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文档简介
2025届贵州省铜仁伟才学校高三考前热身数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知条件,条件直线与直线平行,则是的()A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件2.某校为提高新入聘教师的教学水平,实行“老带新”的师徒结对指导形式,要求每位老教师都有徒弟,每位新教师都有一位老教师指导,现选出3位老教师负责指导5位新入聘教师,则不同的师徒结对方式共有()种.A.360 B.240 C.150 D.1203.中,点在边上,平分,若,,,,则()A. B. C. D.4.已知向量,,=(1,),且在方向上的投影为,则等于()A.2 B.1 C. D.05.已知双曲线()的渐近线方程为,则()A. B. C. D.6.如图是一个算法流程图,则输出的结果是()A. B. C. D.7.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入的值为2,则输出的值为A. B. C. D.8.为了贯彻落实党中央精准扶贫决策,某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图,其中各项统计不重复.若该市老年低收入家庭共有900户,则下列说法错误的是()A.该市总有15000户低收入家庭B.在该市从业人员中,低收入家庭共有1800户C.在该市无业人员中,低收入家庭有4350户D.在该市大于18岁在读学生中,低收入家庭有800户9.某四棱锥的三视图如图所示,记S为此棱锥所有棱的长度的集合,则()A.B.C.D.10.已知双曲线的一条渐近线方程为,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.11.已知函数,,若对任意的,存在实数满足,使得,则的最大值是()A.3 B.2 C.4 D.512.函数的大致图象是A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知实数满约束条件,则的最大值为___________.14.如图,为测量出高,选择和另一座山的山顶为测量观测点,从点测得点的仰角,点的仰角以及;从点测得.已知山高,则山高__________.15.我国古代数学著作《九章算术》中记载“今有人共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几何?”设人数、物价分别为、,满足,则_____,_____.16.在平面直角坐标系中,点在曲线:上,且在第四象限内.已知曲线在点处的切线为,则实数的值为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在三棱柱中,、、分别是、、的中点.(1)证明:平面;(2)若底面是正三角形,,在底面的投影为,求到平面的距离.18.(12分)已知椭圆()的半焦距为,原点到经过两点,的直线的距离为.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)如图,是圆的一条直径,若椭圆经过,两点,求椭圆的方程.19.(12分)已知函数,且.(1)求的解析式;(2)已知,若对任意的,总存在,使得成立,求的取值范围.20.(12分)设为等差数列的前项和,且,.(1)求数列的通项公式;(2)若满足不等式的正整数恰有个,求正实数的取值范围.21.(12分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(是参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(1)求直线与曲线的普通方程,并求出直线的倾斜角;(2)记直线与轴的交点为是曲线上的动点,求点的最大距离.22.(10分)已知,其中.(1)当时,设函数,求函数的极值.(2)若函数在区间上递增,求的取值范围;(3)证明:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
先根据直线与直线平行确定的值,进而即可确定结果.【详解】因为直线与直线平行,所以,解得或;即或;所以由能推出;不能推出;即是的充分不必要条件.故选C【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定,熟记概念即可,属于基础题型.2、C【解析】
可分成两类,一类是3个新教师与一个老教师结对,其他一新一老结对,第二类两个老教师各带两个新教师,一个老教师带一个新教师,分别计算后相加即可.【详解】分成两类,一类是3个新教师与同一个老教师结对,有种结对结对方式,第二类两个老教师各带两个新教师,有.∴共有结对方式60+90=150种.故选:C.【点睛】本题考查排列组合的综合应用.解题关键确定怎样完成新老教师结对这个事情,是先分类还是先分步,确定方法后再计数.本题中有一个平均分组问题.计数时容易出错.两组中每组中人数都是2,因此方法数为.3、B【解析】
由平分,根据三角形内角平分线定理可得,再根据平面向量的加减法运算即得答案.【详解】平分,根据三角形内角平分线定理可得,又,,,,..故选:.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算,属于基础题.4、B【解析】
先求出,再利用投影公式求解即可.【详解】解:由已知得,由在方向上的投影为,得,则.故答案为:B.【点睛】本题考查向量的几何意义,考查投影公式的应用,是基础题.5、A【解析】
根据双曲线方程(),确定焦点位置,再根据渐近线方程得到求解.【详解】因为双曲线(),所以,又因为渐近线方程为,所以,所以.故选:A.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质,还考查了运算求解的能力,属于基础题.6、A【解析】
执行程序框图,逐次计算,根据判断条件终止循环,即可求解,得到答案.【详解】由题意,执行上述的程序框图:第1次循环:满足判断条件,;第2次循环:满足判断条件,;第3次循环:满足判断条件,;不满足判断条件,输出计算结果,故选A.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的结果的计算与输出,其中解答中执行程序框图,逐次计算,根据判断条件终止循环是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.7、C【解析】
由题意,模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的,的值,当时,不满足条件,跳出循环,输出的值.【详解】解:初始值,,程序运行过程如下表所示:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,跳出循环,输出的值为其中①②①—②得.故选:.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到,的值是解题的关键,属于基础题.8、D【解析】
根据给出的统计图表,对选项进行逐一判断,即可得到正确答案.【详解】解:由题意知,该市老年低收入家庭共有900户,所占比例为6%,则该市总有低收入家庭900÷6%=15000(户),A正确,该市从业人员中,低收入家庭共有15000×12%=1800(户),B正确,该市无业人员中,低收入家庭有15000×29%%=4350(户),C正确,该市大于18岁在读学生中,低收入家庭有15000×4%=600(户),D错误.故选:D.【点睛】本题主要考查对统计图表的认识和分析,这类题要认真分析图表的内容,读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基础题.9、D【解析】
如图所示:在边长为的正方体中,四棱锥满足条件,故,得到答案.【详解】如图所示:在边长为的正方体中,四棱锥满足条件.故,,.故,故,.故选:.【点睛】本题考查了三视图,元素和集合的关系,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.10、B【解析】
由题意得出的值,进而利用离心率公式可求得该双曲线的离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为,由题意可得,因此,该双曲线的离心率为.故选:B.【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率,利用公式计算较为方便,考查计算能力,属于基础题.11、A【解析】
根据条件将问题转化为,对于恒成立,然后构造函数,然后求出的范围,进一步得到的最大值.【详解】,,对任意的,存在实数满足,使得,易得,即恒成立,,对于恒成立,设,则,令,在恒成立,,故存在,使得,即,当时,,单调递减;当时,,单调递增.,将代入得:,,且,故选:A【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性,零点存在定理和不等式恒成立问题,考查了转化思想,属于难题.12、A【解析】
利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.【详解】由题意可知函数为奇函数,可排除B选项;当时,,可排除D选项;当时,,当时,,即,可排除C选项,故选:A【点睛】本题考查了函数图象的判断,函数对称性的应用,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、8【解析】
画出可行域和目标函数,根据平移计算得到答案.【详解】根据约束条件,画出可行域,图中阴影部分为可行域.又目标函数表示直线在轴上的截距,由图可知当经过点时截距最大,故的最大值为8.故答案为:.【点睛】本题考查了线性规划问题,画出图像是解题的关键.14、1【解析】试题分析:在中,,,在中,由正弦定理可得即解得,在中,.故答案为1.考点:正弦定理的应用.15、【解析】
利用已知条件,通过求解方程组即可得到结果.【详解】设人数、物价分别为、,满足,解得,.故答案为:;.【点睛】本题考查函数与方程的应用,方程组的求解,考查计算能力,属于基础题.16、【解析】
先设切点,然后对求导,根据切线方程的斜率求出切点的横坐标,代入原函数求出切点的纵坐标,即可得出切得,最后将切点代入切线方程即可求出实数的值.【详解】解:依题意设切点,因为,则,又因为曲线在点处的切线为,,解得,又因为点在第四象限内,则,.则又因为点在切线上.所以.所以.故答案为:【点睛】本题考查了导数的几何意义,以及导数的运算法则和已知切线斜率求出切点坐标,本题属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)连接,连接、交于点,并连接,则点为的中点,利用中位线的性质得出,,利用空间平行线的传递性可得出,然后利用线面平行的判定定理可证得结论;(2)推导出平面,并计算出,由此可得出到平面的距离为,即可得解.【详解】(1)连接,连接、交于点,并连接,则点为的中点,、分别为、的中点,则,同理可得,.平面,平面,因此,平面;(2)由于在底面的投影为,平面,平面,,为正三角形,且为的中点,,,平面,且,因此,到平面的距离为.【点睛】本题考查线面平行的证明,同时也考查了点到平面距离的计算,考查推理能力与计算能力,属于中等题.18、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】试题分析:(1)依题意,由点到直线的距离公式可得,又有,联立可求离心率;(2)由(1)设椭圆方程,再设直线方程,与椭圆方程联立,求得,令,可得,即得椭圆方程.试题解析:(Ⅰ)过点的直线方程为,则原点到直线的距离,由,得,解得离心率.(Ⅱ)由(1)知,椭圆的方程为.依题意,圆心是线段的中点,且.易知,不与轴垂直.设其直线方程为,代入(1)得.设,则,.由,得,解得.从而.于是.由,得,解得.故椭圆的方程为.19、(1);(2)【解析】
(1)由,可求出的值,进而可求得的解析式;(2)分别求得和的值域,再结合两个函数的值域间的关系可求出的取值范围.【详解】(1)因为,所以,解得,故.(2)因为,所以,所以,则,图象的对称轴是.因为,所以,则,解得,故的取值范围是.【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换,考查了二次函数及三角函数值域的求法,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.20、(1);(2).【解析】
(1)设等差数列的公差为,根据题意得出关于和的方程组,解出这两个量的值,然后利用等差数列的通项公式可得出数列的通项公式;(2)求出,可得出,可知当为奇数时不等式不成立,只考虑为偶数的情况,利用数列单调性的定义判断数列中偶数项构成的数列的单调性,由此能求出正实数的取值范围.【详解】(1)设等差数列的公差为,则,整理得,解得,,因此,;(2),满足不等式的正整数恰有个,得,由于,若为奇数,则不等式不可能成立.只考虑为偶数的情况,令,则,..当时,,则;当时,,则;当时,,则.所以,,又,,,,.因此,实数的取值范围是.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法,考查正实数的取值范围的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.21、(1),,直线的倾斜角为(2)【解析】
(1)由公式消去参数得普通方程,由公式可得直角坐标方程后可得倾斜角;(2)求出直线与轴交点,用参数表示点坐标,求出,利用三角函数的性质可得最大值.【详解】(1)由,消去得的普通方程是:由,得,将代入上式,化简得直线的倾斜角为(2)在曲线上任取一点,直线与轴的交点的坐标为则当且仅当时,取最大值.【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化,考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,属于基础题.求两点间距离的最值时,用参数方程设点的坐标可把问题转化为三角函数问题.22、(1)极大值,无极小值;(2).(3)见解析【解析】
(1)先求导,根据导数和函数极值的关系即可求出;(2)先求导,再函数在
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