微积分期末测试题及答案

欢迎下载 欢迎下载 #一单项选择题(每小题3分,共15分)TOC\o"1-5"\h\z1.设limf(x)=k，那么点x=a是f(x)的( ).xfa①连续点 ②可去间断点③跳跃间断点④以上结论都不对f.f(a+h)-f(a—2h)2.设f(x)在点x=a处可导，那么lim———片1 =().h—0 h①3f(a) ②2f(a) ③f(a) ④3f(a)3.设函数f(x)的定义域为[-1,1],则复合函数f(sinx)的定义域为()._ -兀兀- _ _①(-1,1) ②—~2，F ③(0,+8) ④(q^s)f(x)-f(a)4.设lim1——二—二1，那么f(x)在a处( ).x—a (x-a)2①导数存在，但①导数存在，但f(a)中0②取得极大值③取得极小值④导数不存在5.已知5.已知limf(x)=0及(x—x0①g(x)为任意函数时③仅当limg(x)=0时)，则limf(x)g(x)=0.x—x0②当g(x)为有界函数时④仅当limg(x)存在时x—x0二填空题(每小题x—x0二填空题(每小题5分,共15分)x-x01.limx-sinxx+sinx2.lim(1+—)x+3=x-83.f(x)=Jsinx2，那么左导数f'(0)=，右导数f：(0)=三计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分)11.hm( --7)x-1lnxx-1d2ydx2Ixd2ydx2.\ ，求Iy=tet.y=ln(x+\；1+x2)，求dy和d2y.dx2dy.由方程ex+y-盯=0确定隐函数y=f(x)，求 .dxx.设x=1，x=1+——n-^-，求limx.n1+x nx-8n-1

.lim(3x—yax2+bx+c)=2，求常数a,b.xf8四证明题(每小题10分,共30分)f(x) f(x).设f(x)在(-8,+8)上连续,且lim =lim =0,证明:存在工e(—8,+8),使xf+8xxf—8xf也)+己=0.f(x)八.若函数f(x)在［a,+8］上可导，对任意x£(a,+8)，有|f(x)|<M,m是常数，则hm)一=0.xf+8x21.证明函数y=sm—在(c,1)内一致连续，但在(0,1)内非一致连续.x答案一单项选择题（每小题3分,共15分）④2.①3.④4.③5.②二填空题（每小题5分,共15分）1.limx1.limxf8x—sinxx+sinxlim(1+—)x+3=TOC\o"1-5"\h\zxf8 xf(x)=Jsinx2，那么左导数f'(0)=-1,右导数f'(0)= 1.— +三计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分)1,lim(—!———!—)xf1lnxx—1—-TOC\o"1-5"\h\z1 (x—1)—lnx x x—1解：lim(- )=lim =lim -x =lim xf1lnxx—1 xf1(x—1)lnx xf1［nx—(x-1) x-1xlnx-x+1xr1 “=lim =8xf1lnx+1—1

d2ydx2Ixd2ydx2\ ,求Iy=tetdy dydt 1解——=——• =(et+tet)•一=(t+1)dx dtdx etd(dy、d2y=小石)=1dx2 dx etdty=ln(x+J1+x2),求dy和dL.dX2解:dy=dln(x+\'1+x2)= . d(x+\；1+x2)x+<1+x2，一一， - 1 ,一x一、- -(dx+d(\'1+x2))- . ―(dx+—. -dx)x+v11+x2 x+<1+x2 <1+x21,-dx,v'1+x2d2ydr1 1 1八一x [ ] ，- -2x- -dx2 dxJ1+x2 2((1+x2)3 \：'(1+x2)3dy4.由方程ex+y-xy-0确定隐函数yfx),求 .dx解:方程两边求微分得d(ex+y一xy)-0,即dex+y-dxyex+y(dx+dy)-ydx+xdy所以,dy--+ldxex+y一x5.5.设x1=1,xnx—1+ n—1—1+xn一1，求limx.n

x-8证明：先证｛单调增加显然x>x，设n=k时成立，即x>x,n 21 k k-1xx当n=k+1时，x-x=(1+——k—)-(1+——k-^-)k+1k 1+x 1+xx(1+x)一x(1+x)一x(1+x)(1+x)(1+x)k-1x n一1—1+xn-1k k-1一x^x一->0,所以｛单调增加;(1+x)(1+x) nk-1<2,所以由单调增加有界数列必有极限得％收敛nx limx令limx=a,贝Ulimx=lim(1+——n—)=1+n>0nn-0n n-0n+1n-0 1+x 1+limx_n_ n-0n即 a=1+,得a=I+"(a=-_舍去).1+a 2 26.lim(3x-aax2+bx+c)=2，求常数a,b.x—8=limx-8解：显然a>0,lim(3x-、；ax2+bx+=limx-8f(x)2.若函数f(x)在［af(x)2.若函数f(x)在［a,+8］上可导，对任意x£(a,+8)，有|f'(x)|<M,M是常数，则lim八'=0.xf+8x2证明:因为f(x)在区间(a,+8)满足If(x)|<M,所以满足李普希兹条件，即对任意的x,xe(a,+8),有|f(x)-f(x)1<Mlx-xI.1 2 1 1 2 1 21令b>a,则xe(a,+8),有|f(x)-f(b)|<M|x-b|成立.我们知limXf+8fb=0,故要证limfx=0,只需证limf(X)-f(b)=0.x2x>b时,对任意给定的8>0,要使f(x)-f(b)=|f(x)-f(b)|<M\xx2只需x>2M即可,令X=max{b,8X2也}」,8Mx+Mb2M

< < <8x2x则当x>X时,<s成立即limXf+8x2f(x)-f(b)=0,所以得证.x213.证明函数y=sm—在(c,1)内一致连续，但在(0,1)内非一致连续.x证明:设0<c<x,x<1对,任意的8>0,要使0sin1-sinX=2cos(x0Xsin1-sinX=2cos(x0X+X 0-)sin(2xx0c.1.1=2cos(一+一2x2xx-x、 - 0)<22xx0)sin(X-_L)2x2x0x-x 02xx00x-x 0-<8,c2只需|x-x0只需|x-x0所以对任意的8>0,存在3=c28>0,当I有sin--sinxx0〃 ;r,x人 兀nn兀+—21<8成立,故y=sin1在(c,1)(c>0)上是一致连续的,〃为正整数,兀n兀一一2.1.1

sin-.1.1

sin--sin—x， x"n n=1-(-1)|=2x-x= f0,(nf8)nn 兀24n2兀2-一4所以对小于2的任意8>0,不能找到一致连续定义中的3，使得当xn-x1<3时,.1.1_sin--sin—<8x， x"n n欢迎下载(3x-a：ax2+bx+c)(3x+：ax2+bx+c) 3+；a+b+£3x+yax2+bx+c 、：xx2 0=lim =lim =2x-89x2-ax2-bx-c x-89x一ax一b一cx所以,9—a=0,3+、1"=2,得a=9,b=-3.-b四证明题(每小题10分，共30分)一 f(x) 一 f(x)1.设f(x)在(-8,+8)上连续，且lim-——=lim-——=0,证明:存在工e(-8,+8),使x-+8*********xx--8x证明:因为limfx=0,所以对s<1,存在X>0,使得当x>X时，有x-+8xf(x)<e成立，即一xe<f(x)<xe,x故一x(e+1)<f(x)-x<x(e