2019年高考数学文科一轮复习课时作业54几何概型

课时作业54几何概型一、选择题1．(2018·武汉调研)在长为16cm的线段MN上任取一点P，以MP、NP为邻边作一矩形，则该矩形的面积大于60cm2的概率为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(3,4)解析：本题考查几何概型．设MP＝x，则NP＝16－x，由x(16－x)＞60，解得6＜x＜10，所以所求概率P＝eq\f(10－6,16)＝eq\f(1,4)，故选A.答案：A2．(2018·贵阳一模)已知函数f(x)＝kx＋1，其中实数k的值随机选自区间[－2,1]，则对任意的x∈[0,1]，f(x)≥0的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)解析：当x＝0时，k∈[－2,1]；当x∈(0,1]时，k≥－eq\f(1,x)，而x∈(0,1]⇒－eq\f(1,x)∈(－∞，－1]，故k≥－1，从而k∈[－1,1]．因此所求概率为eq\f(1－－1,1－－2)＝eq\f(2,3).故选C.答案：C3．(2018·湖南省五市十校高三联考)在矩形ABCD中，AB＝2AD，在CD上任取一点P，△ABP的最大边是AB的概率是()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(2)－1D.eq\r(3)－1解析：分别以A，B为圆心，AB的长为半径画弧，交CD于P1，P2，则当P在线段P1P2间运动时，能使得△ABP的最大边是AB，易得eq\f(P1P2,CD)＝eq\r(3)－1，即△ABP的最大边是AB的概率是eq\r(3)－1.答案：D4．(2018·武汉市武昌区调研)在区间[0,1]上随机取一个数x，则事件“log0.5(4x－3)≥0”A.eq\f(3,4)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,4)解析：因为log0.5(4x－3)≥0，所以0<4x－3≤1，即eq\f(3,4)<x≤1，所以所求概率P＝eq\f(1－\f(3,4),1－0)＝eq\f(1,4).答案：D5．一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为()A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,16)C.eq\f(1,27)D.eq\f(27,64)解析：根据几何概型知识，概率为体积之比，即P＝eq\f(4－23,43)＝eq\f(1,8).答案：A6．(2018·洛阳市第一次统一考试)若θ∈[0，π]，则sin(θ＋eq\f(π,3))>eq\f(1,2)成立的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D．1解析：依题意，当θ∈[0，π]时，θ＋eq\f(π,3)∈[eq\f(π,3)，eq\f(4π,3)]，由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))>eq\f(1,2)得eq\f(π,3)≤θ＋eq\f(π,3)<eq\f(5π,6)，0≤θ<eq\f(π,2).因此，所求的概率等于eq\f(π,2)÷π＝eq\f(1,2)，选B.答案：B7．(2018·深圳调研)设实数a∈(0,1)，则函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a2A.eq\f(3,4)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,4)解析：本题考查几何概型．由函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a2＋1有零点，可得Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋1)＝4a－3≥0，解得a≥eq\f(3,4)，即有eq\f(3,4)≤a＜1，结合几何概型的概率计算公式可得所求的概率为P＝eq\f(1－\f(3,4),1－0)＝eq\f(1,4)，故选D.答案：D8．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点A.eq\f(π,12)B．1－eq\f(π,12)C.eq\f(π,6)D．1－eq\f(π,6)解析：点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外．记“点P到点O的距离大于1”为事件M，则P(M)＝eq\f(23－\f(1,2)×\f(4π,3)×13,23)＝1－eq\f(π,12).答案：B9．(2018·安徽淮南一模)《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是()A.eq\f(3π,20)B.eq\f(π,20)C.eq\f(3π,10)D.eq\f(π,10)解析：依题意，直角三角形的斜边长为17.设内切圆半径为r，则由等面积法，可得eq\f(1,2)×8×15＝eq\f(1,12)×(8＋15＋17r)，解得r＝3，∴向此三角形内投豆子，豆子落在其内切圆内的概率是P＝eq\f(π×32,\f(1,2)×8×15)＝eq\f(3π,20).答案：A10．(2018·太原模拟)如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(阴影部分)围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的概率为eq\f(1,5)，则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(1,5)D.eq\f(\r(3),3)解析：本题考查几何概型．设大正方形边长为a，直角三角形中较大锐角为θ，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，则小正方形的面积为a2－4×eq\f(1,2)×acosθ×asinθ＝a2－a2sin2θ，则由题意，得eq\f(a2－a2sin2θ,a2)＝eq\f(1,5)，解得sin2θ＝eq\f(4,5).因为θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以sinθ＋cosθ＝eq\r(1＋sin2θ)＝eq\f(3,\r(5))①，sinθ－cosθ＝eq\r(1－sin2θ)＝eq\f(1,\r(5))②.由①＋②解得sinθ＝eq\f(2\r(5),5)，故选B.答案：B二、填空题11．(2018·黄山一模)向面积为S的△ABC内任意投掷一点P，则△PBC的面积小于eq\f(S,2)的概率为________．解析：∵S△PBC<eq\f(1,2)S△ABC，∴h′<eq\f(h,2)，其中h′为△PBC中BC边上的高，h为△ABC中BC边上的高．设DE为△ABC的中位线(如图所示)，则梯形BCED(阴影部分)中的点满足要求，∴所求概率P＝eq\f(S梯形BCED,S△ABC)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)12．在体积为V的三棱锥S－ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S－APC的体积大于eq\f(V,3)的概率是________．解析：由题意可知eq\f(VS－APC,VS－ABC)＞eq\f(1,3)，三棱锥S－ABC的高与三棱锥S－APC的高相同．作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，则PM，BN分别为ΔAPC与△ABC的高，所以eq\f(VS－APC,VS－ABC)＝eq\f(S△APC,S△ABC)＝eq\f(PM,BN)＞eq\f(1,3)，又eq\f(PM,BN)＝eq\f(AP,AB)，所以eq\f(AP,AB)＞eq\f(1,3).故所求的概率为eq\f(2,3)(即为长度之比)．答案：eq\f(2,3)13．(2018·甘肃省张掖市第一次考试)在区间[0，π]上随机取一个数θ，则使eq\r(2)≤eq\r(2)sinθ＋eq\r(2)cosθ≤2成立的概率为________．解析：由eq\r(2)≤eq\r(2)sinθ＋eq\r(2)cosθ≤2，得eq\f(\r(2),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))≤1，结合θ∈[0，π]，得θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴使eq\r(2)≤eq\r(2)sinθ＋eq\r(2)cosθ≤2成立的概率为eq\f(\f(π,2),π)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)14.(2018·山东青岛一模)如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝eq\f(π,6).现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是________．解析：易知小正方形的边长为eq\r(3)－1，故小正方形的面积为S1＝(eq\r(3)－1)2＝4－2eq\r(3)，大正方形的面积为S＝2×2＝4，故飞镖落在小正方形内的概率P＝eq\f(S1,S)＝eq\f(4－2\r(3),4)＝eq\f(2－\r(3),2).答案：eq\f(2－\r(3),2)[能力挑战]15．(2018·江西赣州十四县联考)已知定义在区间[－3,3]上的单调函数f(x)满足：对任意的x∈[－3,3]，都有f(f(x)－2x)＝6，则在[－3,3]上随机取一个实数x，使得f(x)的值不小于4的概率为()A.eq\f(1,6)B.eq\f(5,6)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)解析：由题意设对任意的x∈[－3,3]，都有f(x)－2x＝a，其中a为常数，且a∈[－3,3]，则f(a)＝6，f(a)－2a＝a，∴6－2a＝a，得a＝2，故f(x)＝2x＋2，由f(x)≥4得x≥1，因此所求概率为eq\f(3－1,3＋3)＝eq\f(1,3).答案：C16．(2018·云南省第一次统一检测)在平面区域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－4≤0,x＞0,y＞0))内随机取一点(a，b)，则函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)解析：不等式组表示的平面区域为如图所示的△AOB的内部及边界AB(不包括边界OA，OB)，则S△AOB＝eq\f(1,2)×4×4＝8.函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上是增函数，则应满足a＞0且x＝eq\f(4b,2a)≤1，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0,a≥2b))，可得对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界OC，BC，不包括边界OB)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2b,a＋b－4＝0))，解得a＝eq\f(8,3)，b＝eq\f(4,3)，所以S△COB＝eq\f(1,2)×4×eq\f(4,3)＝eq\f(8,3)，根据几何