第34练空间直线平面的垂直（精练基础重难点）高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

第34练空间直线、平面的垂直（精练）

刷真题明导向

L（2023•北京・统考高考真题）如图，在三棱锥产一力中，P4_L平面48C,PA=AB=BC=1,PC=瓦

⑴求证：8CJ.平面为8；

【答案】⑴证明见解析

【分析】（1）先由线面垂直的性质证得R4_LBC,再利用勾股定理证得8c_LP8,从而利用线面垂直的判

定定理即可得证；

【详解】（1）因为平面力BC,5Cu平面48C,

所以尸4_LBC,同理

所以△P48为直角三角形，

又因为PB=dPA、AB2=6，BC=1,PC=C，

所以尸父+3。2=尸。2,则APBC为直角三角形，故BCtPB,

又因为8c上PX,PAf}PB=Pt

所以3C工平面P/18.

2.（2023•全国•统考高考真题）如图，在三棱柱44G中，4。，平面48C,N4c8=90。.

（1）证明：平面4CC/~L平面88℃；

【答案】（1）证明见解析.

【分析】（1）由4。，平面48C得4c_L3C,又因为可证8cl平面4CG4,从而证得平面

/CCM•平面8CC£；

【详解】（1）证明：因为4c■!•平面48C,BCu平面48C,

所以4c

又因为//C8=9（r,即4C18C,

4C,/Cu平面ACC/，A{Cr\AC-C,

所以6c人平面4CCM，

又因为BCu平面8CC£,

所以平面4CG4平面BCC£.

3.（2023•全国•统考高考真题）如图，三棱锥人一中，DA=DB=DC,BD1CD,N4DB=N4DC=60°,

E为BC的中点、.

（1）证明：BCLDA；

【答案】（1）证明见解析；

【分析】（1）根据题意易证8c4平面49E,从而证得8CJ.D4；

【详解】（1）连接/瓦OE,因为E为BC中点，DB=DC,所以O£_L8C①，

因为D4=DB=DC,NADB=N4DC=60、所以△4。与△480均为等边三角形，

；.AC=ABt从而/E_L8C②，由①②，AECDE=E,彳瓦OEu平面4OE,

所以，BC上平面4DE,而AOu平面40E,所以8C_LZM.

4.（2022•浙江•统考高考真题）如图，已知488和C£＞此尸都是直角梯形，A3//DC,DC//EF,48=5,

DC=3,EF=\,ZBAD=ZCDE=60°,二面角尸一OC-8的平面角为60。.设M,N分别为的中

点.

（1）证明：FN1AD；

【答案】⑴证明见解析；

［分析］（1）过点E、D分别做直线DC、AB的垂线EG、DH并分别交于点G、"，由平面知识易得内。=BC,

再根据二面角的定义可知，NBC尸=60',由此可知，FN1BC,/W_LC。，从而可证得FN_L平面MC。，

即得尸N_L4O；

【详解】（D过点E、。分别做直线QC、48的垂线EG、并分别交于点G、H.

•・•四边形48C。和EFCO都是直角梯形，ABUDC,CDUEF,AB=5,DC=3,EF=\,NBAD=NCDE=60。,

由平面几何知识易知，DG=AH=2,ZEFC=ADCF=ADCB=ZABC=90°,则四边形EFCG和四边形

DC8H是矩形，・,・在RtaEG。和Rt△。/£4,EG=DH=郎，

•:DCtCF,DC1CB,且CFcCB=C,

・•・DC1平面BCF/BCF是二面角F-DC-B的平面角，则NBCF=60°,

•••△6CF是正三角形，由OCu平面/BCD,得平面48C。/平面8。/，

・・^N是BC的中点，・••尸N1BC,又OC_L平面FNu平面BCF,可得在V1CZ）,而BCcCO=C,

・・・EVJ_平面48C。，而4Ou平面48CZ）.•.尸N_L4O.

5.（2022•全国•统考高考真题）如图，四面体488中，AD±CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,£•为力。的中

点♦

⑴证明：平面平面4c

【答案】⑴证明详见解析

【分析】（T）通过证明4C_L平面片EQ来证得平面2EOJ■平面/CZ）.

【详解】（1）由于40=8,E是AC的中点，所以

AD=CD

由于3。=3。,所以AADB=ACDB,

NADB=NCDB

所以AB=CB,故彳C_L6E,

由于DEcBE=E,DE,BEu平面BED,

所以4C_L平面6EO,

由于ACu平面48,所以平面B瓦）_L平面力CD.

6.（2022•全国•统考高考真题）在四棱锥尸-48co中，尸。JL底面

ABCD,CD〃AB,AD=DC=CB八AB=2,DP=6.

（1）证明：BD1PA；

【答案】⑴证明见解析；

【分析】（1）作于£,CFJ.AB于F,利用勾股定理证明4。［8。，根据线面垂直的性质可得

PDA.BDf从而可得8。4平面H4O,再根据线面垂直的性质即可得证；

【详解】（1）证明：在四边形48CQ中，作OE/45于E,CF工4B于F,

因为CDI/AB,AD=CD=CB=T,AB=2,

所以囚边形488为等腰梯形，

所以4E=BF=；,

故DE=2,BD=<DE'+BE?=百，

2

ffi^AD2+BD2=AB2，

所以ADJ.BD,

因为尸。J_平面488,8Z）u平面48CD,

所以尸。J_80,

又PDcAD=D,

所以301平面0力0,

又因为P4u平面尸4）,

所以8O1E4；

7.（2022•全国•统考高考真题）如图，四面体9中，ADICDyAD=CDy/ADR=/RDC,K为4c的中

点.

⑴证明：平面8£O_L平面NCZ）；

【答案】⑴证明过程见解析

【分析】（1）根据己知关系证明得到力〃=。8,结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，

结合面面垂直的判定定理即可证明；

【详解】（1）因为力。=。，E为4C的中点，所以"_LQE；

在AABD和△C8。中，因为AD=CD,NADB=ZCDB,DB=DB,

所以△ABDqACBD,所以4B=CB,又因为E为力C的中点，所以4CJ_BE；

又因为平面DEcBE=E,所以力C_L平面BE。，

因为ACu平面力。，所以平面8E0_L平面力CO.

8.（2021・全国・统考高考真题）在四楂锥。-48。。中，底面48。。是正方形，若40=2,。。=04=石,0。=3.

（1）证明：平面平面46C。；

【答案】（1）证明见解析；

【分析】（1）取力。的中点为O,连接。。,。。，可证。。，平面力8CO,从而得到面。力。，面力8CQ.

Q

（1）取4。的中点为。，连接。。,。。.

因为04=。。，OA=ODf则。

而AD=2,QA=后,故00=7^1=2.

在正方形力8C。中，因为力。=2,故。0=1,故8=亚,

222

因为0c=3,^QC=QO+OCf故40。。为直角三角形且。。，0C,

因为0。。/。=。，故。。，平面ZBC。，

因为0Ou平面Q4。，故平面_L平面48。.

9.（2021•全国•统考高考真题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，AB=BC=2,E,F

分别为4c和CG的中点，。为棱4片上的点.BF1

（1）证明：BFIDEi

【答案】（1）证明见解析；

【分析】（D方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间

向量证明线线垂直；

【详解】（1）［方法一］:几何法

因为M_L44,44〃四，所以8尸_148.

又因为工BE】，BFcBBi=B，所以4B上平面8CC£.又因为48=BC=2,构造正方体ABCG,

如图所示，

过E作彳8的平行线分别与4G,BC交于其中点M,N,连接再N,

因为E,F分别为/C和CG的中点，所以N是BC的中点，

易证RL8C产=Rt^gBN,则ZCBF=ZBB、N.

又因为ZBRN+4NB=XP,所以ZCBF+ZB\NB=YP,BF1B、N.

又因为所，44,4义「144=4,所以8/，平面4MN4.

又因为EOu平面4MMJL所以BF工DE.

［方法二］【最优解】：向量法

因为三棱柱是直三棱柱，..831底面48C,・•.回_1_期

♦・•AB/AB,BFLAxB.t..BFLAB,又BBqBF=B,二4B上平面BCgB-所以848c,8片两两垂直.

以8为坐标原点，分别以848c,5以所在直线为XJ,N轴建立空间直角坐标系，如图.

.•.8（0,0,0）,4（2,0,0）0（0,2,0）,5,（0,0,2）,J,（2,0,2）,C,（0,2,2）,£（l,l,0）,F（0,2,1）.

由题设。（凡0,2）（0<a<2）.

因为旃=（0,2,1）,52=（1-。,1,-2）,

所以丽.诙=0x（l-a）+2xl+lx（-2）=0,所以BFLDE.

［方法三］:因为8尸_144，ABJ/AB,所以故南方福=0,BF-AB=Q，所以

酢•丽=丽.（而+西+丽）mF•丽上疗（而+网=丽.丽+而函

=研.轲一海＞旃丽“净由一）翦丽丽.净反+而.西

COSZF5C+|5F||^|COSZF^.="1XX^X2X-^+^-X2X-^.=0,所以BFJ.ED.

10.（2021•全国•统考高考真题）如图，四棱锥2-48co的底面是矩形，PO_L底面48。。，M为BC的中

点，且尸8JL4W.

（1）证明：平面P/M_L平面尸80；

【答案】（1）证明见解析；（2）立.

3

（分析］（1）由尸。1底面4BCD可得PDJ.AM,又PB1AM,由线面垂直的判定定理可得AM1平面PBD,

再根据面面垂直的判定定理即可证出平面PAM1平面PBD;

【详解】（1）因为PQ_L底面力8CO,4Mu平面”CO,

所以PDJ.4M,

又PBtAM,PBf］PD=P,

所以AM工平面尸80,

而4Wu平面RM/,

所以平面PAM1平面PBD.

11.（2021•全国•统考高考真题）如图，在三棱锥力-8C。中，平面450_L平面BCD,AB=AD,0为80的

中点.

（1）证明：OALCDx

【答案】⑴证明见解析；（2）3.

6

【分析】⑴由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可;

【详解】（1）因为月B=AD,。是8。中点，所以O/_L8O,

因为04u平面/80,平面力8。平面8CD,

且平面/3。1n平面88=8£>,所以。41平面BCD.

因为COu平面8c。，所以。4_LC0.

【A组在基础中考查功底】

一、单选题

1.己知〃?，〃是不同的直线，a,B是不同的平而，则下列条件能使〃_La成立的是（）

A.a±p.B.a〃B.〃_LB

C.a_L0,〃〃BD.m//a.,nA.m

【答案】B

【分析】〃J_a必有〃平行a的垂线，或者〃垂直a的平行平面，依次判定选项即可.

【详解】a_LB，mcp,不能说明〃与a的关系，A错误；

a〃B，〃_LB能够推出〃_La,B正确；

a±p,〃〃。可以得到〃与平面a平行、相交或在平面a内，所以C不正确；

m//at〃_L〃i则〃与平面a可能平行，所以D不正确.

故选:B.

2.设〃?，〃是两条不同的直线，a,B，/是三个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A.若a〃6,mua,nu。,则

B.若aA.0,mua,nu0,则

C.若nA.J3ta_L夕，则

D.若a_Ly,0M,则夕

【答案】C

【分析】ABD选项，可以举出反例，C选项，可以利用面面垂直的性质进行证明

【详解】A选项，若ai/,mua,〃u〃，则故〃〃或肛〃异面，A错误；

B选项，如图，

满足a_L〃，机ua,nu°,而加〃〃，故B错误；

C选项，因为a_L/7,设ac夕=a,bua,6_L〃，

所以人,夕，因为〃，夕，所以b"n,

因为加_La,bua,所以/w_Lb,则加_L〃，

C正确；

D选项，如图，

满足a_Ly,0工y,而a_L£,D错误.

故选：C

3.已知直线/上平面。，有以下几个判断：

①若冽1/,则"?〃a；

②若加_La,则m/〃；

③若mMa.则±/：

④若用/〃，则〃?_La；

上述判断中正确的是（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

【答案】B

【分析】根据线面的位置关系，线面垂直的性质定理，线面平行的性质定理及线面垂直的性质逐项分析即

得.

【详解】对于①，当〃?u平面a也可以有小_U,但m不平行于平面a,故①错；

对于②，根据线面垂直的性质定理可知②正确；

对于③，根据线面平行的性质定理可得存在〃<=a且"〃〃.而直线//平面a,故可根据线面垂直的性质

得出/_!_〃，故/J■加正确；

对于④，根据直线/1平面。，可在平面a内找到两条相交直线p,n,且/又相〃，，所以〃?_Lp,

加_L〃，故根据线面垂直的判定定理可知，机_La正确.

即②③④正确.

故选：B.

4.己知直线加、〃，平面a、B,满足=〃且。，夕，则“〃?_L夕"是"阳J.〃〃的（）条件

A.充分非必要B.必要非充分条C.充要D.既非充分又非必要

【答案】A

【分析】利用空间中的垂直关系和充分条件、必要条件的定义进行判定.

【详解】因为an/=〃，所以〃u〃，

又因为阳所以m_L〃，

即“加J.夕”是“加”的充分条件；

如图，在长方体中，设面48CO为面面BCEF为面0,

则〃?1〃，且〃?与面夕不垂直，

即“J■夕"不是"刑1的必要条件；

所以_LQ〃是“加1〃”的充分不必要条件.

故选：A.

5.设〃?，〃是两条不同的直线，。是一个平面，则下列命题中正确的是（）

A.若阳_La,〃ua,则机_[.〃B.若m//a,nila,则机_L〃

C.若m_La.mln,则n//aD.若mJ/a.ni1n,则"_La

【答案】A

【分析】根据空间线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，根据线面垂直的定义可知，若〃?_La,〃ua,则机，〃，A选项正确.

B选项，若nila,则叫"可能平行，所以B选项错误.

C选项，若加"La,m_L〃，则〃可能含于平面。，所以C选项错误.

D选项，若m//a,m_L〃，则〃可能含于平面a,所以D选项错误.

故选：A

6.已知加，〃是两条不同的直线，%人/是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A.mJ/a,n//a,则〃

B.m//n,m//a,贝!]〃〃a

C.mVa.mLp,则a//p

D.aA-Y.p1/,则a〃夕

【答案】C

【分析】根据孙〃的关系可判断A,根据直线与平面的关系可判断B,根据线面垂直的性质判断C,根据面

面垂直的概念判断D.

【详解】对A,m//a,n//af则小〃〃，相交，异面和平行都有可能，故A错误；

对B,tn//n,m//a,则可能〃ua,〃〃a,故B错误；

对C,根据线面垂直的性质可知相_La,〃?_LP时，a//pt故C正确；

对D,«!/,/?!/,则可能a1相交，也可能平行，故D错误.

故选：C

7.已知/是直线，a,尸是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）

A.若/〃a,〃/,则a〃/?

B.若a工0,I"a,则/•）•万

C.若/_La,H/,则万

D.若/_La,a10,则〃/

【答案】C

【分析】根据空间中线面的位置关系一一判定即可.

【详解】

如图所示正方体力8C。-EFGH中，

对于A项，若/=EG,a为平面力BCO,£为¥面4DHE,符合A条件，但两平面不平行，故A错误；

对于B项，若/=FG,a为平面4BCD,0为平面4DHE,符合B条件，但线与面夕不垂直，故B错误;

对于D项，若/=力瓦。为平面48CZ）,0为平面ADHE,符合D条件，但1u£,故D错误；

对于C项，设/在月上的投影为加，贝1“〃叫〃?uQ,由线面垂直的性质可知阳_L。，

再由面面垂直的判定可得a_L4,即C正确.

故选：C

8.a6,表示平面，/为直线，下列命题中为真命题的是（）

A.a工丫,。上y=aH。B.a1/

C.aLy,aIy?=/=>/±/D.a〃八夕//5,a_L£

【答案】C

【分析】借助长方体模型，结合线面垂直的判定定理、面面平行的性质逐一判断即可.

【详解】A：在长方体44GA中，设/表示平面/8CQ,

a,夕分别表示平面ARDA和平面D£CD,显然满足a_L八/_L九

但是a_L〃，因此本选项不正确；

B：在长方体力次a-48cA中，设/表示平面8CCM，

a,6分别表示平面gDA和平面ABCD,显然满足aA.0,/3工7,

但是。//，，因此本选项不正确；

C：设。07=帆,夕口7=〃，

设点0是平面V任意一点，在平面7内过O做。41〃?,。81〃，垂足为48,

因为a_Ly,aA/=m,OALm.OA^yt

所以。4J_a,而所以CM_L/,同理O8_L/,

而0力0。8=0。408匚7,所以/_Ly,因此本选项正确；

D：在长方体48CO—48cA中,

。/，九6分别表示平面4£GA、平面44。彳、平面力8C。、平面BCC4,

显然满足a//y,/〃b,a_L/?,但是因此本选项不正确，

故选：C

二、多选题

9.设机，〃为不重合的两条直线，a,夕为不重合的两个平面，下列命题正确的是（）

A.若加//0且〃//a,则机〃〃；B.若〃?_La且〃_La,则机//〃；

C.若m//a且机/R,则。///?；D.若〃?J_a且/〃则a//£.

【答案】BD

【分析】根据线面的位置关系和面面的位置关系可以得出答案.

【详解】解：A：若且〃〃a,则m,〃可能相交、平行或异面，故A错误；

B：若小J_。且〃J_a,根据垂直于同一平面的两直线互相平行，故B正确；

C：若m//a且加〃夕，根据面面的位置关系定义可得。与夕可能平行也可能用交，故C错误；

D：若〃?_La且小，夕，根据面面平行的判定可知垂直于同一直线的两平面互相平行，故D正确.

故选：BD

10.已知直线/和不重合的两个平面。，夕，且/ua,下列命题正确的是（）

A.若/〃则a〃£B.若。〃则/〃/

C.若U0,则户D.若a工0,贝心，夕

【答案】BC

【分析】结合面面平行的判定定理、面面平行的定义、面面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理可分别

判断四个选项的正误.

【详解】对于A,由/〃夕可得a与夕平行或相交，故错误;对于B,若。〃夕，则由面面平行的定义可得/〃）,

故正确；对于C,若",则由面面垂直的判定定理可得故正确；对于D,当al■夕时，I可能在尸

内，可能与夕平行，也可能与尸相交，所以不一定有■夕，故错误.

故选：BC.

11.设有三条不重合直线a,b,c和三个不重合平面民丁,则下列命题中正确的有（）

A,若a//c,b//c则a//bB.若。_1_。，6_Lc,则a_L6

C.若夕///则a//?D.若a_Ly,夕_1_/则。_1_夕

【答案】AC

【分析】根据平行的传递性可判断A,根据空间直线的位置关系可判断B,根据平行面的传递性可判断C,

根据面面之间的位置关系可判断D.

【详解】对于A,由平行线的传递性可知，若a//c,b//c,则所以A正确，

对于B,若。，。/，。，则。与6可能平行，可能相交，也可能异面，所以B错误，

对于C,根据平行面的传递性可知，若。*人/?///,则。/力，所以C正确，

对于D,若。_1八4_1九则可能平行，也可能相交，所以D错误，

故选：AC.

12.已知空间中两个不同的平面a,尸，两条不同的直线叽〃满足mua,〃u£,则以下结论正确的是（）

A,若m_L〃，则aJ•夕B.若。〃£,则加〃〃

C.若见〃相交，则相交D.若心0,则夕

【答案】CD

【分析】利用空间中线线、线面关系逐项判断即可.

【详解】A选项，如图所示：mua,〃u/，mlnf。与尸有可能只是相交，故A错误；

B选项，如图所示：若mua/u£,a〃夕，加与〃有可能异面；

C选项，若川ua,〃up,相交，则£一定相交，故C正确；

D选项，由面面垂直的判定定理即可得若利mua,则

故D正确.

故选：CD.

13.设孙〃为两条不同的直线，。，夕为两个不同的平面，则下列结论错误的是（）

A.若机则加_La

B.若小〃〃，m〃a,〃〃/7,则a〃夕

C.若a〃夕，机ua,〃u/，则

D,若m_L_La,〃/，则a1.p

【答案】ABC

【分析】根据直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系以及面面垂直的判定定理进行判断.

【详解】对于A,若小则“与a平行、相交或Mua,故A错误；

对于B,若加〃〃，加〃a,〃〃万，则。与乃相交或平行，故B错误；

对于C,若a〃B,mua、nuB,则机与〃平行或异面，故C错误；

对于D,若加_L〃，机■夕，则由面面垂直的判定定理得。，夕，故D正确.

故选：ABC.

14.已知直线加、〃，平面a、0,给出下列命题，其中正确的命题是（）

A若胆_La,〃_L£.且切_L”,则白_L£

B.若/n||a,afl4=〃，则m//n

C.若机_La,nl/p,且m_L〃，则a_L/?

D.若m_La,nilp,且m//n,则aA.p

【答案】AD

【分析】根据线面位置关系的性质定理与判定定理一一判定即可.

【详解】对于A项，•机〃。或〃ua,又〃1夕，故A正确；

对于B项，如图所示，在正方体4〃中，FH=m,面48c0=a,面BCHG=0,

显然。口尸=8。，而FH与BC不平行，即B错误；

对于C项，

如上图所示，在正方体4〃中，GB=m,面48C/）=a,AB=n,面FEHG二p,

显然符合条件，而a〃尸，不垂宜，即C错误：

对于D项，,加_La,/w〃％，”_La,又〃ll£,Aa1/?,故D正确.

故选：AD

三、填空题

15.已知平面a,尸和直线〃7,给出条件：①“〃a；②机"La；③机ua：④a〃6.当满足条件时,

有（选填其中的两个条件）

【答案】②④

【分析】由于当一条直线垂直于两个平行平面中的一个时，此直线也垂直于另一个平面，由此能求出结果.

【详解】解：；由于当一条直线垂直于两个平行平面中的一个时，此直线也垂直于另一个平面，结合所给

的选项，故由②④可推出小，夕.

即②④是mJ•〃的充分条件，

..满足条件②④时，有，〃

故答案为：②④.

16.已知a，尸表示两个不同的平面，加为平面a内的一条直线，则“a_L夕”是的条件

【答案】必要不充分

【分析】根据直线和平面的位置关系以及充分必要条件的定义可判断.

【详解】若。_1"，加与面£不一定垂直，

若m工。,根据面面垂直的判定定理可得。，夕,

故答案为：必要不充分.

17.已知巴夕是两个不同的平面，肛〃是平面a及£之外的两条不同的直线，给出下列四个论断：

①〃？_L〃；②a_L/；③〃_1_尸；④m_La.

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：.（用序号表示）

【答案】①③④二②（或②③④=①）

【分析】已知①③④时，将叫〃平移到相交位置，根据线面垂直的判定与性质以及直二面角的定义可推

出②；已知②③④时，根据直二面角的定义可推出①.

【详解】若m~L〃，zz1/y,m.La,则a_L£.

证明：过平面。和平面户外一点P,作尸产力交a于A,作尸8//〃，PB交B千B,

则E4J_a,PB>B,PA人PB,

显然。与£不平行，设afl夕=/,则以JJ,PBJJ,

因为"0尸8=尸，P4PBu平面P4B,所以//平面P48,

延展平面248交/于点A/,连4乩贝!/1t

则NAMB是二面角a-1-p的一个平面角，

因为P/_La,所以414W,同理有

又PA工PB,所以四边形尸4W3为矩形，贝IJ/

则平面a和平面月形成的二面角的平面角直二面角，故

若aJ■力，〃~L夕，mLaf则/〃_L〃.

证明：因为a_L〃，所以a与4所成的二面角为90。，

因为〃_1_夕，m_L。，所以直线加，〃所成的角也为90°,即小A.

若m1〃,aA.fl,nLp,则加与a相交或zn//a或〃?ua.

若掰1〃，a工。，mLa,则〃与a相交或〃//a或〃ua.

故答案为：①③④二②（或②③④=①）.

18.已知切、/是直线，a、”是平面，给H下列命题：

①若/垂直于〃内两条相交直线，则/_La；

②若/平行于原则/平行于。内所有的直线；

③若mua,/uP且/_!_〃？，则a_L/?；

④若iu夕且/JL。，则■夕：

⑤若掰ua,/u夕且则/〃机.

其中正确命题的序号是.

【答案】①④

【分析】对于①，考虑直线与平面垂直的判定定理，符合定理的条件故正确；对于②⑤，可举出反例;

对于③考虑aJ■夕的判定方法，而条件不满足，故错误；对于④符合面面垂直的判定定理，故正确.

【详解】对于①，由线面垂直的判断定理可知，若I垂直于a内的两条相交直线，贝故①正确,

对于②，若///。，如图1,

可知，/与。是异面关系，故②不正确，

对于③，若mu%且11%无法得到/_La,故无法得到。，夕，故③不正确，

对于④，根据面面垂直的判断定理可得，若/u4且/_L。，，则故④正确，

对于⑤，如图2,满足mua,/u"且a〃/，则/，加异面，

故⑤不正确，

故正确命题的序号是①④.

故答案为：①④

四、解答题

19.已知正方体力88的棱长为2.

⑴求三棱锥4-G8O的体积；

⑵证明：AC.A.BD,

4

【答案】⑴§

⑵证明见解析

【分析】（1）将问题转化为求匕Y8D即可；

（2）根据线面垂直证明线线垂直.

【详解】（1）在正方体ABCD44G。］中，易知GCJ•平面ABD,

••匕-，朋=忆-加=（/X2x2）x2=—.

（2）证明：在正方体4BCD-中,易知5O_L/C,

平面ABD,80u平面ABD,ACyC±BD.

又・・・GCc/C=C,CC、4Cu平面4CG，・・・BD_L平面/CG.

又％Gu平面/CG，AAC.LBD.

20.如图，在三棱锥尸一48c中，尸C_L底面力8C,ABJ.BC,D,E分别是48,尸8的中点.

⑴求证：OE〃平面R1C；

(2)求证：AB1.PB

【答案】⑴证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】(D根据三角形中位线的性质得到OE//H,即可得证；

(2)由线面垂直的性质得到PC_L48,再根据即可得到2平面P8C,即可得证.

【详解】(1)・・,点D、E分别是棱AB、PB的中点，

・•・DEIIPA,

又•・•/)£a平面产Xu平面以C；

・・・。£〃平面R4c.

(2)・・・PC_L底面N8C,49u底面45C,

:・PC工AB,

*：ABIBCtPCcBC=C,尸C,BCu平面P8C,

・・・彳8/平面P8C,

又・・・P8u平面产力8,

:.ABLPB.

21.如图，长方体力BCD-44GA中，底面力8co是正方形.

⑴求证：BQi〃平面BDG；

(2)求证：4。_1_平面4。。/.

【答案】⑴证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)根据长方体的性质得到四边形防0⑷为平行四边形，则BD//BU，即可得证；

(2)依题意可得与A_L4C,再由线面垂直的性质得到瓦。144,即可得证.

【详解】(1)在长方体48。-44GA中，BBJ/DD总BB、=DD\,

所以四边形网为平行四边形，所以BD//BQ、,

因为4。平面8OG，8Ou平面8OG，所以6a〃平面

(2)因为底面45CO是正方形，所以42/8。，又BDHB\D\,所以用"_L4C,

又44,，平面4片。14,6Qu平面44CQ,所以用R_L44，

又4。044=彳，4C,44u平面/CC/,所以平面4c。/.

22.所有棱长均相等的三棱锥称为正四面体，如图，在正四面体4—8CO中，求证：ABLCD.

【答案】见解析

【分析】取C0的中点为M,连接4W,BM，根据线面垂直可得ABJ_CD.

取CO的中点为连接4M,BM,

因为四面体力一"A为正四面体，故△4CD为等边三角形，

故4WJ.C。，同理8M_LC£),

而4Wc8M=M,故CZ)_L平面MM,

因为/Bu平面故CZ)_L48.

23.妇图，在三棱锥P-ABC中,P8=PC,AB=AC,DfE分别是BC,尸占的中点.

⑴求证：DE〃平面P4C;

⑵求证：1平面P4).

【答案】⑴见解析，

(2)见解析.

【分析】⑴根据线面平行的判定定理证明线面平行；

(2)根据线面垂直的判定定理证明线面垂直.

【详解】(1)证明：由题知D,E分别是5cp8的中点,.：。号|尸C,

•••OEU平面尸4G尸Cu平面HC,

.•.O£〃平面R4C,得证；

(2)证明：由题知尸8=PC,48=/C,D是6c的中点，

/.PD1BC.AD1BC,

•/PDu平面PAD,ADu平面PAD且尸£>cAD=D,

故8。工平面尸得证.

24.如图所示，在四棱锥P-48C。中，底面488为平行四边形NCD4=45，AD=AC=\t。为中

点，P0上平面4BCD,P。=2,M为PD中点.

⑴证明：尸3〃平面XCM；

⑵证明：平面力1O_L平面4C.

【答案】⑴证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）利用直线和平面平行的判定定理即可证明；

（2）利用平面和平面垂直的判定定理即可证明；

【详解】（1）证明：连接8。、MO,在平行四边形力88中，0为AC、8。的中点，

•:M为PD中点,:.PBHMO,

又・.,P5a平面/CM,MOu平面力CM,

・・・P8//平面ZCM；

（2）证明：・・・/。。4=45°，且40=/C=l,

；・NDAC=90,,即D4JL4C,

,.・尸。工平面彳BC0,4Ou平面48C。，，尸

•：AC[}PO=O,AC.POu平面P4C,・・・4）_L平面P4C,

又・.・4Ou平面P4O,・•・平面P4）_L平面4C.

25.如图，在三棱锥产一48。中，平面48C,PCLAB,O,E分别为BC,4C的中点.求证：

⑴初〃平面PQE；

⑵平面48_L平面尸4c

【答案】（1）证明见详解

（2）证明见详解

【分析】（1）根据条件知，DE//AB,利用线面平行的判定定理即可证明；

（2）首先证明48工平面尸利用面面垂直的判定定理即可证明.

【详解】（1）在』BC中，。，七分别为8C,4C的中点，

则DE//AB，又AB«平面PDE,DEu平面PDE,

则48〃平面?0瓦

(2)因为R4_L平面4SC,/Nu平面48C,

所以P力士4B,又PC上4B,且产力小尸。=2,尸4尸。匚平面尸力。，

所以48工平面PAC,又ABu平面ABC,

所以平面PAB1平面PAC.

26.如图，在直三棱柱"C-DM中，AC=BC=2,初=2旧彳。=4,M,N分别为4O,C尸的中点.

⑴求证：4V工平面BCW；

3

(2)设G为地上一点，且BG—BE,求点G到平面8cM的距离.

4

【答案】⑴证明见解析

(2)华

2

【分析】(1)根据4。2+8。2=482得力C/5C,并且得出四边形为正方形，进而即可求证；(2)利

用等体积法的思想求点到平面的距离.

【详解】(1)证明：在宜三棱柱彳BC-。即中，AC=BC=2,止26，力。=4,M,N分别为42c户的

中点，

221

•：AC=BC=2,AB=2>/2,:.AC+BC=AB,^AClBCt

又力8C-OEF是直三棱柱，

所以4)_L平面48C,8Cu平面48C,所以4O/8C,

力。,力。<=平面彳677),4。04。=彳，

・・・8。/平面4CED,4Nu平面4CQ,则8cd.4V,

・・・","分别为4。,。产的中点，且4。=4,"=2,

・•・四边形4CMN为正方形，则CM1/N,又8cleM=C,

BC,CMu平面BCM,:.AN1平面BCM；

(2)由(1)知，即4c28C,又”C-OEE是直三棱柱，，力C_L平面8c五E,

:.MA〃FC,则点M到平面GBC的距离即为4c=2,

**•VG-iCM=VM-BCG=8Gze=\x2x3x2=2,

由(1)知，BC工CM,且CM=26，，S.BCM=；x2x24=2m

设点点G到平面BCM的距离为〃，则曝3cM=？x2向，，!X2V^=2,贝加=逑，

332

即点点G到平面BCM的距离为逆.

2

27.妇图，在四棱锥尸一”。0中,四边形48c0是菱形，弘”为P8的中点.求证：

⑴尸。〃平面4EC;

(2)平面4EC_L平面PBD.

【答案】⑴证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)设/Cn8O=。,连接EO,根据中位线可得00〃EO,再根据线面平行的判定定理即可证明；

⑵根据PA=PC可得AC1尸O,根据四边形MCD为菱形，可得AC180,再根据线面垂直的判断定理可得

ACJ_平面PBD，再根据面面垂直的判定定理即可得出结果.

【详解】(D设力Cn8O=O,连接£0,如图所示：

因为0,E分别为6。，尸6的中点，所以「。〃£。，

又因为尸。口平面/EC,EOu平面NEC,

所以PO〃平面/EC.

(2)连接尸0,如图所示：

因为P/=PC,0为4c的中点，所以4C_LP。，

又因为四边形48co为菱形，所以4c工8。，

因为POu平面PBD,BDu平面PBD，且POPlBQ=O,

所以平面P8O,又因为/Cu平面N£C,

所以平面AEC1平面PBD.

28.如图，已知三棱柱4804及G的侧棱垂直于底面，N8力C=90。.求证：AB1AC,.

【答案】证明见解析.

【分析】由题可得力4,44,ABJ.AC,然后根据空间向量的数量积结合条件可得藕•丽=0,进而即

得.

【详解】因为44，平面48C,Z5JC=90°,48u平面48C,

所以4%上/B,AB1AC,

因为七=四+工，

所以福•刀=(怒+衣)•荏=怒•荏+太•荏=0,

所以，否1方，即4814G.

29.如图，在直三棱柱4461G中，AC=3tBC=4,48=5,点。是45的中点.

(1)证明：ACVBC.,

(2)证明：彳CJ/平面CD4.

【答案】⑴证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)根据已知条件证明力C_L平面8CC罔，再通过线面垂直的性质得到线线垂直；

(2)设CB、CGB=E,根据条件得到O£//4G，再结合线面平行的判定定理证明即可.

【详解】(1)在直三棱柱4BC-中，CG_L平面力8C,

因为4Cu平面4BC,所以CG_L4C.

因为/C=3,BC=4t48=5,

所以=力炉，所以

又CCqBC=C,CG，5Cu平面BCCM，

所以4C_L平面8CG用，

因为BC|U平面BCG4,所以4c_L8G

(2)设C4CG8=E,连接0E,

则E是8G的中点，

又因为。是的中点，所以DEHAC,

因为。£u平面8功，4&2平面。。4，

所以4CJ/平面84.

30.如图，在四棱锥尸一力8a＞中，ACQBD=O,底面48co为菱形，边长为2,PC上BD,PA=PC,

且N/8C=60'，异面直线尸8与C。所成的角为600.

⑴求证:POJ■平面彳8C。；

⑵若E是线段OC的中点，求点E到直线4尸的距离.

【答案】⑴证明见解析

【分析】(1)根据线面垂直的性质定理、判定定理证明;

(2)利用空间向量的坐标运算，求点到直线的距离.

【详解】(T)因为四边形/BCD为菱形，所以4CU8。，

因为PC，8。，尸。0%。=。,尸。,彳。匚平面4尸。，

所以8。/平面APC>

因为POu平面力PC,所以8OJ.P。，

因为P4=PC,。为4c中点，

所以PO_L4C,

又因为4CcBD=O,AC,BDuABCD,

所以PO1平面ABCD.

(2)以。为原点，方向为x,%z轴方向，建系如图，

因为AB//CD,所以NPBA为异面直线PB,CD所成的角，

所以/尸加=60°,在菱形48c。中，48=2,

因为N”C=60°,所以。4=1,08=6,

设尸O=a,则&+1,PB7a2+3,

在△P84中，由余弦定理得，PA2=BA2+BP2-2BA-BP-cos^PBA,

所以4+1=4+"+3-2x//+3,解得。=庭，

所以仰,T,0),8(6,0,0),C(0,l,0),P(0,0,76),£(0,g,0),

uuriuur厂「iuur.府.uur.

BE=(-V3,-,0),5P=(-GO,向,|叫=号，网=3,

(uurA2----

JR-鼠商

所以点E到直线BP的距离为

31.