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文档简介

甘肃省白银市靖远县第二中学2025届高考全国统考预测密卷数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数的最小正周期为,为了得到函数的图象,只要将的图象()A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度2.的展开式中,项的系数为()A.-23 B.17 C.20 D.633.正的边长为2,将它沿边上的高翻折,使点与点间的距离为,此时四面体的外接球表面积为()A. B. C. D.4.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面5.已知、分别为双曲线:(,)的左、右焦点,过的直线交于、两点,为坐标原点,若,,则的离心率为()A.2 B. C. D.6.如图,在三棱锥中,平面,,,,,分别是棱,,的中点,则异面直线与所成角的余弦值为A.0 B. C. D.17.设是虚数单位,则()A. B. C. D.8.设,,,则,,三数的大小关系是A. B.C. D.9.函数的图象可能为()A. B.C. D.10.已知函数,,其中为自然对数的底数,若存在实数,使成立,则实数的值为()A. B. C. D.11.函数的图像大致为().A. B.C. D.12.是定义在上的增函数,且满足:的导函数存在,且,则下列不等式成立的是()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知是同一球面上的四个点,其中平面,是正三角形,,则该球的表面积为______.14.已知是抛物线的焦点,是上一点,的延长线交轴于点.若为的中点,则_________.15.学校艺术节对同一类的四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:甲说:“作品获得一等奖”;乙说:“作品获得一等奖”;丙说:“,两项作品未获得一等奖”;丁说:“是或作品获得一等奖”,若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是___.16.如图,棱长为2的正方体中,点分别为棱的中点,以为圆心,1为半径,分别在面和面内作弧和,并将两弧各五等分,分点依次为、、、、、以及、、、、、.一只蚂蚁欲从点出发,沿正方体的表面爬行至,则其爬行的最短距离为________.参考数据:;;)三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)若,求函数的单调区间;(2)若恒成立,求实数的取值范围.18.(12分)已知为坐标原点,单位圆与角终边的交点为,过作平行于轴的直线,设与终边所在直线的交点为,.(1)求函数的最小正周期;(2)求函数在区间上的值域.19.(12分)若不等式在时恒成立,则的取值范围是__________.20.(12分)为了解网络外卖的发展情况,某调查机构从全国各城市中抽取了100个相同等级地城市,分别调查了甲乙两家网络外卖平台(以下简称外卖甲、外卖乙)在今年3月的订单情况,得到外卖甲该月订单的频率分布直方图,外卖乙该月订单的频数分布表,如下图表所示.订单:(单位:万件)频数1223订单:(单位:万件)频数402020102(1)现规定,月订单不低于13万件的城市为“业绩突出城市”,填写下面的列联表,并根据列联表判断是否有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.业绩突出城市业绩不突出城市总计外卖甲外卖乙总计(2)由频率分布直方图可以认为,外卖甲今年3月在全国各城市的订单数(单位:万件)近似地服从正态分布,其中近似为样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表),的值已求出,约为3.64,现把频率视为概率,解决下列问题:①从全国各城市中随机抽取6个城市,记为外卖甲在今年3月订单数位于区间的城市个数,求的数学期望;②外卖甲决定在今年3月订单数低于7万件的城市开展“订外卖,抢红包”的营销活动来提升业绩,据统计,开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平,现从全国各月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样的方法选出100个城市不开展营销活动,若每按一件外卖订单平均可获纯利润5元,但每件外卖平均需送出红包2元,则外卖甲在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元?附:①参考公式:,其中.参考数据:0.150.100.050.0250.0100.0012.7022.7063.8415.0246.63510.828②若,则,.21.(12分)[2018·石家庄一检]已知函数.(1)若,求函数的图像在点处的切线方程;(2)若函数有两个极值点,,且,求证:.22.(10分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若不等式对恒成立,求实数的取值范围.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

由的最小正周期是,得,即,因此它的图象向左平移个单位可得到的图象.故选A.考点:函数的图象与性质.【名师点睛】三角函数图象变换方法:2、B【解析】

根据二项式展开式的通项公式,结合乘法分配律,求得的系数.【详解】的展开式的通项公式为.则①出,则出,该项为:;②出,则出,该项为:;③出,则出,该项为:;综上所述:合并后的项的系数为17.故选:B【点睛】本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识,考查理解能力,计算能力,分类讨论和应用意识.3、D【解析】

如图所示,设的中点为,的外接圆的圆心为,四面体的外接球的球心为,连接,利用正弦定理可得,利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形为平行四边形,最后利用勾股定理可求外接球的半径,从而可得外接球的表面积.【详解】如图所示,设的中点为,外接圆的圆心为,四面体的外接球的球心为,连接,则平面,.因为,故,因为,故.由正弦定理可得,故,又因为,故.因为,故平面,所以,因为平面,平面,故,故,所以四边形为平行四边形,所以,所以,故外接球的半径为,外接球的表面积为.故选:D.【点睛】本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算,还考查正弦定理和余弦定理,折叠问题注意翻折前后的变量与不变量,外接球问题注意先确定外接球的球心的位置,然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算,本题有一定的难度.4、B【解析】

本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件,渗透直观想象、逻辑推理素养,利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断.【详解】由面面平行的判定定理知:内两条相交直线都与平行是的充分条件,由面面平行性质定理知,若,则内任意一条直线都与平行,所以内两条相交直线都与平行是的必要条件,故选B.【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理,最容易犯的错误为定理记不住,凭主观臆断,如:“若,则”此类的错误.5、D【解析】

作出图象,取AB中点E,连接EF2,设F1A=x,根据双曲线定义可得x=2a,再由勾股定理可得到c2=7a2,进而得到e的值【详解】解:取AB中点E,连接EF2,则由已知可得BF1⊥EF2,F1A=AE=EB,设F1A=x,则由双曲线定义可得AF2=2a+x,BF1﹣BF2=3x﹣2a﹣x=2a,所以x=2a,则EF2=2a,由勾股定理可得(4a)2+(2a)2=(2c)2,所以c2=7a2,则e故选:D.【点睛】本题考查双曲线定义的应用,考查离心率的求法,数形结合思想,属于中档题.对于圆锥曲线中求离心率的问题,关键是列出含有中两个量的方程,有时还要结合椭圆、双曲线的定义对方程进行整理,从而求出离心率.6、B【解析】

根据题意可得平面,,则即异面直线与所成的角,连接CG,在中,,易得,所以,所以,故选B.7、A【解析】

利用复数的乘法运算可求得结果.【详解】由复数的乘法法则得.故选:A.【点睛】本题考查复数的乘法运算,考查计算能力,属于基础题.8、C【解析】

利用对数函数,指数函数以及正弦函数的性质和计算公式,将a,b,c与,比较即可.【详解】由,,,所以有.选C.【点睛】本题考查对数值,指数值和正弦值大小的比较,是基础题,解题时选择合适的中间值比较是关键,注意合理地进行等价转化.9、C【解析】

先根据是奇函数,排除A,B,再取特殊值验证求解.【详解】因为,所以是奇函数,故排除A,B,又,故选:C【点睛】本题主要考查函数的图象,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.10、A【解析】令f(x)﹣g(x)=x+ex﹣a﹣1n(x+1)+4ea﹣x,令y=x﹣ln(x+1),y′=1﹣=,故y=x﹣ln(x+1)在(﹣1,﹣1)上是减函数,(﹣1,+∞)上是增函数,故当x=﹣1时,y有最小值﹣1﹣0=﹣1,而ex﹣a+4ea﹣x≥4,(当且仅当ex﹣a=4ea﹣x,即x=a+ln1时,等号成立);故f(x)﹣g(x)≥3(当且仅当等号同时成立时,等号成立);故x=a+ln1=﹣1,即a=﹣1﹣ln1.故选:A.11、A【解析】

本题采用排除法:由排除选项D;根据特殊值排除选项C;由,且无限接近于0时,排除选项B;【详解】对于选项D:由题意可得,令函数,则,;即.故选项D排除;对于选项C:因为,故选项C排除;对于选项B:当,且无限接近于0时,接近于,,此时.故选项B排除;故选项:A【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.12、D【解析】

根据是定义在上的增函数及有意义可得,构建新函数,利用导数可得为上的增函数,从而可得正确的选项.【详解】因为是定义在上的增函数,故.又有意义,故,故,所以.令,则,故在上为增函数,所以即,整理得到.故选:D.【点睛】本题考查导数在函数单调性中的应用,一般地,数的大小比较,可根据数的特点和题设中给出的原函数与导数的关系构建新函数,本题属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

求得等边三角形的外接圆半径,利用勾股定理求得三棱锥外接球的半径,进而求得外接球的表面积.【详解】设是等边三角形的外心,则球心在其正上方处.设,由正弦定理得.所以得三棱锥外接球的半径,所以外接球的表面积为.故答案为:【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的计算,属于基础题.14、【解析】

由题意可得,又由于为的中点,且点在轴上,所以可得点的横坐标,代入抛物线方程中可求点的纵坐标,从而可求出点的坐标,再利用两点间的距离公式可求得结果.【详解】解:因为是抛物线的焦点,所以,设点的坐标为,因为为的中点,而点的横坐标为0,所以,所以,解得,所以点的坐标为所以,故答案为:【点睛】此题考查抛物线的性质,中点坐标公式,属于基础题.15、C【解析】

假设获得一等奖的作品,判断四位同学说对的人数.【详解】分别获奖的说对人数如下表:获奖作品ABCD甲对错错错乙错错对错丙对错对错丁对错错对说对人数3021故获得一等奖的作品是C.【点睛】本题考查逻辑推理,常用方法有:1、直接推理结果,2、假设结果检验条件.16、【解析】

根据空间位置关系,将平面旋转后使得各点在同一平面内,结合角的关系即可求得两点间距离的三角函数表达式.根据所给参考数据即可得解.【详解】棱长为2的正方体中,点分别为棱的中点,以为圆心,1为半径,分别在面和面内作弧和.将平面绕旋转至与平面共面的位置,如下图所示:则,所以;将平面绕旋转至与平面共面的位置,将绕旋转至与平面共面的位置,如下图所示:则,所以;因为,且由诱导公式可得,所以最短距离为,故答案为:.【点睛】本题考查了空间几何体中最短距离的求法,注意将空间几何体展开至同一平面内求解的方法,三角函数诱导公式的应用,综合性强,属于难题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)增区间为,减区间为;(2).【解析】

(1)将代入函数的解析式,利用导数可得出函数的单调区间;(2)求函数的导数,分类讨论的范围,利用导数分析函数的单调性,求出函数的最值可判断是否恒成立,可得实数的取值范围.【详解】(1)当时,,则,当时,,则,此时,函数为减函数;当时,,则,此时,函数为增函数.所以,函数的增区间为,减区间为;(2),则,.①当时,即当时,,由,得,此时,函数为增函数;由,得,此时,函数为减函数.则,不合乎题意;②当时,即时,.不妨设,其中,令,则或.(i)当时,,当时,,此时,函数为增函数;当时,,此时,函数为减函数;当时,,此时,函数为增函数.此时,而,构造函数,,则,所以,函数在区间上单调递增,则,即当时,,所以,.,符合题意;②当时,,函数在上为增函数,,符合题意;③当时,同理可得函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,此时,则,解得.综上所述,实数的取值范围是.【点睛】本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查恒成立问题,正确求导和分类讨论是关键,属于难题.18、(1);(2).【解析】

(1)根据题意,求得,,因而得出,利用降幂公式和二倍角的正弦公式化简函数,最后利用,求出的最小正周期;(2)由(1)得,再利用整体代入求出函数的值域.【详解】(1)因为,,所以,,所以函数的最小正周期为.(2)因为,所以,所以,故函数在区间上的值域为.【点睛】本题考查正弦型函数的周期和值域,运用到向量的坐标运算、降幂公式和二倍角的正弦公式,考查化简和计算能力.19、【解析】

原不等式等价于在恒成立,令,,求出在上的最小值后可得的取值范围.【详解】因为在时恒成立,故在恒成立.令,由可得.令,,则为上的增函数,故.故.故答案为:.【点睛】本题考查含参数的不等式的恒成立,对于此类问题,优先考虑参变分离,把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最值问题,本题属于基础题.20、(1)见解析,有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.(2)①4.911②100万元.【解析】

(1)根据频率分布直方图与频率分布表,易得两个外卖平台中月订单不低于13万件的城市数量,即可完善列联表.通过计算的观测值,即可结合临界值作出判断.(2)①先根据所给数据求得样本平均值,根据所给今年3月订单数区间,并由及求得,.结合正态分布曲线性质可求得,再由二项分布的数学期望求法求解.②订单数低于7万件的城市有和两组,根据分层抽样的性质可确定各组抽取样本数.分别计算出开展营销活动与不开展营销活动的利润,比较即可得解.【详解】(1)对于外卖甲:月订单不低于13万件的城市数量为,对于外卖乙:月订单不低于13万件的城市数量为.由以上数据完善列联表如下图,业绩突出城市业绩不突出城市总计外卖甲4060100外卖乙5248100总计92108200且的观测值为,∴有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.(2)①样

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