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文档简介
2025届上海市静安区风华中学高考数学倒计时模拟卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线的一个焦点为,且与双曲线的渐近线相同,则双曲线的标准方程为()A. B. C. D.2.关于函数,有下列三个结论:①是的一个周期;②在上单调递增;③的值域为.则上述结论中,正确的个数为()A. B. C. D.3.已知直线与圆有公共点,则的最大值为()A.4 B. C. D.4.已知向量,(其中为实数),则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知函数()的最小值为0,则()A. B. C. D.6.已知底面为边长为的正方形,侧棱长为的直四棱柱中,是上底面上的动点.给出以下四个结论中,正确的个数是()①与点距离为的点形成一条曲线,则该曲线的长度是;②若面,则与面所成角的正切值取值范围是;③若,则在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为.A. B. C. D.7.若,满足约束条件,则的取值范围为()A. B. C. D.8.复数满足(为虚数单位),则的值是()A. B. C. D.9.斜率为1的直线l与椭圆相交于A、B两点,则的最大值为A.2 B. C. D.10.()A. B. C.1 D.11.已知直线:()与抛物线:交于(坐标原点),两点,直线:与抛物线交于,两点.若,则实数的值为()A. B. C. D.12.是的()条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知公差大于零的等差数列中,、、依次成等比数列,则的值是__________.14.如图,已知圆内接四边形ABCD,其中,,,,则__________.15.某次足球比赛中,,,,四支球队进入了半决赛.半决赛中,对阵,对阵,获胜的两队进入决赛争夺冠军,失利的两队争夺季军.已知他们之间相互获胜的概率如下表所示.获胜概率—0.40.30.8获胜概率0.6—0.70.5获胜概率0.70.3—0.3获胜概率0.20.50.7—则队获得冠军的概率为______.16.如图,在一个倒置的高为2的圆锥形容器中,装有深度为的水,再放入一个半径为1的不锈钢制的实心半球后,半球的大圆面、水面均与容器口相平,则的值为____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,且,求的值.18.(12分)在中,角的对边分别为,若.(1)求角的大小;(2)若,为外一点,,求四边形面积的最大值.19.(12分)△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为(1)求;(2)若求△ABC的周长.20.(12分)在△ABC中,分别为三个内角A、B、C的对边,且(1)求角A;(2)若且求△ABC的面积.21.(12分)已知椭圆:(),与轴负半轴交于,离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设直线:与椭圆交于,两点,连接,并延长交直线于,两点,已知,求证:直线恒过定点,并求出定点坐标.22.(10分)己知等差数列的公差,,且,,成等比数列.(1)求使不等式成立的最大自然数n;(2)记数列的前n项和为,求证:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的标准方程,结合焦点坐标求解.【详解】∵双曲线与的渐近线相同,且焦点在轴上,∴可设双曲线的方程为,一个焦点为,∴,∴,故的标准方程为.故选:B【点睛】此题考查根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的标准方程,易错点在于漏掉考虑焦点所在坐标轴导致方程形式出错.2、B【解析】
利用三角函数的性质,逐个判断即可求出.【详解】①因为,所以是的一个周期,①正确;②因为,,所以在上不单调递增,②错误;③因为,所以是偶函数,又是的一个周期,所以可以只考虑时,的值域.当时,,在上单调递增,所以,的值域为,③错误;综上,正确的个数只有一个,故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的性质应用.3、C【解析】
根据表示圆和直线与圆有公共点,得到,再利用二次函数的性质求解.【详解】因为表示圆,所以,解得,因为直线与圆有公共点,所以圆心到直线的距离,即,解得,此时,因为,在递增,所以的最大值.故选:C【点睛】本题主要考查圆的方程,直线与圆的位置关系以及二次函数的性质,还考查了运算求解的能力,属于中档题.4、A【解析】
结合向量垂直的坐标表示,将两个条件相互推导,根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.【详解】由,则,所以;而当,则,解得或.所以“”是“”的充分不必要条件.故选:A【点睛】本小题考查平面向量的运算,向量垂直,充要条件等基础知识;考查运算求解能力,推理论证能力,应用意识.5、C【解析】
设,计算可得,再结合图像即可求出答案.【详解】设,则,则,由于函数的最小值为0,作出函数的大致图像,结合图像,,得,所以.故选:C【点睛】本题主要考查了分段函数的图像与性质,考查转化思想,考查数形结合思想,属于中档题.6、C【解析】
①与点距离为的点形成以为圆心,半径为的圆弧,利用弧长公式,可得结论;②当在(或时,与面所成角(或的正切值为最小,当在时,与面所成角的正切值为最大,可得正切值取值范围是;③设,,,则,即,可得在前后、左右、上下面上的正投影长,即可求出六个面上的正投影长度之和.【详解】如图:①错误,因为,与点距离为的点形成以为圆心,半径为的圆弧,长度为;②正确,因为面面,所以点必须在面对角线上运动,当在(或)时,与面所成角(或)的正切值为最小(为下底面面对角线的交点),当在时,与面所成角的正切值为最大,所以正切值取值范围是;③正确,设,则,即,在前后、左右、上下面上的正投影长分别为,,,所以六个面上的正投影长度之,当且仅当在时取等号.故选:.【点睛】本题以命题的真假判断为载体,考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点,综合性强,属于难题.7、B【解析】
根据约束条件作出可行域,找到使直线的截距取最值得点,相应坐标代入即可求得取值范围.【详解】画出可行域,如图所示:由图可知,当直线经过点时,取得最小值-5;经过点时,取得最大值5,故.故选:B【点睛】本题考查根据线性规划求范围,属于基础题.8、C【解析】
直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可.【详解】由得:本题正确选项:【点睛】本题考查复数的除法的运算法则的应用,考查计算能力.9、C【解析】
设出直线的方程,代入椭圆方程中消去y,根据判别式大于0求得t的范围,进而利用弦长公式求得|AB|的表达式,利用t的范围求得|AB|的最大值.【详解】解:设直线l的方程为y=x+t,代入y2=1,消去y得x2+2tx+t2﹣1=0,由题意得△=(2t)2﹣1(t2﹣1)>0,即t2<1.弦长|AB|=4.故选:C.【点睛】本题主要考查了椭圆的应用,直线与椭圆的关系.常需要把直线与椭圆方程联立,利用韦达定理,判别式找到解决问题的突破口.10、A【解析】
利用复数的乘方和除法法则将复数化为一般形式,结合复数的模长公式可求得结果.【详解】,,因此,.故选:A.【点睛】本题考查复数模长的计算,同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用,考查计算能力,属于基础题.11、D【解析】
设,,联立直线与抛物线方程,消去、列出韦达定理,再由直线与抛物线的交点求出点坐标,最后根据,得到方程,即可求出参数的值;【详解】解:设,,由,得,∵,解得或,∴,.又由,得,∴或,∴,∵,∴,又∵,∴代入解得.故选:D【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用,弦长公式的应用,属于中档题.12、B【解析】
利用充分条件、必要条件与集合包含关系之间的等价关系,即可得出。【详解】设对应的集合是,由解得且对应的集合是,所以,故是的必要不充分条件,故选B。【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判断方法——集合关系法。设,如果,则是的充分条件;如果B则是的充分不必要条件;如果,则是的必要条件;如果,则是的必要不充分条件。二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
利用等差数列的通项公式以及等比中项的性质,化简求出公差与的关系,然后转化求解的值.【详解】设等差数列的公差为,则,由于、、依次成等比数列,则,即,,解得,因此,.故答案为:.【点睛】本题考查等差数列通项公式以及等比中项的应用,考查计算能力,属于基础题.14、【解析】
由题意可知,,在和中,利用余弦定理建立方程求,同理求,求,代入求值.【详解】由圆内接四边形的性质可得,.连接BD,在中,有.在中,.所以,则,所以.连接AC,同理可得,所以.所以.故答案为:【点睛】本题考查余弦定理解三角形,同角三角函数基本关系,意在考查方程思想,计算能力,属于中档题型,本题的关键是熟悉圆内接四边形的性质,对角互补.15、0.18【解析】
根据表中信息,可得胜C的概率;分类讨论B或D进入决赛,再计算A胜B或A胜C的概率即可求解.【详解】由表中信息可知,胜C的概率为;若B进入决赛,B胜D的概率为,则A胜B的概率为;若D进入决赛,D胜B的概率为,则A胜D的概率为;由相应的概率公式知,则A获得冠军的概率为.故答案为:0.18【点睛】本题考查了独立事件的概率应用,互斥事件的概率求法,属于基础题.16、【解析】
由已知可得到圆锥的底面半径,再由圆锥的体积等于半球的体积与水的体积之和即可建立方程.【详解】设圆锥的底面半径为,体积为,半球的体积为,水(小圆锥)的体积为,如图则,所以,,解得,所以,,,由,得,解得.故答案为:【点睛】本题考查圆锥的体积、球的体积的计算,考查学生空间想象能力与计算能力,是一道中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)直接代入再由诱导公式计算可得;(Ⅱ)先得到,再根据利用两角差的余弦公式计算可得.【详解】解:(Ⅰ);(Ⅱ)因为所以,由得,又因为,故,所以,所以.【点睛】本题考查了三角函数中的恒等变换应用,属于中档题.18、(1)(2)【解析】
(1)根据正弦定理化简等式可得,即;(2)根据题意,利用余弦定理可得,再表示出,表示出四边形,进而可得最值.【详解】(1),由正弦定理得:在中,,则,即,,即.(2)在中,又,则为等边三角形,又,-当时,四边形的面积取最大值,最大值为.【点睛】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面积公式的应用,属于基础题.19、(1)(2).【解析】试题分析:(1)由三角形面积公式建立等式,再利用正弦定理将边化成角,从而得出的值;(2)由和计算出,从而求出角,根据题设和余弦定理可以求出和的值,从而求出的周长为.试题解析:(1)由题设得,即.由正弦定理得.故.(2)由题设及(1)得,即.所以,故.由题设得,即.由余弦定理得,即,得.故的周长为.点睛:在处理解三角形问题时,要注意抓住题目所给的条件,当题设中给定三角形的面积,可以使用面积公式建立等式,再将所有边的关系转化为角的关系,有时需将角的关系转化为边的关系;解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角,求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角,再有另外一个条件,求面积或周长的值”,这类问题的通法思路是:全部转化为角的关系,建立函数关系式,如,从而求出范围,或利用余弦定理以及基本不等式求范围;求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.20、(1);(2).【解析】
(1)整理得:,再由余弦定理可得,问题得解.(2)由正弦定理得:,,,再代入即可得解.【详解】(1)由题意,得,∴;(2)由正弦定理,得,,∴.【点睛】本题主要考查了正、余弦定理及三角形面积公式,考查了转化思想及化简能力,属于基础题.21、(1)(2)证明见解析;定点坐标为【解析】
(1)由条件直接算出即可(2)由得,,,由可得,同理,然后由推出即可【详解】(1)由题有,.∴,∴.∴椭圆方程为.(2)由得,.又∴,同理又∴∴∴∴∴∴,此时满足
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