高考数学二轮总复习题型专项练5解答题组合练（B）

题型专项练5解答题组合练(B)1.已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn,满足6Sn=an·an+1+2(n∈N*),a1<2,(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=(1)nlg(an·an+1),记数列{bn}的前n项和为Tn,求T33.2.(2023·广东一模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2A+cos2Bcos2C=12sinAsinB.(1)求角C的大小;(2)求sinA+sinB+sinC的取值范围.3.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,AC=BB1=2BC=2,∠CBB1=2∠CAB=π3,且平面ABC⊥平面B1C1CB(1)求证:平面ABC⊥平面ACB1;(2)设点P为直线BC的中点,求直线A1P与平面ACB1所成角的正弦值.4.(2023·广东茂名一模)学校举办学生与智能机器人的围棋比赛,现有来自两个班的学生报名表,分别装入两袋,第一袋有5名男生和4名女生的报名表,第二袋有6名男生和5名女生的报名表,现随机选择一袋,然后从中随机抽取2名学生,让他们参加比赛.(1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率;(2)比赛记分规则如下:在一轮比赛中,两人同时赢积2分,一赢一输积0分,两人同时输积2分.现抽中甲、乙两名同学,每轮比赛甲赢的概率为35,乙赢的概率为25①在一轮比赛中,求这两名学生得分的分布列;②在两轮比赛中,求这两名学生得分的分布列和均值.5.(2023·山东青岛一模)已知O为坐标原点,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A为椭圆C(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l交椭圆C于P,Q两点,点W在过原点且与l平行的直线上,记直线WP,WQ的斜率分别为k1,k2,△WPQ的面积为S.从下面三个条件①②③中选择两个条件,证明另一个条件成立.①S=22;②k1k2=12;③W为原点6.已知函数f(x)=a(x2x)lnx(a∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)证明:当x>1时,2e

题型专项练5解答题组合练(B)1.解(1)设等差数列{an}的公差为d,则由6Sn=an·an+1+2,得6Sn1=an1·an+2(n≥2),相减得6(SnSn1)=an(an+1an1),即6an=an·2d(n≥2).又an>0,所以d=3.由6S1=a1·a2+2,得6a1=a1·(a1+3)+2,解得a1=1(a1=2舍去),由an=a1+(n1)d,得an=3n2.(2)bn=(1)nlg(an·an+1)=(1)n(lgan+lgan+1),T33=b1+b2+b3+…+b33=lga1lga2+lga2+lga3lga3lga4+…lga33lga34=lga1lga34=lg100=2.2.解(1)因为cos2A+cos2Bcos2C=12sinAsinB,所以12sin2A+12sin2B(12sin2C)=12sinAsinB,整理得sin2A+sin2Bsin2C=sinAsinB,由正弦定理得a2+b2c2=ab.由余弦定理得cosC=a2又因为C∈(0,π),所以C=π(2)sinA+sinB+sinC=sinA+sin(2π3A)+32=sinA+sin2π3cosA=32sinA+32cosA+32=3在△ABC中,因为C=π3所以0<A<2π3,所以π6所以12<sin(A+π所以3<3sin(A+π6)+32≤332,所以sinA+3.(1)证明连接AB1,B1C.因为AC=2BC=2,所以BC=1.因为2∠CAB=π3,所以∠CAB=在△ABC中,BCsinA=所以sinB=1.即AB⊥BC.又因为平面ABC⊥平面B1C1CB,平面ABC∩平面B1C1CB=BC,AB⊂平面ABC,所以AB⊥平面B1C1CB.又B1C⊂平面B1C1CB,所以AB⊥B1C.在△B1BC中,B1B=2,BC=1,∠CBB1=π3所以B1C2=B1B2+BC22B1B·BC·cosπ3=3,即B1C=3,所以B1C⊥BC而AB⊥B1C,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,AB∩BC=B,所以B1C⊥平面ABC.又B1C⊂平面ACB1,所以平面ABC⊥平面ACB1.(2)解以B为坐标原点,以BC所在直线为x轴,BA所在直线为y轴,过B作平面ABC的垂线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),C(1,0,0),A(0,3,0).∵B1C⊥平面ABC,∴B1(1,0,3),∴BB1=(1,0,在三棱柱中,AA1∥BB1∥CC1,可得C1(2,0,3),A1(1,3,∵P为BC中点,∴P1∴A1P=-12,-3,-设平面ACB1的一个法向量为n=(x,y,z),则AB1·n=0,CB1·n=0,即设直线A1P与平面ACB1所成角为θ,则sinθ=|cos<A1P,n故直线A1P与平面ACB1所成角的正弦值为34.解(1)设A1=“抽到第一袋”,A2=“抽到第二袋”,B=“随机抽取2张,恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”,P(A1)=P(A2)=12P(B|A1)=C5P(B|A2)=C由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=1(2)①设在一轮比赛中得分为X,则X的可能取值为2,0,2,则P(X=2)=(135)×(125)=P(X=0)=35×(125)+(13P(X=2)=3得分X的分布列为X202P6136②设在两轮比赛中得分为Y,则Y的可能取值为4,2,0,2,4,则P(Y=4)=625P(Y=2)=625P(Y=0)=625P(Y=2)=625P(Y=4)=6得分Y的分布列为Y42024P3615624115636E(Y)=(4)×36625+(2)×156625+0×241625+2×5.解(1)记|F1F2|=2c,由题意知|AF1|=|AF2|=a,2c=2a,∴S△AF1F2∴b=1,c=1,∴椭圆C的标准方程为x22+y2=(2)若选②③证①:设P(x1,y1),Q(x2,y2),当直线l的斜率不存在时,根据椭圆的对称性不妨设点P在第一象限,则由k1k2=12,可得k1=此时直线WP的方程为y=22x,与x22+y2=1联立,解得P(1,22当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+t,则k1k2=y1y2x1x2=12,即x1x2+将y=kx+t代入x22+y2=1整理得(1+2k2)x2+4ktx+2t22∴x1+x2=4kt1+2k2,x1∴y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=t2∴2t2-21+2k2+2t2-2∵|PQ|=1+k2|x1x2|=1+k2点O到直线l的距离d=|t∴S=12·综上,①成立.若选①③证②:设P(x1,y1),Q(x2,y2),当直线l的斜率不存在时,根据椭圆的对称性不妨设点P在第一象限,则由S=22,可得S=12x1·2y1=x1·y1又x122+y1∴Q(1,22),∴k1k2=当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+t.将y=kx+t代入x22+y2=1得(1+2k2)x2+4ktx+2t22∴x1+x2=4kt1+2k2,x1∵|PQ|=1+k2|x1x2|=1+k2点O到直线l的距离d=|t∴S=12·|t|即1+2k2=2t2.∵y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=t2∴k1k2=y1y综上,②成立.若选①②证③:设P(x1,y1),Q(x2,y2),W(x0,y0),当直线l的斜率不存在时,根据椭圆的对称性不妨设点P在第一象限,则Q(x1,y1),W(0,y0),∴S=12x1·2y1=x1·y1=又x122+y12=1,解得P(1,∴k1k2=(y1-∴y0=0,∴W(0,0)为坐标原点,满足题意.当直线l的斜率存在时,设W(x0,kx0),直线l的方程为y=kx+t,将y=kx+t代入x22+y2整理得(1+2k2)x2+4ktx+2t22=0,∴x1+x2=4kt1+2k2,x1∵|PQ|=1+k2|x1x2|=1+k2点W到直线l的距离d=|t∴S=12·|t|即1+2k2=2t2.∵y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=t2y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=2t则由k1k2=(y1-即(x1x0)(x2x0)+2(y1kx0)(y2kx0)=0,得x1x2x0(x1+x2)+x02+2y1y22kx0(y1+y2)+2k2x即(1+2k2)2x02(4k24t2+2)=∵1+2k2=2t2,∴4k24t2+2=0,∴x0=0,即W(0,0).综上,③成立.6.(1)解函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=a(2x1)1令g(x)=2ax2ax1.①当a=0时,g(x)=1<0,f'(x)=g(x)x<0,故f(x②当a≠0时,g(x)为二次函数,Δ=a2+8a.若Δ≤0,即8≤a<0,则g(x)的图象为开口向下的抛物线且g(x)≤0,所以f'(x)≤0,故f(x)在(0,+∞)内单调递减;若Δ>0,即a<8或a>0.令g(x)=0,得x1=a-a2+8a当a<8时,g(x)图象为开口向下的抛物线,0<x2<x1,所以当x∈(0,x2)或x∈(x1,+∞)时,g(x)<0,所以f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(x2,x1)时,g(x)>0,所以f'(x)>0,f(x)单调递增;当a>0时,g(x)图象为开口向上的抛物线,x1<0<x2,所以当x∈(0,x2)时,g(x)≤0,所以f'(x)<0,故f(x)单调递减;当x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,所以f'(x)>0,f(x)单调递增.综上,当a<8时,f(x)在区间0,a+a2+8在区间(a+当a>0时,f(x)在区间0,a+当8≤a≤0时,f(x)在(0,+∞)内单调递减.(2)证明由(1)知,当a=1时,f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,因此对任意x>1恒有f(x)>f(1),即x2x>lnx.因为0<lnx<x2x,若