备战2025年高考二轮复习数学专题突破练10

专题突破练(分值:92分)学生用书P161一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2024·山东日照二模)已知数列{an}各项均为正数,首项a1=3,且数列{log3an}是以-2为公差的等差数列,则a3=()A.127 B.13 C.答案A解析因为数列{an}各项均为正数,首项a1=3,则log3a1=1.又数列{log3an}是以-2为公差的等差数列,则log3a3=1-2×(3-1)=-3,故a3=3-3=127.故选2.(2024·广东广州三模)等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a5=()A.14 B.12 C.答案B解析依题意有a1+a1q2=10,a1q+a1q3=5=(a1+a1q2)q,解得q=12,a1=8,故a5=a1q4=8×1163.(2024·山东泰安二模)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=5a2+6a1,则公比q为()A.1或5 B.5C.1或-5 D.5或-1答案D解析由S3=5a2+6a1=a1+a2+a3,得4a2+5a1=a3,所以4a1q+5a1=a1q2,即q2-4q-5=0,所以(q-5)(q+1)=0,所以q=5或q=-1.故选D.4.(2024·江苏宿迁一模)设Sn是等比数列{an}的前n项和,若S3,S9,S6成等差数列,a1=-2,则a7的值为()A.-2 B.-12 C.12答案B解析由题意知q≠1,因为S3,S9,S6成等差数列,所以2S9=S3+S6⇒2(S9-S6)=-(S6-S3),即q3=-12所以a7=a1q6=-2×-122=-5.(2024·黑龙江佳木斯三模)一部中国古代数学名著中有一首诗,讲述了“竹筒容米”问题.诗云:“家有九节竹一茎,为因盛米不均平,下头三节三升九,上梢四节贮三升,惟有中间二节竹,要将米数次递盛,若是先生能算法,教君只算到天明.”(【注释】三升九:3.9升,次递盛:盛米容积依次相差同一数量)求该九节竹一共盛米多少升?()A.8.8升 B.9升 C.9.1升 D.9.2升答案B解析设第n节竹筒盛米an升,则数列{an}为等差数列,a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=3.9,设公差为d,则有4a1所以an=0.1n+0.5,则该九节竹筒一共盛米(0.6+1.4)×6.(2024·北京顺义二模)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,lgan+lgan+1=lg2n,n∈N*,则S9=()A.511 B.61 C.41 D.9答案B解析由lgan+lgan+1=lg2n可得lganan+1=lg2n,即anan+1=2n,所以an+1an+2=2n+1,两式相除可得an+2an=2,即a3a1=a5a3=…=a4a2=a6a4=2.由a1=1可得a2=2,因此数列{an}的奇数项是以a所以S9=a1+a2+a3+…+a9=(a1+a3+…+a9)+(a2+a4+…+a8)=1×(1-257.(2024·山东泰安三模)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a1=-21,S7=S15,则Sn的最小值为()A.-99 B.-100 C.-110 D.-121答案D解析设{an}的公差为d,因为a1=-21,S7=S15,可得a解得d=2,所以an=2n-23,可得Sn=-21n+n×(n-1)2因为a11=-1<0,a12=1>0,所以当n=11时,Sn取得最小值S11=112-22×11=-121.故选D.8.(2024·江西临川模拟)已知数列{an}满足a1=3,an+1=an+2an+1+1,则a10=(A.80 B.100 C.120 D.143答案C解析因为an+1=an+2an+1+1,所以an+1+1=(an+1)2+2an+1+1,即an+1+1=(等式两边开方可得an+1+1=an+1+1,即an+1+1-an+1=1,所以数列{an+1}是首项为a1+1=2,公差为1的等差数列,所以an+1=2+(n-1)×1=n+1,二、选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.(2024·山东临沂二模)已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和,则下列命题为真命题的是()A.若a3+a4=9,a7+a8=18,则a1+a2=5B.若a2+a13=4,则S14=28C.若S15<0,则S7>S8D.若{an}和{anan+1}都为递增数列,则an>0答案BC解析对于A,由a3+a4=9,a7+a8=18,可得(a7+a8)-(a3+a4)=8d=9,所以d=98.又由a1+a2=(a3+a4)-4d=9-4×98=92,所以A错误.对于B,由S14=14(a1+a14)2=14(a2+a13)2=28,所以B正确.对于C,由S15=15(a1+a15)2=15a8<0,所以a8<0.又因为S8-S7=a8<0,则S7>S8,所以C正确.对于D,因为{an}为递增数列,可得公差d>0.因为{anan+1}为递增数列,可得an+2an+1-an10.(2024·湖南长沙一模)设等比数列{an}的公比为q,前n项的积为Tn,下列说法正确的是()A.若T8=T12,则a10a11=1B.若T8=T12,则T20=1C.若a1=1024,且T10为数列{Tn}的唯一最大项,则1210D.若a1>0,且T10>T11>T9,则使得Tn>1成立的n的最大值为20答案BCD解析若T8=T12,则T12T8=a9a10a11a12=(a10a11)2=1,可得a10a11=±1.故选项A错误.而T20=a1a2…a19a20=(a10a11)10=1.故选项B正确.若a1=1024,且T10是数列{Tn}的唯一最大项.当q<0时,T10=a1a2…a9a10=(a1a10)5=(a1a1q9)5<0,不合题意;当q>0时,由T10>T9,T10>T11,可得a10>1,a11<1,即1024q9>1,1024q10<1,解得12109<q<12.故选项C正确.若T10>T11>T9,当q<0时,T9=a1a2…a9=a1(a2a9)4=a1(a1a1q9)4>0,又T10<0,不满足T10>T9,不合题意;当q>0时,由T10>T11,T10>T9,T11>T9,可得a11<1,a10>1,a10a11>1,所以a1>0,0<q<1,则{an}为单调递减数列.当n≤10,n∈N*时,an>1,当n>10,n∈N*时,an<1,所以当n≤10,n∈N*时,数列{Tn}单调递增,当n>10,n∈N*三、填空题:本题共2小题,每小题5分,共10分.11.(2024·广东茂名模拟)在公差为正数的等差数列{an}中,若a1=3,a3,a6,32a8成等比数列,则数列{an}的前10项和为.答案165解析设等差数列的公差为d,由题意得a62=a3×32a8,即(a1+5d)2=(a1+2d)×32(a1+7d),因为公差大于零,解得d=3,d=-38(舍去),所以S10=10×12.(2024·上海宝山二模)某区域的地形大致如图1,某部门负责该区域的安全警戒,在哨位O的正上方安装探照灯对警戒区域进行探查扫描.假设1:警戒区域为空旷的扇环形平地A1AnBnB1;假设2:视探照灯为点M,且距离地面20米;假设3:探照灯M照射在地面上的光斑是椭圆.当探照灯M以某一俯角从AkAk+1侧扫描到BkBk+1侧时,记为一次扫描,此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环Sk(k=1,2,3,…).由此,通过调整M的俯角,逐次扫描形成扇环S1,S2,S3,….第一次扫描时,光斑的长轴为EF,|OE|=30米,此时在探照灯M处测得点F的俯角为30°(如图2).记|AkAk+1|=dk,经测量知|A1An|=80米,且{dk}是公差为0.1米的等差数列,则至少需要经过次扫描,才能将整个警戒区域扫描完毕.

图1图2答案15解析因为在Rt△MOF中,∠F=30°,OM=20,所以OF=203,EF=203-30,故A1A2=203-30,故{dk}是以203-30为首项,以0.1为公差的等差数列,故Sk=(203-30)k+k(k-1)2×0.1.而S14≈74.06<80,S15≈80.1>80,故kmin四、解答题:本题共2小题,共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.13.(15分)(2024·江苏南通二模)设数列{an}的前n项和为Sn,若Sn-12an=n2+1,n∈N*(1)求a1,a2,并证明:数列{an+an+1}是等差数列;(2)求S20.解(1)当n=1时,由条件得a1-12a1=2,所以a1=4当n=2时,由条件得(a1+a2)-12a2=5,所以a2=2因为Sn-12an=n2+1,所以Sn-1-12an-1=(n-1)2+1(n≥2),两式相减得an-12an+12an-1=2n-1,即an+an-1=4n-2,所以(an+1+an)-(an+an-1)=[4(n+1)-2]-(4n-2)=4,从而数列{an+1+a(2)由(1)知an+an-1=4n-2(n≥2),所以S20=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a19+a20)=10×所以S20=(4×2-2)+(4×4-2)+…+(4×20-2)=10×(6+7814.(15分)(2024·山东济南一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=32且Sn=2an+1-3,令bn=(1)求证:{an}为等比数列;(2)求使bn取得最