备战2025年高考二轮复习数学专题突破练6

专题突破练(分值:82分)学生用书P149一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2024·河北承德二模)在△ABC中,D为BC中点,连接AD,设E为AD中点,且BA=x,BE=y,则BC=()A.4x+2y B.-4x+yC.-4x-2y D.4y-2x答案D解析由于BE=12(BA+BD)=12BA+14BC,所以BC=4BE2.(2024·江苏南京二模)已知向量a=(1,2),b=(x,x+3).若a∥b,则x=()A.-6 B.-2 C.3 D.6答案C解析由a∥b,知1·(x+3)=2·x,解得x=3.故选C.3.(2024·湖南长沙二模)在边长为1的正六边形A1A2A3A4A5A6中,A1A4·A.2 B.-2 C.23 D.-23答案B解析如图,易知△A3OA4,△A1OA6为正三角形,则|A1A4|=|A3A6|=2所以A1A4·A3A6=|A1A4||A3A6|cos4.(2024·浙江绍兴二模)已知e1,e2是单位向量,且它们的夹角是60°,若a=2e1+e2,b=λe1-e2,且a⊥b,则λ=()A.25 B.45 C.1 D答案B解析由a⊥b得,a·b=(2e1+e2)·(λe1-e2)=2λe12+(λ-2)e1·e2-e22=0,即2λ+λ-22-1=0,解得5.(2024·山东滨州二模)已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1,则c·(b-a)=()A.4B.1C.-1D.-4答案A解析建立平面直角坐标系如图所示,可知a=(-1,-2),b=(-2,1),c=(2,2),则b-a=(-1,3),所以c·(b-a)=-2+6=4.故选A.6.(2024·江苏扬州模拟)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,且a与b的夹角为5π6,则|2a-b|=(A.12 B.13 C.1 D.答案B解析根据题意,a·b=|a||b|cos5π6=1×3×-32=-32,则|2a-7.(2024·广东茂名模拟)如图,已知正六边形ABCDEF的边长为4,对称中心为O,以O为圆心作半径为2的圆,点M为圆O上任意一点,则AD·CM的取值范围为(A.[-24,16] B.[0,32]C.[-32,0] D.[-123,0]答案C解析连接OM,OC,设<AD,OM>=θ,依题意,AD=8,OC=4,<AD,则AD·CM=AD·(OM-OC)=AD·OM-AD·OC=8×2cosθ由θ∈[0,π],得-1≤cosθ≤1,所以-32≤AD·CM≤故选C.8.(2024·湖南邵阳一模)如图,四边形ABCD是正方形,M,N分别是BC,DC的中点,若AB=λAM+μAN,λ,μ∈R,则2λ-μ的值为()A.43 B.52 C.-23答案D解析AB=AM+MB所以34所以AB=所以λ=43,μ=-23,2λ-μ=故选D.二、选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.(2024·浙江温州模拟预测)已知单位向量a,b,c共面,则下列说法中正确的是()A.若|a+b|=|a-b|,则a∥bB.若|a+b|=|a-b|,则a⊥bC.若a+b+c=0,则<a,c>=πD.若a+b+c=0,则<b,c>=2答案BD解析由|a+b|=|a-b|,可得(a+b)2=(a-b)2,即a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b,可得a·b=0,所以a⊥b,故A不正确,B正确.因为向量a,b,c为单位向量,可得|a|=|b|=|c|=1.又a+b+c=0,可得b=-(a+c),则b2=a2+c2+2a·c,即|b|2=|a|2+|c|2+2a·c,可得a·c=-12所以cos<a,c>=a·c|因为<a,c>∈[0,π],所以<a,c>=2π3,故C由a+b+c=0,可得a=-(b+c),则|a|2=|b|2+|c|2+2b·c,可得b·c=-12所以cos<b,c>=b·c|因为<b,c>∈[0,π],所以<b,c>=2π3,故D故选BD.10.(2024·山东济宁模拟)如图2,这是一个边长为20厘米的正六边形的软木锅垫ABCDEF,则下列选项正确的是()图1图2A.向量BF在向量DE上的投影向量为-3B.AD-BEC.|AC+AED.点P是正六边形内部(包括边界)的动点,AP·AB的最小值为答案ABD解析以A为原点,以AB所在直线为x轴,AE所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.对于A,由图可知B(20,0),F(-10,103),D(20,203),E(0,203),所以BF=(-30,103),DE=(-20,0),故向量BF在向量DE上的投影向量为BF·DE|DE|2对于B,由图可知A(0,0),C(30,103),所以AD=(20,203),BE=(-20,203),CF=(-40,0),所以AD-BE+CF=(20+20-40,203-203+0)=(0,0)=0,对于C,AC=(30,103),AE=(0,203),|AC+AE|=302+(30对于D,设P(x,y),则AP=(x,y),AB=(20,0),所以AP·AB=20x.因为点P是正六边形内部(包括边界)的动点,所以-10≤x≤30,所以当x=-10时,AP·AB有最小值,最小值为-200,故选ABD.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.11.(2024·山东潍坊三模)已知向量a=(1,2),b=(4,-2),c=(1,λ),若c·(2a+b)=0,则实数λ=.

答案-3解析2a+b=(2,4)+(4,-2)=(6,2),c·(2a+b)=(1,λ)·(6,2)=6+2λ=0,解得λ=-3.12.(2024·湖北武汉期末)设P为△ABC所在平面内一点,满足AP·BC=BP·AC=0,答案0解析由AP·BC=0,得PA·(PC-PB)=0由BP·AC=0,得PB·(PC-PA)=0于是PA·所以CP·AB=-PC·(PB-PA)=-13.(2024·山东泰安二模)已知在矩形ABCD中,AB=1,AD=3,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上,则AP·AD的最大值为;若AP=mAB+nAD(m,n∈R),则m+n的最大值为答案92解析如图,以B为原点,以BC,BA所在的直线为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,则B(0,0),A(0,1),D(3,1),C(3,0),AD=(3,0).设圆的半径为r,∵BC=3,CD=1,∴BD=(3)2∴12BC·CD=12BD·解得r=32∴圆的方程为(x-3)2+y2=34设∠PCE=θ,则点P的坐标为(32cosθ+3,32sinθ),θ∈[0,2π],则AP=(32cosθ+3,32sinθ-1),AP·AD=3(32cosθ+3)=3∵AP=mAB+nAD(m,n∈R),AB=(0,-1),∴AP=(32cosθ+3,32sinθ-1)=m(0,-1)+n(3,0)=(3∴12cosθ+1=n,-32sinθ+1∴m+n=12cosθ-32sinθ+2=cos(θ+π3)+2.∵-1≤cos(θ+π3∴1≤m+n≤3,故m+n的最大值为3.四、解答题:本题共1小题,共15分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.14.(15分)(2024·湖南长沙一模)“费马点”是由数学家费马提出,该问题是:“在一个三角形内求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答,当△ABC的三个内角均小于120°时,使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点;当△ABC有一个内角大于或等于120°时,最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题:已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos2B+cos2C-cos2A=1.(1)求A;(2)若bc=2,设点P为△ABC的费马点,求PA·解(1)由cos2B+cos2C-cos2A=1,得1-2sin2B+1-2sin2C-1+2sin2A=1,故sin2A=sin2B+sin2C.由正弦定理可得a2=b2