第一次月考模拟测试卷(原卷版+解析)

（苏科版）2023-2024学年九年级上学期数学第一次月考模拟测试卷（测试范围：第1章---第2章）（考试时间：120分钟满分：120分）一、选择题（共10题，每小题3分，共30分）1．（2022秋•鄄城县期末）若关于x的方程（m﹣1）x2+x﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（）A．m≠1 B．m＝1 C．m≥1 D．m≠02．（2022秋•思明区校级期末）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为（）A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O外 D．无法确定3．（2023•贵州模拟）已知关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0的一个根是x＝1，则方程x2+6x﹣c＝0的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有一个根是x＝14．（2022秋•河西区校级期末）高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝8米，净高CD＝8米，则此圆的半径OA＝（）A．5米 B．112米 C．6米 D．135．（2023•兴庆区校级一模）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（）A．（16﹣x﹣10）（200+80x）＝1440 B．（16﹣x）（200+80x）＝1440 C．（16﹣x﹣10）（200﹣80x）＝1440 D．（16﹣x）（200﹣80x）＝14406．（2022秋•泰兴市期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC，∠BAO＝75°，则∠D＝（）A．60° B．30° C．45° D．无法确定7．（2023•中山市校级模拟）如图，⊙O的半径为1，点A、B、C都在⊙O上，∠B＝45°，则AC的长为（）A．18π B．14π C．12π8．（2023春•芙蓉区校级期末）如果a是一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+3x﹣m＝0的一个根，那么a的值是（）A．1或2 B．0或﹣3 C．﹣1或﹣2 D．0或39．如图，AB是⊙O的直径，线段BC与⊙O的交点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，连接AD，①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA=12AC；④DE是⊙A．1 B．2 C．3 D．410．（2022秋•华容区期中）已知实数m，n满足m2﹣2am+1＝0，n2﹣2an+1＝0，且m≠n，若a≥2，则代数式（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（）A．5 B．6 C．8 D．10填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．（2023•鼓楼区校级模拟）关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．12．（2023•东莞市校级一模）已知圆锥的底面半径是5cm，母线长10cm，则侧面积是cm2．13．（2023•天河区校级模拟）若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣9x+20＝0的两根，则该菱形的面积为．14．（2023•天心区校级三模）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若△ABC的周长为18，面积为9，则⊙O的半径是．15．（2022秋•朔城区期末）太原迎泽公园是太原市内最大的综合性文化休闲公园，其间种植了数万株观赏树木、桥、廊、亭、榭多不胜数．如图，相关部门计划在公园内一块长为32米，宽为20米的近似矩形湖面上修筑宽度固定的观景长廊（图中阴影部分），要使湖面剩余部分（空白部分）的面积为540平方米，则长廊的宽为米．16．（2022秋•云冈区月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝75°，∠ADC＝90°，CD＝6，对角线DB平分∠ADC，则边AB的长为．17．（2022秋•西平县期中）若是一个直角三角形两条直角边的长a，b，满足（a2+b2）（a2+b2+1）＝12，则这个直角三角形的斜边长为．18．（2023春•市南区校级月考）在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P(m，3m+23)，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为三、解答题（本大题共8小题，满分共66分）19．（每小题4分，共8分）（每小题4分，共8分）（2023•鼓楼区校级开学）用适当的方法解下列方程：（1）4（x﹣1）2﹣1＝8；（2）2x2﹣3x+1＝0．20．（6分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，∠DCB＝100°，∠B＝50°．求证：△CDE是等腰三角形．（7分）（2023春•鼓楼区校级期中）如图，在⊙O中，AB、AD为弦，CD为直径，CD⊥AB于M，BN⊥AD于N，BN与CD相交于Q．（1）求证：BQ＝BC；（2）若BQ＝5，CM＝3，求⊙O的半径．22．（7分）（2022秋•洛阳期末）【阅读材料】若x2+y2+8x﹣6y+25＝0，求x，y的值．解：（x2+8x+16）+（y2﹣6y+9）＝0，（x+4）2+（y﹣3）2＝0，∴x+4＝0，y﹣3＝0，∴x＝﹣4，y＝3．【解决问题】（1）已知m2+n2﹣12n+10m+61＝0，求（m+n）2023的值；【拓展应用】（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，且b，c满足b2+c2＝8b+4c﹣20，a是△ABC中最长的边，求a的取值范围．23．（8分）（2022•息烽县二模）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过O点作OE⊥AC，垂足为E．（1）填空：∠CAB＝度；（2）求OE的长；（3）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF，AC和弧FC围成的图形（阴影部分）的面积S．24．（9分）（2023春•永兴县校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有两个实数根．（1）试求k的取值范围；（2）若x12+（3）若此方程的两个实数根为x1，x2，且满足|x1|+|x2|＝2，试求k的值．25．（9分）（2022秋•玄武区校级月考）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．①经过几秒，PQ的长度为42cm？②线段PQ能否将△ABC分成两部分，使得△PBQ的面积是四边形APQC的面积的2倍？若能，求出运动时间；若不能请说明理由；若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？（直接写出答案）26．（12分）如图1，已知⊙O是△ADB的外接圆，∠ADB的平分线DC交AB于点M，交⊙O于点C，连接AC，BC．（1）求证：AC＝BC；（2）如图2，在图1的基础上作⊙O的直径CF交AB于点E，连接AF，过点A作⊙O的切线AH，若AH∥BC，求∠ACF的度数；（3）在（2）的条件下，若△ABD的面积为63，△ABD与△ABC的面积比为2：9，求CD

（苏科版）2023-2024学年九年级上学期数学第一次月考模拟测试卷（测试范围：第1章---第2章）（考试时间：120分钟满分：120分）一、选择题（共10题，每小题3分，共30分）1．（2022秋•鄄城县期末）若关于x的方程（m﹣1）x2+x﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（）A．m≠1 B．m＝1 C．m≥1 D．m≠0【分析】根据一元二次方程的定义，可得m﹣1≠0，据此可得答案．【解答】解：∵关于x的方程（m﹣1）x2+x﹣1＝0是一元二次方程，∴m﹣1≠0，∴m≠1，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．2．（2022秋•思明区校级期末）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为（）A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O外 D．无法确定【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为3cm，即点A到圆心O的距离小于圆的半径，∴点A在⊙O内．故选：B．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．3．（2023•贵州模拟）已知关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0的一个根是x＝1，则方程x2+6x﹣c＝0的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有一个根是x＝1【分析】先把x＝1代入方程x2+6x+c＝0可得到c＝﹣7，则方程x2+6x﹣c＝0化为x2+6x+7＝0，再计算根的判别式的值得到Δ＝8＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可．【解答】解：把x＝1代入方程x2+6x+c＝0得1+6+c＝0，解得c＝﹣7，所以方程x2+6x﹣c＝0化为x2+6x+7＝0，∵Δ＝62﹣4×7＝8＞0，∴方程x2+6x﹣c＝0有两个不相等的实数根．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的解．4．（2022秋•河西区校级期末）高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝8米，净高CD＝8米，则此圆的半径OA＝（）A．5米 B．112米 C．6米 D．13【分析】设⊙O的半径是r米，由垂径定理，勾股定理，列出关于r的方程，即可求解．【解答】解：设⊙O的半径是r米，∵CD⊥AB，∴AD=12∵OA2＝OD2+AD2，∴r2＝（8﹣r）2+42，∴r＝5，∴⊙O的半径OA是5米．故选：A．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是应用勾股定理列出关于半径的方程．5．（2023•兴庆区校级一模）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（）A．（16﹣x﹣10）（200+80x）＝1440 B．（16﹣x）（200+80x）＝1440 C．（16﹣x﹣10）（200﹣80x）＝1440 D．（16﹣x）（200﹣80x）＝1440【分析】当每袋粽子售价降低x元时，每袋粽子的销售利润为（16﹣x﹣10）元，每天可售出（200+80x）袋，利用总利润＝每袋的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：当每袋粽子售价降低x元时，每袋粽子的销售利润为（16﹣x﹣10）元，每天可售出（200+80x）袋，依题意得：（16﹣x﹣10）（200+80x）＝1440．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6．（2022秋•泰兴市期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC，∠BAO＝75°，则∠D＝（）A．60° B．30° C．45° D．无法确定【分析】连接OC，由圆周角定理得到∠D=12∠AOC，由圆心角，弧，弦的关系得到∠AOB=12∠AOC，于是得到∠【解答】解：连接OC，∵AB＝BC，∴AB=∴∠AOB＝∠BOC=12∠∵∠D=12∠∴∠D＝∠AOB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝75°，∴∠AOB＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∴∠D＝∠AOB＝30°．故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系，掌握以上知识点是解题的关键．7．（2023•中山市校级模拟）如图，⊙O的半径为1，点A、B、C都在⊙O上，∠B＝45°，则AC的长为（）A．18π B．14π C．12π【分析】根据圆周角定理可得出∠AOC＝90°，再根据弧长公式的计算即可．【解答】解：∵∠B＝45°，∴∠AOC＝90°，∵⊙O的半径为1，∴AC的长=nπr180故选：C．【点评】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解题关键是掌握弧长公式l=nπr8．（2023春•芙蓉区校级期末）如果a是一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+3x﹣m＝0的一个根，那么a的值是（）A．1或2 B．0或﹣3 C．﹣1或﹣2 D．0或3【分析】把x＝a代入方程x2﹣3x+m＝0得到a2﹣3a+m＝0，把x＝﹣a代入方程x2+3x﹣m＝0得a2﹣3a﹣m＝0，然后把两式相加得到关于a的方程，再解关于a的方程即可．【解答】解：根据题意得a2﹣3a+m＝0①，a2﹣3a﹣m＝0②，①+②得2a2﹣6a＝0，解得a＝0或a＝3．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．9．如图，AB是⊙O的直径，线段BC与⊙O的交点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，连接AD，①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA=12AC；④DE是⊙A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据圆周角定理和切线的判定，采用排除法，逐条分析判断．【解答】解：∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，故①正确；连接DO，∵点D是BC的中点，∴CD＝BD，又∵∠ADC＝∠ADB＝90°，AD＝AD，∴△ACD≌△ABD（SAS），∴AC＝AB，∠C＝∠B，∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是圆O的切线，故④正确；∵AB为圆O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°，∴∠EDA＝∠ODB，∵∠ODB＝∠B，∴∠EDA＝∠B，选项②正确；由D为BC中点，且AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∴AC＝AB，又OA=12∴OA=12AC，选项故选：D．【点评】此题考查了切线的判定，证明切线时连接OD是解这类题经常连接的辅助线．10．（2022秋•华容区期中）已知实数m，n满足m2﹣2am+1＝0，n2﹣2an+1＝0，且m≠n，若a≥2，则代数式（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（）A．5 B．6 C．8 D．10【分析】根据一元二次方程根与系数关系得到m+n和mn的值，代入（m﹣1）2+（n﹣1）2变形后的代数式，再利用配方法即可求出最小值．【解答】解：∵m、n满足m2﹣2am+1＝0，n2﹣2an+1＝0，∴m、n是方程x2﹣2ax+1＝0的两个实数根，∵a≥2，m+n=−ba=2a∵a≥2，∴（m﹣1）2+（n﹣1）2＝m2﹣2m+1+n2﹣2n+1＝m2+n2﹣2（m+n）+2＝（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2＝4a2﹣2﹣4a+2＝4a2﹣4a＝（2a﹣1）2﹣1，∵m≠n，a≥2，（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（2×2﹣1）2﹣1＝8，故选：C．【点评】本题考查了代数式求值，一元二次方程根与系数的关系，配方法的运用，熟练掌握根和系数关系是解题关键．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．（2023•鼓楼区校级模拟）关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．【分析】根据一元二次方程的定义和判别式，得出k≠0且Δ＝（﹣2）2+4k＞0，解出不等式，即可得到k的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴k≠0且Δ＝（﹣2）2+4k＞0，解得：k＞﹣1且k≠0，∴k的取值范围为k＞﹣1且k≠0．故答案为：k＞﹣1且k≠0．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，解本题的关键在熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的个数的关系．一元二次方程的根的判别式与根的个数的关系：当Δ＞0时，方程有两个不等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．12．（2023•东莞市校级一模）已知圆锥的底面半径是5cm，母线长10cm，则侧面积是cm2．【分析】首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解．【解答】解：圆锥的底面周长是：2×5π＝10π（cm），则圆锥的侧面积是：12故答案为：50π．【点评】本题考查了扇形的面积公式，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．13．（2023•天河区校级模拟）若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣9x+20＝0的两根，则该菱形的面积为．【分析】解方程可得菱形的对角线长，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．【解答】解：解方程x2﹣9x+20＝0得到x＝4或5，∴菱形的对角线长分别为4和5，∴菱形的面积=1故答案为：10．【点评】本题考查菱形的性质、一元二次方程的解等知识，记住菱形的面积公式是解题的关键，属于基础题．14．（2023•天心区校级三模）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若△ABC的周长为18，面积为9，则⊙O的半径是．【分析】作辅助线如解析图，根据S△ABC＝S△ABO+S△ACO+S△BOC，代入数据求解即可．【解答】解：如图，设⊙O与△ABC的各边分别相切于点E、F、G，连接OE，OF，OG，OA，OB，OC，设⊙O的半径为r，则OE⊥AB，OF⊥AC，OG⊥BC，OE＝OF＝OG＝r，∵S△ABC＝S△ABO+S△ACO+S△BOC，=12AB•r+12AC•r+=12（AB+AC+BC）•又△ABC的周长为18，面积为9，∴9=12×∴r＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了利用三角形的面积求三角形的内切圆半径，掌握求解的方法是解题的关键．15．（2022秋•朔城区期末）太原迎泽公园是太原市内最大的综合性文化休闲公园，其间种植了数万株观赏树木、桥、廊、亭、榭多不胜数．如图，相关部门计划在公园内一块长为32米，宽为20米的近似矩形湖面上修筑宽度固定的观景长廊（图中阴影部分），要使湖面剩余部分（空白部分）的面积为540平方米，则长廊的宽为米．【分析】设长廊的宽为x米，可得出剩余的部分可合成长为（32﹣x）米，宽为（20﹣x）米的矩形，根据剩余部分的面积为540平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：∵长廊的宽为x米，∴剩余的部分可合成长为（32﹣x）米，宽为（20﹣x）米的矩形．依题意得：（32﹣x）（20﹣x）＝540，解得：x1＝2，x2＝50（舍去）．故答案为：2．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16．（2022秋•云冈区月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝75°，∠ADC＝90°，CD＝6，对角线DB平分∠ADC，则边AB的长为．【分析】根据圆周角定理和勾股定理，以及直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：连接AC，∵∠ADC＝90°，∴AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵对角线DB平分∠ADC，∴∠ACB＝∠ADB＝∠CDB＝∠BAC=12∵∠BCD＝75°，∴∠ACD＝30°，∴AC＝2AD，∵CD＝6，∴AD=A∴AD＝23，∴AC＝43，∵∠BAC＝∠ACB＝45°，∴AB=22AC＝2故答案为：26．【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．17．（2022秋•西平县期中）若是一个直角三角形两条直角边的长a，b，满足（a2+b2）（a2+b2+1）＝12，则这个直角三角形的斜边长为．【分析】根据勾股定理c2＝a2+b2代入方程求解即可．【解答】解：∵a，b是一个直角三角形两条直角边的长设斜边为c，∴（a2+b2）（a2+b2+1）＝12，根据勾股定理得：c2（c2+1）﹣12＝0即（c2﹣3）（c2+4）＝0，∵c2+4≠0，∴c2﹣3＝0，解得c=3或c=−则直角三角形的斜边长为3．故答案为：3．【点评】本题考查的是换元法解一元二次方程，利用勾股定理求直角三角形的斜边，需同学们灵活掌握．18．（2023春•市南区校级月考）在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P(m，3m+23)，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为【分析】连接PA，OA，由切线的性质得到OA⊥PA，求出PO2＝m2+(3m+23)2=4m2+12m+12，由勾股定理得到PA2＝PO2﹣OA2＝4m2+12m【解答】解：连接PO，OA，∵PA切圆于A，∴OA⊥PA，∵点P(m，3∴PO2＝m2+(3m+23)2∵圆的半径是1，∴OA＝1，∴PA2＝PO2﹣OA2＝4m2+12m+11＝4(m+3∴PA2的最小值是2，∵PA＞0，∴PA的最小值是2．故答案为：2．【点评】本题考查切线的性质，勾股定理，二次函数的性质，关键是由切线的性质，勾股定理得到PA2＝PO2﹣OA2＝4m2+12m+11＝4(m+32)三、解答题（本大题共8小题，满分共66分）19．（每小题4分，共8分）（每小题4分，共8分）（2023•鼓楼区校级开学）用适当的方法解下列方程：（1）4（x﹣1）2﹣1＝8；（2）2x2﹣3x+1＝0．【分析】（1）用直接开平方法解一元二次方程即可；（2）用公式法解一元二次方程即可．【解答】解：（1）4（x﹣1）2﹣1＝8，∴4（x﹣1）2＝9，∴(x−1)2x−1=−32或∴x1=5（2）∵a＝2，b＝﹣3，c＝1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1＞0，∴x=−b±∴x1＝1，x2【点评】本题考查了直接开平方法和公式法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．20．（6分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，∠DCB＝100°，∠B＝50°．求证：△CDE是等腰三角形．【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠CDA+∠B＝180°，求得∠CDA＝180°﹣50°＝130°，根据等腰三角形的判定定理得到结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CDA+∠B＝180°，∵∠B＝50°，∴∠CDA＝180°﹣50°＝130°，∴∠CDE＝180°﹣∠CDA＝180°﹣130°＝50°，∵∠DCB＝100°，∴∠CDE+∠E＝100°，∴∠E＝50°，∴∠E＝∠CDE，∴CD＝CE，∴△CDE是等腰三角形．【点评】本题考查了圆内接四边形，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．（7分）（2023春•鼓楼区校级期中）如图，在⊙O中，AB、AD为弦，CD为直径，CD⊥AB于M，BN⊥AD于N，BN与CD相交于Q．（1）求证：BQ＝BC；（2）若BQ＝5，CM＝3，求⊙O的半径．【分析】（1）根据CD⊥AB，BN⊥AD，所以∠BNA＝∠BMQ＝90°，可得∠BQM＝∠A，利用圆周角定理得∠C＝∠A，所以∠C＝∠BQM，即可得出结论；（2）设圆心为O，连接BO，设BO＝r，则OM＝r﹣3，利用勾股定理得BM＝4和42+（r﹣3）2＝r2，即可求出半径．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB于M，BN⊥AD于N，∴∠BNA＝∠BMQ＝90°，∵∠ABN＝∠ABN，∴∠BQM＝∠A，∵BD=∴∠C＝∠A，∴∠C＝∠BQM，∴BQ＝BC；（2）解：由（1）得BC＝BQ＝5，∠BMC＝∠BMO＝90°∴在Rt△BMC中，BM=B设圆心为O，连接BO，设BO＝r，则OM＝r﹣3，∴在Rt△BMO中，BM2+OM2＝OB2，即42+（r﹣3）2＝r2，解得：r=25即⊙O的半径为256【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，正确作出辅助线、灵活运用相关定理是解题的关键，注意勾股定理的应用．22．（7分）（2022秋•洛阳期末）【阅读材料】若x2+y2+8x﹣6y+25＝0，求x，y的值．解：（x2+8x+16）+（y2﹣6y+9）＝0，（x+4）2+（y﹣3）2＝0，∴x+4＝0，y﹣3＝0，∴x＝﹣4，y＝3．【解决问题】（1）已知m2+n2﹣12n+10m+61＝0，求（m+n）2023的值；【拓展应用】（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，且b，c满足b2+c2＝8b+4c﹣20，a是△ABC中最长的边，求a的取值范围．【分析】（1）将61拆分为25和36，再根据完全平方公式配方解答；（2）先根据阅读材料求出b、c的值，再根据三角形三边关系解答．【解答】解：（1）∵m2+n2﹣12n+10m+61＝0，将61拆分为25和36，可得：（m2+10m+25）+（n2﹣12n+36）＝0，根据完全平方公式得（m+5）2+（n﹣6）2＝0，∴m+5＝0，n﹣6＝0，∴m＝﹣5，n＝6，∴（m+n）2023＝（﹣5+6）2023＝1．（2）∵b2+c2＝8b+4c﹣20，将61拆分为25和36，可得：b2+c2﹣8b﹣4c+20＝0，根据完全平方公式得（b2﹣8b+16）+（c2﹣4c+4）＝0，（b﹣4）2+（c﹣2）2＝0，∴b﹣4＝0，c﹣2＝0，∴b＝4，c＝2．∵a是△ABC中最长的边，∴4≤a＜6，即a的取值范围为4≤a＜6．【点评】本题考查了配方法的应用，根据完全平方公式进行配方是解题的关键．23．（8分）（2022•息烽县二模）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过O点作OE⊥AC，垂足为E．（1）填空：∠CAB＝度；（2）求OE的长；（3）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF，AC和弧FC围成的图形（阴影部分）的面积S．【分析】（1）根据圆周角定理求得∠ACB＝90°，∠B＝∠D＝60°，即可求得∠CAB＝30°；（2）由∠CAB＝30°求出BC，判断出OE是△ABC的中位线，就可得出OE的长；（3）连接OC，将阴影部分的面积转化为扇形FOC的面积．【解答】解：（1）AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠D＝60°，∴∠B＝60°（圆周角定理），∴∠CAB＝30°，故答案为：30；（2）∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，AB＝6，∴BC=12∵OE⊥AC，∴OE∥BC，又∵点O是AB中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE=12BC（3）连接OC，∵OE⊥AC，∴AE＝CE，∵∠AEO＝90°，∠CAB＝30°，∴OE=12OA=12∵∠OEC＝∠FEA，∴△COE≌△AFE（SAS），故阴影部分的面积＝扇形FOC的面积，S扇形FOC=60π×3即可得阴影部分的面积为32π【点评】本题考查了扇形的面积计算、含30°角的直角三角形的计算及圆周角定理及垂径定理的知识，综合考查的知识点比较多，难点在第二问，注意将不规则图形转化为规则图形．24．（9分）（2023春•永兴县校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有两个实数根．（1）试求k的取值范围；（2）若x12+（3）若此方程的两个实数根为x1，x2，且满足|x1|+|x2|＝2，试求k的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；（2）由根与系数的关系可得出x1+x2＝2k，x1x2=k2+k+1（3）由（2）可知：x1+x2＝2k，x1x2=k2+k+1，根据k2+k+1=(k+12)2+34＞0，可得x1x【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有两个实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2+k+1）≥0，解得：k≤﹣1；（2）∵方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0的两个实数根为x1，x2，∴x1+x2＝2k，x1∵x1∴x1∴（2k）2﹣2（k2+k+1）＝10，整理得：k2﹣k﹣6＝0，解得：k＝3或者k＝﹣2，∵根据（1）有k≤﹣1，即k＝﹣2；（3）由（2）可知：x1+x2＝2k，x1∵k2∴x1x2＞0，∵|x1|+|x2|＝2，∴(|x∴x1∵x1x2＞0，∴x1∴(x∴（2k）2＝4，∴k＝±1，∵根据（1）有k≤﹣1，即k＝﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，灵活运用完全平方公式的变形是解题的关键．25．（9分）（2022秋•玄武区校级月考）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．①经过几秒，PQ的长度为42cm？②线段PQ能否将△ABC分成两部分，使得△PBQ的面积是四边形APQC的面积的2倍？若能，求出运动时间；若不能请说明理由；若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？（直接写出答案）【分析】（1）①设经过t秒，则AP＝tcm，BQ＝2tcm，BP＝（6﹣t）cm，利用勾股定理即可；②当△PBQ的面积是四边形APQC的面积的2倍，则S△PBQ=23S△ABC，即可列出关于（2）分0≤t＜4或4＜t≤6或t＞6三种情形，分别表示出△PBQ的面积即可解决问题．【解答】解：（1）设经过t秒，则AP＝tcm，BQ＝2tcm，∴BP＝（6﹣t