数学知识导航：回归分析的基本思想及其初步应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精知识网络3。1回归分析的基本思想及其初步应用知识梳理1。回归分析(1）函数关系是一种_____________关系,而相关关系是一种_____________关系。(2）回归分析是对具有_____________关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。(3)线性回归分析的步骤是：_____________、_____________、_____________。(4)对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1），(x2,y2），…，(xn，yn),回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为_____________、_____________.2。相关系数（1）样本相关系数的计算公式为_____________。(2)当_____________时，表示两个变量正相关，当_____________时，表示两个变量负相关.（3）r的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性_____________;r的绝对值越接近于_____________时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系。（4)通常，当r大于_____________时,认为两个变量具有很强的线性相关关系.3.随机误差(1）随机误差的均值E(e）=_____________,方差D（e)=_____________。(2)线性回归模型的完整表达式是_____________。在线性回归模型中，随机误差e的方差越小,通过回归直线预报真实值y的精确度越_____________.（3)对于样本点（x1，y1)，(x2，y2),…,（xn,yn）而言，相应于它们的随机误差为_____________,其估计值为_____________。称为相应于（xi，yi）的.可以用_____________作为σ2的估计量，Q（)称为_____________。4.简单的非线性回归分析（1)我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果,其计算公式是_____________。(2)R2越大,意味着残差的平方和_____________，也就是说,模型拟合的效果越_____________.知识导学要学好本节内容，要先巩固必修Ⅲ中与此有关的基础知识,并结合生活中的实际，在应用中体现知识的联系.对于回归分析我们首先要知道它的意义是：可以对一些不确定关系进行预报。一般情况下，都是根据数据的规律，转换为最接近的一条直线，根据直线上对应点的值预报可能出现的情况.这就是线性回归.误差分析主要研究预报的准确度，为了使这种预报更加精确，我们对预报的误差进行分析，尽量使其降低到最小情况,这就需要对一组数据进行分析,找出一种最能代表误差的量，于是就出现了相关系数等概念，在此基础上来分析随机误差可能出现的结果,从而给出线性回归模型的完整表达式,根据表达式可以研究一般的相关关系，对生产、生活中的实际问题进行更准确的数值预报。有些数据不在一条直线附近,也就是说,不是所有的数据都能直接利用线性回归进行分析,但是为了研究方便，我们通常也是用一条最接近的线性回归模型进行拟合，这里亦需要考虑怎样减小误差，使拟合的数据尽量与实际数据相近.这就是简单的非线性回归问题.因此，对误差的分析也是解决问题的关键.疑难突破1.相关分析的意义和作用剖析:函数关系是大家比较熟悉的概念,它是指变量之间的确定性关系，即当X取某一数值x时，变量Y按照某种规则总有一个或多个确定的数值与之对应.相关关系则是指变量之间的非确定性关系,由于随机因素的干扰,当变量X取确定值x时,变量Y的取值不确定，是一个随机变量，但它的概率分布与X的取值有关.这里，我们看到了函数关系与相关关系的本质区别,在函数关系中变量X对应的是变量Y的确定值,而在相关关系中,变量X对应的是变量Y的概率分布.换句话说,相关关系是随机变量之间或随机变量与非随机变量之间的一种数量依存关系,对于这种关系，只能运用统计方法进行研究.通过对相关关系的研究又可以总结规律，从而指导人们的生活与生产实践.2。举例说明怎样确定线性回归的模型剖析：在确定数据适合哪种模型之前首先应该将观测量的数据绘图，以便进行简单的观测。例如：为了研究建立初始工资与现有工资的回归模型,首先对观测量制图如下图所示。观测量数据绘图从图中可以发现初始工资与当前工资的趋势大概呈线性关系,可以建立线性方程。如果观测量数据不呈线性分布，那么还可以根据其他方程模型的观测量分布图形的特点以及对建立各方程后所得的R2进行比较以便确定一种最佳方程式.一般说来，如果所有的观测量都落到回归线上，那么R2等于1;如果自变量与因变量之间没有回归关系，那么R2等于0。另外,我们通过对观测量绘图的仔细观察还可以发现一些奇异值，如本图中画圈的观测值,因为不可能哪一位教师的