数学知识导航：向量的线性运算

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.1向量的线性运算知识梳理1.向量的概念与表示（1)向量：具有大小和方向的量称为向量.看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向这两个要素.(2)向量的模:向量的长度叫做向量的模,向量a的模记作｜a｜.（3）特殊的向量零向量：模是零的向量叫做零向量，记作0,其方向不确定，它可以朝向任意方向。单位向量：给定一个非零向量a，则与a同方向且长度为1的向量，叫做向量a的单位向量。（4）向量的表示方法几何表示：用有向线段来表示。此时有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的模。字母表示：用单个斜黑体的小写英文字母表示，通常印刷体如a、b、c、…，而手写体用带箭头的小写字母表示如、、、…,此时应特别注意；字母上必须加箭头；还可用两个大写英文字母表示，先写始点，后写终点，字母上面要带箭头.例如:始点为A，终点为B的向量表示为。2。向量间关系(1）相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，即相等的向量.(2)相反向量：与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作—a.（3)共线(平行)向量：通过有向线段的直线，叫做向量的基线。如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行.3。向量的加法（1)向量加法法则①三角形法则:根据加法的定义求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的三角形法则.其具体做法是将向量b平移，使其起点与另一向量a的终点重合，则以a的起点为起点,b的终点为终点的向量就是向量a与b的和向量。②平行四边形法则：已知两个不共线向量a、b（如图2—1-1)，作=a，=b，则A、B、D三点不共线,以、为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量=a+b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则。图2-1③多边形法则:已知ｎ个向量，依次把这ｎ个向量首尾相接，以第一个向量的起点为起点,第ｎ个向量的终点为终点的向量叫做这ｎ个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则。多边形法则实质就是三角形法则的连续应用。（2）向量加法的几何意义向量加法遵循三角形法则和平行四边形法则，因此，向量加法的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义.（3）向量加法的运算律①交换律:a+b=b+a；②结合律:(a+b)+c=a+（b+c).4。向量的减法（1）向量的减法是向量加法的逆运算，求两个向量的差要把两个向量的起点放在一起，它们的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量。(2）利用相反向量的定义：一个向量减去另一个向量等于加上另一个向量的相反向量。(3)向量减法的作图法：一是利用向量减法的定义直接作图，二是利用相反向量作图。5。向量的数乘（1)实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，规定：λa的长度|λa｜=｜λ｜·｜a｜.若a≠0，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时,λa的方向与a的方向相反.当λ=0或a=0时,λa=0。（2）向量数乘的几何意义：把向量a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小。(3）向量数乘的运算律设λ、μ为实数，则①(λ+μ)a=λa+μa；②λ(μa)=（λμ)a；③λ（a+b）=λa+λb.6.向量的线性运算(1）向量的加法、减法和向量数乘的综合运算，叫做向量的线性运算.若一个向量c是由另一些向量的线性运算得到的，我们就说这个向量c可以用另一些向量线性表示.(2）向量的线性运算也叫向量的初等运算.它们的运算法则在形式上很像实数加法、减法、乘法满足的运算法则,但它们在具体含义上是不同的.不过由于它们在形式上相类似，因此,实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形方法在向量的线性运算中都可以使用。7。平行向量基本定理定理：如果a=λb,则a∥b；反之，如果a∥b(b≠0)，则一定存在一个实数λ，使得a=λb。8.轴上向量的坐标及坐标运算(1)规定了方向和长度单位的直线叫做轴.轴没有规定原点，与我们以前学过的数轴不同。在轴上选一定点O作为原点,轴就成了数轴。取单位向量e，使e的方向与轴l的方向相同，对轴上的任意向量a，一定存在唯一实数x，使a=xe；反之，任意给定一个实数x，总能在轴l上作一个向量a=xe，x叫做a在轴l上的坐标(或数量)，向量e叫做轴l的基向量。（2)x的绝对值等于a的长；当a与e同向时，x是正数；当a与e反向时，x是负数.实数与轴上的向量建立了一一对应关系.(3）向量相等:设a=x1e,b=x2e,当x1=x2时,a=b。即轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等。（4）两个向量的和：设a=x1e，b=x2e，则a+b=(x1+x2）e.即轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.注意:①给定轴上向量的坐标，求两向量的和变成了实数的运算；②向量的坐标常用AB来表示，即=ABe.表示向量，而AB表示数量,且有AB+BA=0.(5)轴上向量的坐标：在数轴x上,已知点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则AB=x2—x1，即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标,在运用此公式时要注意坐标顺序。(6)数轴上两点间的距离公式：在数轴x上，点A的坐标为x1,点B的坐标为x2，则|AB|=｜x2-x1|。知识导学学好本节一定要弄清概念，注意类比、比较地去学习概念；时刻注意向量与数量的区别；一个向量用其他向量的线性运算来表示是解决一类问题的关键;注意转化与化归的思想应用.疑难突破1。向量和有向线段有何区别与联系？剖析：疑点是向量和有向线段还有区别吗？其突破的方法是对概念的比较，通常是从概念的内涵和外延上来讨论.向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段。它们的联系是：向量可以用有向线段来表示,这条有向线段的长度就是向量的长度，有向线段的方向就是向量的方向。它们的区别是:向量是可以自由移动的，故当用有向线段来表示向量时，有向线段的起点是任意的。而有向线段是不能自由移动的，有向线段平移后就不是原来的有向线段了。有向线段仅仅是向量的直观体现,是向量的一种表现形式,不能等同于向量；有向线段有平行和共线之分，而向量的平行和共线是相同的，是同一个概念。2。平行向量基本定理有何应用？剖析:难点是学习了平行向量基本定理后，对定理的应用陷入茫然。难以突破是因为对平行向量基本定理的理解不够彻底。下面分四方面来讨论。（1)证明两向量共线：证明a∥b转化为证明a=λb(λ为实数）。例如：设=a，=b，=(a+b），求证:∥。证明：由题意，得=a-b，=(a+b)—b=(a-b),∴=。∴∥。（2）证明三点共线：证明点A、B、C共线，转化为证明∥或∥或∥.例如：=2a+10b，=—2a+8b，=3a—3b，求证：A、B、D三点共线.证明：∵，∴=-2a+8b+3a—3b=a+5b∴=2。∴∥.∴A、B、D三点共线.(3）证明两直线平行：证明两直线平行转化为证明它们的方向向量共线.例如：如图2—图2-1-2求证：DE∥BC.证明：∵AD=xAB,AE=xAC，∴=x,=x.∴=x（)=x。∴∥。∴DE∥BC.(4)证明两平行(或共线）线段间的长度关系: