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文档简介
2025届河北省保定市曲阳县第一中学高三下学期联考数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知为圆:上任意一点,,若线段的垂直平分线交直线于点,则点的轨迹方程为()A. B.C.() D.()2.已知双曲线,点是直线上任意一点,若圆与双曲线的右支没有公共点,则双曲线的离心率取值范围是().A. B. C. D.3.已知,,是平面内三个单位向量,若,则的最小值()A. B. C. D.54.在等差数列中,若,则()A.8 B.12 C.14 D.105.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点,且∠POQ=120°(其中O为坐标原点),则k的值为()A. B. C.或- D.和-6.若干年前,某教师刚退休的月退休金为6000元,月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼,目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元,则目前该教师的月退休金为().A.6500元 B.7000元 C.7500元 D.8000元7.过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB,CD,设P为抛物线上的一动点,,若,则的最小值是()A.1 B.2 C.3 D.48.如图,网格纸是由边长为1的小正方形构成,若粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A. B. C. D.9.己知集合,,则()A. B. C. D.10.已知是圆心为坐标原点,半径为1的圆上的任意一点,将射线绕点逆时针旋转到交圆于点,则的最大值为()A.3 B.2 C. D.11.已知函数的值域为,函数,则的图象的对称中心为()A. B.C. D.12.已知平面和直线a,b,则下列命题正确的是()A.若∥,b∥,则∥ B.若,,则∥C.若∥,,则 D.若,b∥,则二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设α、β为互不重合的平面,m,n是互不重合的直线,给出下列四个命题:①若m∥n,则m∥α;②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;③若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n;④若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,m⊥n,则n⊥β;其中正确命题的序号为_____.14.在中,点在边上,且,设,,则________(用,表示)15.平面直角坐标系中,O为坐标原点,己知A(3,1),B(-1,3),若点C满足,其中α,β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为16.已知i为虚数单位,复数,则=_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知不等式的解集为.(1)求实数的值;(2)已知存在实数使得恒成立,求实数的最大值.18.(12分)已知点为圆:上的动点,为坐标原点,过作直线的垂线(当、重合时,直线约定为轴),垂足为,以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求点的轨迹的极坐标方程;(2)直线的极坐标方程为,连接并延长交于,求的最大值.19.(12分)已知中,角所对边的长分别为,且(1)求角的大小;(2)求的值.20.(12分)设数列,的各项都是正数,为数列的前n项和,且对任意,都有,,,(e是自然对数的底数).(1)求数列,的通项公式;(2)求数列的前n项和.21.(12分)如图,四棱锥中,侧面为等腰直角三角形,平面.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成的角的正弦值.22.(10分)已知矩阵,且二阶矩阵M满足AMB,求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
如图所示:连接,根据垂直平分线知,,故轨迹为双曲线,计算得到答案.【详解】如图所示:连接,根据垂直平分线知,故,故轨迹为双曲线,,,,故,故轨迹方程为.故选:.【点睛】本题考查了轨迹方程,确定轨迹方程为双曲线是解题的关键.2、B【解析】
先求出双曲线的渐近线方程,可得则直线与直线的距离,根据圆与双曲线的右支没有公共点,可得,解得即可.【详解】由题意,双曲线的一条渐近线方程为,即,∵是直线上任意一点,则直线与直线的距离,∵圆与双曲线的右支没有公共点,则,∴,即,又故的取值范围为,故选:B.【点睛】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系,以及两平行线间的距离公式,其中解答中根据圆与双曲线的右支没有公共点得出是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.3、A【解析】
由于,且为单位向量,所以可令,,再设出单位向量的坐标,再将坐标代入中,利用两点间的距离的几何意义可求出结果.【详解】解:设,,,则,从而,等号可取到.故选:A【点睛】此题考查的是平面向量的坐标、模的运算,利用整体代换,再结合距离公式求解,属于难题.4、C【解析】
将,分别用和的形式表示,然后求解出和的值即可表示.【详解】设等差数列的首项为,公差为,则由,,得解得,,所以.故选C.【点睛】本题考查等差数列的基本量的求解,难度较易.已知等差数列的任意两项的值,可通过构建和的方程组求通项公式.5、C【解析】
直线过定点,直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点,且∠POQ=120°(其中O为原点),可以发现∠QOx的大小,求得结果.【详解】如图,直线过定点(0,1),∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°,⇒∠1=120°,∠2=60°,∴由对称性可知k=±.故选C.【点睛】本题考查过定点的直线系问题,以及直线和圆的位置关系,是基础题.6、D【解析】
设目前该教师的退休金为x元,利用条形图和折线图列出方程,求出结果即可.【详解】设目前该教师的退休金为x元,则由题意得:6000×15%﹣x×10%=1.解得x=2.故选D.【点睛】本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题,属于基础题.7、C【解析】
设直线AB的方程为,代入得:,由根与系数的关系得,,从而得到,同理可得,再利用求得的值,当Q,P,M三点共线时,即可得答案.【详解】根据题意,可知抛物线的焦点为,则直线AB的斜率存在且不为0,设直线AB的方程为,代入得:.由根与系数的关系得,,所以.又直线CD的方程为,同理,所以,所以.故.过点P作PM垂直于准线,M为垂足,则由抛物线的定义可得.所以,当Q,P,M三点共线时,等号成立.故选:C.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意取最值的条件.8、C【解析】
根据三视图还原为几何体,结合组合体的结构特征求解表面积.【详解】由三视图可知,该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体,其中半圆柱的底面半圆半径为1,高为4,长方体的底面四边形相邻边长分别为1,2,高为4,所以该几何体的表面积,故选C.【点睛】本题主要考查三视图的识别,利用三视图还原成几何体是求解关键,侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.9、C【解析】
先化简,再求.【详解】因为,又因为,所以,故选:C.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法、集合的运算,还考查了运算求解能力,属于基础题.10、C【解析】
设射线OA与x轴正向所成的角为,由三角函数的定义得,,,利用辅助角公式计算即可.【详解】设射线OA与x轴正向所成的角为,由已知,,,所以,当时,取得等号.故选:C.【点睛】本题考查正弦型函数的最值问题,涉及到三角函数的定义、辅助角公式等知识,是一道容易题.11、B【解析】
由值域为确定的值,得,利用对称中心列方程求解即可【详解】因为,又依题意知的值域为,所以得,,所以,令,得,则的图象的对称中心为.故选:B【点睛】本题考查三角函数的图像及性质,考查函数的对称中心,重点考查值域的求解,易错点是对称中心纵坐标错写为012、C【解析】
根据线面的位置关系,结合线面平行的判定定理、平行线的性质进行判断即可.【详解】A:当时,也可以满足∥,b∥,故本命题不正确;B:当时,也可以满足,,故本命题不正确;C:根据平行线的性质可知:当∥,,时,能得到,故本命题是正确的;D:当时,也可以满足,b∥,故本命题不正确.故选:C【点睛】本题考查了线面的位置关系,考查了平行线的性质,考查了推理论证能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、④【解析】
根据直线和平面,平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.【详解】对于①,当m∥n时,由直线与平面平行的定义和判定定理,不能得出m∥α,①错误;对于②,当m⊂α,n⊂α,且m∥β,n∥β时,由两平面平行的判定定理,不能得出α∥β,②错误;对于③,当α∥β,且m⊂α,n⊂β时,由两平面平行的性质定理,不能得出m∥n,③错误;对于④,当α⊥β,且α∩β=m,n⊂α,m⊥n时,由两平面垂直的性质定理,能够得出n⊥β,④正确;综上知,正确命题的序号是④.故答案为:④.【点睛】本题考查了直线和平面,平面和平面的位置关系,意在考查学生的空间想象能力和推断能力.14、【解析】
结合图形及向量的线性运算将转化为用向量表示,即可得到结果.【详解】在中,因为,所以,又因为,所以.故答案为:【点睛】本题主要考查三角形中向量的线性运算,关键是利用已知向量为基底,将未知向量通过几何条件向基底转化.15、【解析】
根据向量共线定理得A,B,C三点共线,再根据点斜式得结果【详解】因为,且α+β=1,所以A,B,C三点共线,因此点C的轨迹为直线AB:【点睛】本题考查向量共线定理以及直线点斜式方程,考查基本分析求解能力,属中档题.16、【解析】
先把复数进行化简,然后利用求模公式可得结果.【详解】.故答案为:.【点睛】本题主要考查复数模的求解,利用复数的运算把复数化为的形式是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)4【解析】
(1)分类讨论,求解x的范围,取并集,得到绝对值不等式的解集,即得解;(2)转化原不等式为:,利用均值不等式即得解.【详解】(1)当时不等式可化为当时,不等式可化为;当时,不等式可化为;综上不等式的解集为.(2)由(1)有,,,,即而当且仅当:,即,即时等号成立∴,综上实数最大值为4.【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解与不等式的恒成立问题,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.18、(1);(2)【解析】
(1)设的极坐标为,在中,有,即可得结果;(2)设射线:,,圆的极坐标方程为,联立两个方程,可求出,联立可得,则计算可得,利用三角函数的性质可得最值.【详解】(1)设的极坐标为,在中,有,点的轨迹的极坐标方程为;(2)设射线:,,圆的极坐标方程为,由得:,由得:,,,当,即时,,的最大值为.【点睛】本题考查极坐标方程的应用,考查三角函数性质的应用,是中档题.19、(1);(2).【解析】
(1)正弦定理的边角转换,以及两角和的正弦公式展开,特殊角的余弦值即可求出答案;(2)构造齐次式,利用正弦定理的边角转换,得到,结合余弦定理得到【详解】解:(1)由已知,得又∵∴∴,因为得∵∴.(2)∵又由余弦定理,得∴【点睛】1.考查学生对正余弦定理的综合应用;2.能处理基本的边角转换问题;3.能利用特殊的三角函数值推特殊角,属于中档题20、(1),(2)【解析】
(1)当时,,与作差可得,即可得到数列是首项为1,公差为1的等差数列,即可求解;对取自然对数,则,即是以1为首项,以2为公比的等比数列,即可求解;(2)由(1)可得,再利用错位相减法求解即可.【详解】解:(1)因为,,①当时,,解得;当时,有,②由①②得,,又,所以,即数列是首项为1,公差为1的等差数列,故,又因为,且,取自然对数得,所以,又因为,所以是以1为首项,以2为公比的等比数列,所以,即(2)由(1)知,,所以,③,④③减去④得:,所以【点睛】本题考查由与的关系求通项公式,考查错位相减法求数列的和.21、(1)见解析(2)【解析】
(1)根据平面,利用线面垂直的定义可得,再由,根据线面垂直的判定定理即可证出.(2)取的中点,连接,以为坐标原点,分别为正半轴建立空间直角坐标系求出平面的一个法向量,利用空间向量法即可求解.【详解】因为平面平面,所以由为等腰直角三角形,所以又,故平面.取的中点,连接,因为,所以因为平面,所以平面所以平面如图,以为坐标原点,分别为正半轴建立空间直角坐标系
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