安徽省顶级名校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题含答案

高二数学试题考试时间：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则（）A.B.C.D.2.如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（）A.B.C.D.3.在空间直角坐标系中，已知点，点，则（）A.点和点关于轴对称B.点和点关于轴对称C.点和点关于轴对称D.点和点关于原点中心对称4.已知直线的斜率的范围为，则直线的倾斜角的取值范围为（）A.或B.C.D.或5.已知点，则外接圆的方程为（）A.B.C.D.6.与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（）A.B.C.D.7.已知是椭圆的两个焦点，焦距为6.若为椭圆上一点，且的周长为16，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.8.已知是圆上的两个不同的点，若，则的取值范围为（）A.B.C.D.二､多选题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线和直线，下列说法正确的是（）A.直线始终过定点B.若，则或C.若，则或D.当时，不过第四象限10.点在圆上，点在圆上，则（）A.两个圆的公切线有2条B.的取值范围为C.两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在该圆上D.两个圆的公共弦所在直线的方程为11.如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，是线段上的一个动点，则下列说法正确的是（）A.直线与平面所成角的余弦值的取值范围为B.点到平面的距离为C.点到所在直线的距离为2D.若线段的中点为，则一定平行于平面12.双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布•伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系中，把到定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知曲线为一条双纽线，曲线上的点到定点的距离之积为4，点是曲线上一点，则下列说法中正确的是（）A.点在曲线上B.面积的最大值为1C.点在椭圆上，若，则点也在曲线上D.的最大值为三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线的一般式方程为__________.14.已知圆与圆相交，则的取值范围为__________.15.加斯帕尔•蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点，过可作的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是__________.16.阅读材料：数轴上，方程可以表示数轴上的点；平面直角坐标系中，方程不同时为0可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系中，方程不同时为0可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________.四､解答题：本题共6小题，共66分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分8分）已知的顶点边上的中线所在直线方程边上的高所在直线方程为.（1）求顶点的坐标；（2）求直线的斜率.18.（本小题满分10分）已知圆的方程为.（1）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程；（2）过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，是边长为2的正三角形，，平面平面.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）已知直线与椭圆交于两点，线段的中点坐标为.（1）求直线的方程；（2）求的面积.21.（本小题满分12分）如图，已知多面体的底面为矩形，四边形为平行四边形，平面平面是的中点.（1）证明：平面；（2）在棱（不包括端点）上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知椭圆分别为椭圆的左顶点和上顶点，为右焦点.过的直线与椭圆交于的最小值为，且椭圆上的点到的最小距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的右顶点为是椭圆上的动点（不与顶点重合）.若直线与直线交于点，直线与轴交于点.记直线的斜率为，直线的斜率为，求的最小值.高二期中考试数学答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.12345678BABDABCA8.解析：由题设知，圆的圆心坐标，半径为2，因为，所以.设为的中点，所以.所以点的轨迹方程为.其轨迹是以为圆心，半径为的圆.设点到直线的距离分别为，所以，所以.因为点到直线的距离为，所以，即，所以.所以的取值范围为.故选：A.二､多选题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9101112ACBCBCDACD12.解析：对选项A，动点，由题可得的轨迹方程.把点代入上式，上式显然成立.所以点在曲线上，故A正确；对选项B，.当时，即当时，即当或时，，此时，的面积取得最大值，即，故B错误；对选项C，椭圆上的焦点坐标恰好为与，则，又，所以，故，所以点也在曲线上，C正确；对选项D，因为，所以由余弦定理得，于是有因此.所以，当且仅当，等号成立，所以的最大值为，故D正确.故选：ACD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.或14.15.16.15.解析：由题可知，点在椭圆的蒙日圆上，又因为点在直线上，所以，问题转化为直线和蒙日圆有公共点.由椭圆方程可知蒙日圆半径为，所以蒙日圆方程为，因此，需满足圆心到直线的距离不大于半径，即，所以，所以椭圆离心率，所以.故答案为：.16.解析：平面的方程为，所以平面的法向量可取，平面的法向量为，平面的法向量为，设两平面的交线的方向向量为，由，所以可取.设直线与平面所成角的大小为，则.故答案为：.四､解答题：本题共6小题，共66分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.【答案】（1）；（2）.解析：（1）高所在直线方程为，其斜率为，故直线的斜率为，则直线的方程为：，即，联立方程与中线所在直线方程，可得，故点的坐标为.（2）设点的坐标为，由点在直线上可得；的中点的坐标为，点的坐标满足直线方程，即；故可得，即点坐标为.则直线的斜率为.18.【答案】（1），或；（2）6.解析：（1）圆的标准方程为.①当斜率不存在时，直线的方程为：，直线截圆所得弦长为，符合题意；②当斜率存在时，设直线，圆心到直线的距离为根据垂径定理可得，，解得.直线的方程为，或（2）圆心.因为与圆相切，所以.当最小.所以.所以19.【答案】（1）证明见解析（2）解析：（1）如图，取的中点，连接，因为是边长为2的正三角形，所以，在菱形中，，则为等边三角形，所以，又平面，所以平面，又平面，所以；（2）由（1）得，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，如图，以点为原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系.因，则.设平面的法向量为，则有，令，则，所以，因为，记直线与平面所成角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为.20.【答案】（1）；（2）.解析：（1）设，由是椭圆上两点得，，两式相减得，即，因为线段的中点坐标为，所以，所以，即，所以直线的方程为，即.（2）由得，，则，所以，点到直线的距离，所以.21.【答案】（1）证明见解析（2）不存在解析：（1）如图，取中点，取中点，因为为等边三角形，所以，平面平面，又平面，平面平面，所以平面，又底面为矩形，则.以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，由题意可得，，，已知是的中点.则，可知，，由四边形为平行四边形，得，设平面的法向量，则，取，得，则平面的一个法向量故，则.且平面，则平面.（2）设.设.因为，所以.于是有.