辽宁省重点协作校2025届高考数学四模试卷含解析

辽宁省重点协作校2025届高考数学四模试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，设，，则当时，的最大值是（）A．8 B．9 C．10 D．112．已知函数，若方程恰有两个不同实根，则正数m的取值范围为（）A． B．C． D．3．在中，，则=（）A． B．C． D．4．某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．05．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P表示π的近似值),若输入,则输出的结果是()A． B．C． D．6．世纪产生了著名的“”猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果是奇数，则将它乘加，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到.如图是验证“”猜想的一个程序框图，若输入正整数的值为，则输出的的值是（）A． B． C． D．7．已知，，，，则（）A． B． C． D．8．已知F是双曲线（k为常数）的一个焦点，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为（）A．2k B．4k C．4 D．29．已知为非零向量，“”为“”的（）A．充分不必要条件 B．充分必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件10．若双曲线：的一条渐近线方程为，则（）A． B． C． D．11．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第天长高尺，芜草第天长高尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：，）A． B． C． D．12．若，则()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为，侧面积为，则该棱锥的体积为__________．14．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为________.15．若函数，则__________；__________.16．已知，则______，______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知中，角所对边的长分别为，且（1）求角的大小；（2）求的值.18．（12分）设抛物线过点.（1）求抛物线C的方程；（2）F是抛物线C的焦点，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，若，求的值.19．（12分）已知椭圆的焦距是，点是椭圆上一动点，点是椭圆上关于原点对称的两点（与不同），若直线的斜率之积为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）是抛物线上两点，且处的切线相互垂直，直线与椭圆相交于两点，求的面积的最大值.20．（12分）在创建“全国文明卫生城”过程中，运城市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次)，通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分统计结果如表所示：.组别频数（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分似为这人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求；（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的金额(单位：元)概率现有市民甲参加此次问卷调查，记(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望.附：参考数据与公式：，若，则，，21．（12分）已知函数．(Ⅰ)当时，讨论函数的单调区间；(Ⅱ)若对任意的和恒成立，求实数的取值范围．22．（10分）手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A级；（ii）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C级；（iii）若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为，且各手工艺品质量是否过关相互独立.（1）求一件手工艺品质量为B级的概率；（2）若一件手工艺品质量为A，B，C级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为D级不能外销，利润记为100元.①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件；②记1件手工艺品的利润为X元，求X的分布列与期望.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

根据题意计算，，，解不等式得到答案.【详解】∵是以1为首项，2为公差的等差数列，∴.∵是以1为首项，2为公比的等比数列，∴.∴.∵，∴，解得.则当时，的最大值是9.故选：.【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，f分组求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.2、D【解析】

当时，函数周期为，画出函数图像，如图所示，方程两个不同实根，即函数和有图像两个交点，计算，，根据图像得到答案.【详解】当时，，故函数周期为，画出函数图像，如图所示：方程，即，即函数和有两个交点.，，故，，，，.根据图像知：.故选：.【点睛】本题考查了函数的零点问题，确定函数周期画出函数图像是解题的关键.3、B【解析】

在上分别取点,使得,可知为平行四边形，从而可得到，即可得到答案．【详解】如下图，，在上分别取点,使得,则为平行四边形，故,故答案为B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题．4、C【解析】

由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数.【详解】由三视图还原原几何体如图，其中，，为直角三角形.∴该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3.故选：C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，属于基础题.5、B【解析】

执行给定的程序框图，输入，逐次循环，找到计算的规律，即可求解.【详解】由题意，执行给定的程序框图，输入，可得：第1次循环：；第2次循环：；第3次循环：；第10次循环：，此时满足判定条件，输出结果，故选：B.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6、C【解析】

列出循环的每一步，可得出输出的的值.【详解】，输入，，不成立，是偶数成立，则；，不成立，是偶数成立，则；，不成立，是偶数成立，则；，不成立，是偶数不成立，则；，不成立，是偶数成立，则；，不成立，是偶数成立，则；，不成立，是偶数成立，则；，不成立，是偶数成立，则；，成立，跳出循环，输出的值为.故选：C.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题.7、D【解析】

令，求，利用导数判断函数为单调递增，从而可得，设，利用导数证出为单调递减函数，从而证出，即可得到答案.【详解】时，令，求导，，故单调递增：∴，当，设，，又，，即，故.故选：D【点睛】本题考查了作差法比较大小，考查了构造函数法，利用导数判断式子的大小，属于中档题.8、D【解析】

分析可得,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可.【详解】当时,等式不是双曲线的方程；当时,,可化为,可得虚半轴长,所以点F到双曲线C的一条渐近线的距离为2.故选：D【点睛】本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.9、B【解析】

由数量积的定义可得,为实数,则由可得,根据共线的性质,可判断；再根据判断,由等价法即可判断两命题的关系.【详解】若成立,则,则向量与的方向相同,且,从而,所以；若,则向量与的方向相同,且,从而,所以.所以“”为“”的充分必要条件.故选:B【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、数量积的应用.10、A【解析】

根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得的值.【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为，可化为，则，解得.故选：A【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.11、C【解析】

由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n天后长度，进而可得：，解出即可得出．【详解】由题意可得莞草与蒲草第n天的长度分别为据题意得：，解得2n＝12，∴n21．故选：C．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12、D【解析】

直接利用二倍角余弦公式与弦化切即可得到结果．【详解】∵，∴，故选D【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

如图所示，正四棱锥，为底面的中心，点为的中点，则，设，根据正四棱锥的侧面积求出的值，再利用勾股定理求得正四棱锥的高，代入体积公式，即可得到答案.【详解】如图所示，正四棱锥，为底面的中心，点为的中点，则，设，，，，，，.故答案为：.【点睛】本题考查棱锥的侧面积和体积，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.14、【解析】

根据三视图知该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积．【详解】根据三视图知，该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体，如图所示：结合图中数据，计算它的体积为.故答案为：.【点睛】本题考查了根据三视图求简单组合体的体积应用问题，是基础题．15、01【解析】

根据分段函数解析式，代入即可求解.【详解】函数，所以，.故答案为：0；1.【点睛】本题考查了分段函数求值的简单应用，属于基础题.16、【解析】

利用两角和的正切公式结合可得出的方程，即可求出的值，然后利用二倍角的正、余弦公式结合弦化切思想求出和的值，进而利用两角差的余弦公式求出的值.【详解】，，，.故答案为：；.【点睛】本题主要考查三角函数值的计算，考查两角和的正切公式、两角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、余弦公式以及弦化切思想的应用，难度不大．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

（1）正弦定理的边角转换，以及两角和的正弦公式展开，特殊角的余弦值即可求出答案；（2）构造齐次式，利用正弦定理的边角转换，得到，结合余弦定理得到【详解】解：（1）由已知，得又∵∴∴,因为得∵∴.（2）∵又由余弦定理，得∴【点睛】1.考查学生对正余弦定理的综合应用；2.能处理基本的边角转换问题；3.能利用特殊的三角函数值推特殊角，属于中档题18、（1）（2）【解析】

(1)代入计算即可.(2)设直线AB的方程为,再联立直线与抛物线的方程,消去可得的一元二次方程,再根据韦达定理与求解,进而利用弦长公式求解即可.【详解】解：（1）因为抛物线过点,所以,所以,抛物线的方程为（2）由题意知直线AB的斜率存在,可设直线AB的方程为,,.因为,所以,联立,化简得,所以,,所以,,解得,所以.【点睛】本题考查抛物线的方程以及联立直线与抛物线求弦长的简单应用.属于基础题.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）设点的坐标,表达出直线的斜率之积,再根据三点均在椭圆上,根据椭圆的方程代入斜率之积的表达式列式求解即可.（Ⅱ）设直线的方程为,根据直线的斜率之积为可得,再联立直线与椭圆的方程,表达出面积公式,再换元利用基本不等式求解即可.【详解】（Ⅰ）设,,则,又,,故,即,故,又,故.故椭圆的标准方程为.（Ⅱ）设直线的方程为,,由,故,又,故,因为处的切线相互垂直故.故直线的方程为.联立故.故,代入韦达定理有设,则.当且仅当时取等号.故的面积的最大值为.【点睛】本题主要考查了根据椭圆上的点坐标满足的关系式求解椭圆基本量求方程的方法,同时也考查了抛物线的切线问题以及椭圆中面积的最值问题,需要根据导数的几何意义求切线斜率,再换元利用基本不等式求解.属于难题.20、（1）（2）详见解析【解析】

由题意，根据平均数公式求得，再根据，参照数据求解.由题意得，获赠话费的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列求期望.【详解】由题意得综上，由题意得，获赠话费的可能取值为，，的分布列为：【点睛】本题主要考查正态分布和离散型随机变量的分布列及期望，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21、(Ⅰ)见解析(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)首先求得导函数，然后结合导函数的解析式分类讨论函数的单调性即可；(Ⅱ)将原问题进行等价转化为，，恒成立，然后构造新函数，结合函数的性质确定实数的取值范围即可．【详解】解：(Ⅰ)当时，，当时，在上恒成立，函数在上单调递减；当时，由得：；由得：．∴当时，函数的单调递减区间是，无单调递增区间：当时，函数