

(2)探求NDNQ与N4MN,NEPN的数量关系.

解析：/DNQ=/MNQ-/MND,下一步

ZMNQ=-ZMNP=-(/AMN+/EPN),下一步

22

NMM)=NAMN,找/。尸。与N4MP,ZENP的数量关系.

答案：(1)问的图保持不变

解：・；AB〃CD〃EF,

:.ZMND=/AMN,NDNP=/EPN,

：.ZMNP=ZMND+ZDNP=NAMN+/EPN.

,:NQ平分/MNP,

：.ZMNQ=；/MNP=；(NAMN+/EPN),

・•・/DNQ=/MNQ-/MND

=-(/AMN+/EPN)一/AMN

2

--QUEPN-乙AMN).

2

师总结：

本题中AB//CD//EF时，/MPN=/AMP+/ENP是一个很

重要的结论.

探究类型之二平行线的判定与性质综合

例2如图，NAGZ)=NACB,CD_LA3,E/J_A8,

证明：Z1=Z2.

师：学生独立完成解答，教师指定学生讲解.

提示：DG〃BC和CD，EF,(指导基础弱的学生)

解析：标DG〃5C红色

由NAGO=NACB,得至I」DG〃BC.

下一步CD〃EF标蓝色

由EFLAB,得至ljCD〃EF.

下一步

N1=NOC8=N2涂色

答案：

证明：VZAGD=ZACBf

:・DG〃BC,；.N1=NDCB.

VCD1AB,EF1AB,

:.CD〃EF,:.N2=NDCB.

/.Z1=Z2.

师：在完成证明的问题时，我们可以由角的关系可以得到直

线之间的关系，由直线之间的关系也可得到角的关系.

探究类型之三平行线问题作辅助线技巧

例3

(1)已知：如图①，直线求证：ZABC+ZCDE=

ZBCD；

（2）当点。位于如图②所示时，ZABC,NCDE与NBCD存在

什么等量关系？并证明.

/__________~/--------<

_______________________________>c

EbED

图①图②

师：学生独立完成解答，然后小组讨论，教师指定小组代表汇报

讲解，其他小组学生指正并补充.

生1：图①过点C作然后根据两直线平行内错角相等

的性质来证明……，

图②过点。作然后根据两宜线平行同旁

内角互补的性质来探究……

生2：图①还可以过点。作交延长线于M,根据两

直线平行同位角相等得到NABC=NM二NEOM再根据两

直线平行内错角相等证明……

图②还可以过点D作DF〃BC交AB于E然后

根据平行的性质来探究……

生3：还可以过8点作8的平行线……

师：本题方法较多（学生2,3方法课件不出示），教师要给学生充

分的时间思考和小组讨论，教师巡视的时候可以适当引导尝

试多种方法解答.

（两个小题分两页出示，分别放两个图）

（1）解析：动画过点C作CF〃AB.

过点C作CA3,

下一步

（标注同色,N1=NA8C同色，N2=NCDE同

色）

由平行线性质找到角的关系.

­—j

E

答案：

证明：如图，过点C作CR〃48,

■:直线AB〃ED,:.AB〃CF〃DE,

：.Zi=ZABC,Z2=ZCDE.

VZBCD=Z1+Z2,

:.NABC+/CDE=NBCD.

（2）解析：动画过点。作幺8,

过点。作CF〃AB,

（标注A8〃C户〃。上同色,N4BC+N1同色，N2+NCDE同

色）

由平行线性质找到角的关系.

r.................

图②

答案：

解：N4BC+NBCD+NCOE=360°.

证明：如图，过点。作。尸〃48,

・・,直线A8〃EO,

：.ABZ^CF/7DE,

：.Z/4BC+Z1=180°,Z2+ZCDE=180°.

VZBCD=Z1+Z2,

AZABC+ZBCD+ZCDE=360°.

师：在运用平行线性质时，有时需要作平行线，取到桥梁的

作用，实现已知条件的转化.

探究类型之四平行线的应用型问题

例4如图，一条公路修到湖边时，需绕道，如果第一次拐的角

NA是120°,第二次拐的角N8是150°,第三次拐的角

是NC,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，

那么NC应为多少度？

师：图中己有两条平行线，根据上一个题做辅助线的启发，学生

独立完成解答，教师指定学生讲解.

提示：过点8作

解析：动画过点3作出）〃4七，

下一步

标尸同色，标NA=N1同色，Z2、ZC同色

由凡得/A=NLZ2+ZC=180°.

答案：

解：过点B作VAE/7CF,

:・AE〃BD〃CF,：.ZA=Z1,Z2+ZC=180°.

VZA=120°,Zl+Z2=ZABC=150°,

.*