数学知识导航单调性

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1.3导数在研究函数中的应用1。3。1单调性知识梳理1。如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的)____________，这一区间叫做y=f(x）的____________，在____________上增函数的图象是____________，减函数的图象是下降的。2。设函数y=f(x）在某个区间内可导，如果____________,那么f（x）为增函数；如果____________，那么f（x）为减函数；如果在某个区间内恒有f′(x)=0，则f(x）为____________。知识导学要学好本节内容，重要的是要掌握好怎样利用导数研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数f′(x），通过判断函数的定义域被导数为零的点所划分的各区间内f′(x）的符号来确定函数f（x)在该区间上的单调性.疑难突破1。本节内容的重点是利用函数的导数来判断函数的单调性，难点在于如何把握导数的符号与函数单调性之间的关系.若y=f(x)在（a，b)内对任何x，都有f′（x）＞0，则f（x）在（a，b）内为增函数对吗？反之成立吗？剖析:对,反之不成立.例如y=x3在x∈R上恒为增函数,但f′(x)=3x2≥0.2.判断函数y=f（x)在某一区间内有f′（x）＞0〔或f′（x)＜0〕是函数y=f(x）在该区间上为增(或减）函数的什么条件?剖析：在某一区间内f′(x）＞0〔或f′（x)＜0〕是函数y=f（x）在该区间上为增(或减)函数的充分条件.典题精讲【例1】讨论下列函数的单调性.（1）f（x）=ax—a—x（a＞0且a≠1）；（2)f（x）=(-1＜x＜1，b≠0)。思路分析：利用导数研究函数单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数f′（x)，由函数定义域中导数为零的点所划分的各区间内f′(x)的符号来确定f(x）在该区间的单调性，当给定函数含有字母参数时，要运用分类讨论的思想方法。解：（1)函数定义域为R.f′(x)=axlna—a—x·lna·（—x）′=lna（ax+a—x）。当a＞1时，lna＞0，ax+a—x＞0,∴f′(x)＞0。∴函数f（x）在(—∞，+∞）上是单调增函数；当0＜a＜1时，lna＜0，ax+a-x＞0，∴f′（x)＜0。∴函数f（x）在(—∞,+∞）上是减函数.（2)函数f(x)是奇函数，只需讨论函数在（0，1）上的单调性。当0＜x＜1时，f′(x)=b·.若b＞0，则f′（x）＜0，函数f（x）在(0，1)上是减函数；若b＜0,则f′（x)＞0,函数f(x)在（0，1）上是增函数.又函数f（x）是奇函数,而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性,所以当b＞0时，函数f(x)在(—1,1)上是减函数；当b＜0时，函数f(x）在（—1，1)上是增函数.绿色通道：在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f′(x）的符号，否则会产生错误判断.明确利用导数判断函数单调性的基本步骤：(1)确定函数f（x)的定义域；（2)求导数f′(x);(3）在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x）＞0和f′（x)＜0；(4)确定f（x）的单调区间.变式训练:求下列函数的单调区间,并指出其单调性.（1)y=2x-lnx；（2）y=+cosx;(3）y=x3-x。思路分析：按判断函数单调性的方法解之即可。解：(1）函数的定义域为(0,+∞),其导数f′(x)=.令＞0,解得x＞；令＜0,得0＜x＜.因此,（，+∞)为该函数的单调增区间,（0,）为该函数的单调减区间.（2）函数的定义域为R，f′(x)=—sinx。令-sinx＜0，解得2kπ+＜x＜2kπ+（k∈Z）；令—sinx＞0，解得2kπ—＜x＜2kπ+(k∈Z).因此f（x）在（2kπ+，2kπ+)(k∈Z)上为减函数，在(2kπ-,2kπ+)（k∈Z)上为增函数.(3)函数的定义域为R,令y′=3x2-1＞0，得x＜。令y′=3x2—1＜0，得,∴y=x3—x有三个单调区间。其中在(-∞,)和(，+∞)上是增函数，在(，）上为减函数。【例2】已知x∈R，求证：ex≥x+1。思路分析：首先需构造函数，对函数进行求导并判断函数的单调性。证明：令f(x）=ex—x-1，∴f′（x)=ex—1.∵x∈R,∴ex-1≥0恒成立，即f′（x)≥0。∴f（x）在x∈R上为增函数.又∵f（0)=0，∴当x∈R时,f（x）≥f（0）,即ex-x-1≥0。∴ex≥x+1。绿色通道：这是一类构造函数再求导的题目，这种方法常用来证明不等式的成立.变式训练：证明不等式ln(1+x）＞x—x2(x＞0）。证明：令f（x)=ln（1+x）—x+x2，则f′(x)=。当x＞—1时，f′(x）＞0，因此f(x）在(-1，+∞)内为增函数.于是当x＞0时，f(x）＞f(0）=0。∴当x＞0时，ln（1+x）＞x—x2.【例3】已知f（x)=x2+c,且f［f（x）］=f（x2+1）。（1）设g(x）=f［f(x)］，求g（x)的解析式；（2）设φ（x)=g（x）—λf（x）,试问：是否存在实数λ，使φ（x)在（-∞，-1）内为减函数，且在（—1,0）内是增函数.思路分析：根据题设条件可以求出φ（x)的表达式,对于探索性问题，一般先对结论作肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，由推证结果是否出现矛盾来作出判断。解题的过程实质是一种转化的过程，由于函数φ（x)是可导函数,因此选择好解题的突破口,要充分利用函数的单调性构造等价的不等式，确定适合条件的参数λ的取值范围,使问题获解.解：(1)由题意得f［f(x）］=f(x2+c）=(x2+c)2+c，f（x2+1）=（x2+1)2+c，∵f［f（x）］=f(x2+1）,∴(x2+c)2+c=（x2+1）2+c.∴x2+c=x2+1。∴c=1。∴f(x）=x2+1,g(x）=f[f(x）]=f（x2+1)=（x2+1）2+1.(2)φ(x）=g(x）—λf（x）=x4+（2—λ）x2+（2-λ)。若满足条件的λ存在,则φ′(x)=4x3+2(2-λ)x。∵函数φ(x)在（—∞，-1）上是减函数,∴当x＜—1时,φ′（x)＜0,即4x3+2(2—λ）x＜0对于x∈(—∞,-1)恒成立。∴2（2-λ）＞—4x2。∵x＜-1,∴—4x2＜-4。∴2（2-λ)≥-4。解得λ≤4。又函数φ(x)在（—1,0）上是增函数,∴当-1＜x＜0时，φ′（x）＞0,即4x2+2(2-λ）x＞0对x∈（-1,0)恒成立。∴2（2—λ)＜-4x2。∵-1＜x＜0。∴-4＜4x2＜0.2（2-λ)≤—4，解得λ≥4，故当λ=4时,φ(x）在(-∞，-1）上是减函数，在（—1,0)上是增函数,即满足条件的λ存在。绿色通道：函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式,它包含着运动、变化，也就存在着量与量之间的相互依赖、相互制约的关系，因此挖掘题目中隐含条件则是打开解题思路的重要钥匙。具体到解题的过程，学生最大思维障碍是迷失方向,不知从何处入手去沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的解决,不善于应用f(x)＜a恒成立［f（x）max］＜a和f(x)＞a恒成立[f(x)min］＞a。变式训练：当x＞0时,证明不等式ex＞1+x+x2成立.证明：设f（x）=ex—1-x-x2则f′（x）=ex—1-x.下面证明g(x）=ex—1-x在x＞0时恒为正。∵g′（x）=ex-1,当x＞0时,g′(x）=ex-1＞0，∴g(x)在(0，+∞)上为增函数.当x＞0时,g(x)＞g（0)=0，即f′（x）在(0,+∞）上恒为正.∴f(x）在(0,+∞）上为增函数。又f（0)=e0-1—0—0=0，∴x＞0时,f(x)＞f(0）=0。∴ex-1—x—x2＞0,即x＞0时，ex＞1+x+x2成立。问题探究问题：研究函数单调性的必要条件是什么？导思：此问题主要考查学生逆向思维能力，考虑问题要全方位进行，有利于培养数学思维能力。探究：设函数y=f（x)在某个区间内可导，如果