河南省济源市2023-2024学年高二上学期期末质量调研数学试题含答案

数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（）A. B. C. D.2.过点且方向向量为的直线方程为（）A. B. C. D.3.等差数列，0，，…的第20项为（）A. B. C. D.4.若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A.，， B.，， C.，， D.，，5.抛物线的焦点到双曲线（，）的渐近线的距离是，则该双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.6.我国享誉世界的数学大师华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径.若，则的取值范围为（）A. B. C. D.7.已知数列满足，，，则数列的第2024项为（）A. B. C. D.8.已知为坐标原点，是椭圆：上位于轴上方的点，为右焦点.延长，交椭圆于，两点，，，则的值为（）A. B. C.3 D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知直线：，其中，则下列说法正确的有（）A.直线过定点 B.若直线与直线平行，则C.当时，直线的倾斜角为 D.当时，直线在两坐标轴上的截距相等10.已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（）A.当或时，曲线是双曲线 B.若曲线是焦点在轴上的椭圆，则C.当时，曲线是椭圆 D.若曲线是焦点在轴上的双曲线，则11.设是公差为的等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.12.如图，正三棱柱中，，点为中点，点为四边形内（包含边界）的动点，则以下结论正确的是（）A.B.异面直线与所成角的余弦值为C.若平面，则动点的轨迹的长度等于D.若点到平面的距离等于，则动点的轨迹为抛物线的一部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若圆：与圆：只有唯一的公共点，则__________.14.在平面直角坐标系中，若的坐标，满足方程，则点的轨迹是__________（填曲线的类型，填方程不给分）.15.已知数列均为正项，且是等差数列，，则__________.16.如图，在四棱台中，，，设，则的最小值为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知圆关于直线对称，且圆与直线相切于点.（1）求圆的标准方程；（2）若过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程.18.（12分）已知数列满足：，，设.（1）求证：是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）求数列的前项和.19.（12分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记.（1）证明：平面.（2）当为何值时，的长最小并求出最小值；（3）当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值；20.（12分）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，.（1）求抛物线的方程；（2）不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，，若，求的值.21.（12分）如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线，交于点，，，，底面，，分别为侧棱，的中点，点在上且.（1）求证：，，，四点共面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求点到平面的距离.22.（12分）已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，，，的面积为.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线交椭圆于，两点，若直线斜率为，直线斜率为，且.证明的面积为定值，并求此定值.

数学答案一、单选题：1-5BDCDA 6-8DCB二、多选题：9.AC 10.ABD 11.AB 12.BCD三、填空题：13.或25 14.直线 15.100 16.四、解答题：17.解：（1）过点与直线垂直的直线的斜率为，所以直线的方程为，即.由，解得圆心.所以半径.故圆的标准方程为：；（2）①若斜率存在，设过点的直线斜率为，则直线方程为：，即，所以圆心到直线的距离，又因为，所以，解得.此时直线的方程为.②若斜率不存在，直线方程为，弦心距为2，半径，弦长为，符合题意.综上，直线的方程为或.18.（1）证明：由，，可得.因为，即，.所以数列是首项为1，公比为2的等比数列.（2）由（1）可得：，即，所以.（3）由（2）可知：，则，可得，两式相减可得：.所以.19.解：如图，以为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则，，，，因为，所以，.（1），平面的法向量为.因为，所以.又平面，所以平面.（2），其中.，当时，最小，最小值为.（3）由（2）可知，当，为中点时，最短，此时，取得中点，连接，，则，因为，，所以，，所以或其补角为所求的角.因为，，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为.20.解：（1）由抛物线过点，且，得，.所以抛物线方程为.（2）由不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，，设，.联立得.所以，所以，所以.因为，所以，则.，即，解得或.又当时，直线与抛物线的交点中有一点与原点重合，不符合题意，故舍去.所以.21.解：（1）因为平面是菱形，所以，又因为底面，所以，，所以，，两两垂直.以为坐标原点，以，，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立如图空间直角坐标系：因为，，，则，，，，，因为，分别为侧棱，的中点，所以，.因为，所以.所以，，.所以.由向量共面的充要条件可知，，，共面.又，，过同一点，从而，，，四点共面.（2）由点坐标可得，，，又因为，所以，.设平面的法向量，则，取，可得，，所以，设直线与平面所成角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）由空间直角坐标系，可得，可得，所以与平面所成角的正弦值为，则到平面的距离.22.解：（1）由题意可得，可得，.所以椭圆的方程