数学章末测试：第二章推理与证明B

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第二章测评B（高考体验卷)(时间：90分钟满分:100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分,共50分）1．(2013北京高考)设a，b,c∈R,且a＞b,则(）A．ac＞bcB．eq\f(1,a)＜eq\f（1，b）C．a2＞b2D．a3＞b32．（2013广东高考）设l为直线,α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是（)A．若l∥α,l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β,l∥α,则l⊥β3．(2012江西高考）观察下列事实：|x|＋｜y｜＝1的不同整数解（x，y)的个数为4，|x|＋｜y|＝2的不同整数解（x,y)的个数为8，｜x｜＋|y｜＝3的不同整数解(x，y）的个数为12，…，则|x｜＋|y｜＝20的不同整数解(x,y)的个数为（)A．76B．80C．86D．924．(2014山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根"时，要做的假设是(）A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根5．(2011江西高考)观察下列各式：72＝49，73＝343，74＝2401，…,则72011的末两位数字为（)A．01B．43C．07D．496．（2012江西高考）观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3,a3＋b3＝4,a4＋b4＝7，a5＋b5＝11,…,则a10＋b10＝(）A．28B．76C．123D．1997．(2013福建高考）若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是（）A．[0,2]B．［－2,0］C．［－2，＋∞)D．（－∞，－2］8．（2013辽宁高考）已知点O(0,0)，A(0,b），B(a,a3)．若△OAB为直角三角形，则必有(）A．b＝a3B．b＝a3＋eq\f(1，a）C．(b－a3）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(b－a3－\f(1,a))）＝0D．｜b－a3|＋eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1（b－a3－\f（1，a）)）＝09．(2012福建高考）已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a＜b＜c,且f(a）＝f(b)＝f（c）＝0.现给出如下结论：①f（0）f(1)＞0；②f(0）f（1）＜0；③f（0)f（3）＞0；④f(0)f（3）＜0。其中正确结论的序号是(）A．①③B．①④C．②③D．②④10．（2012浙江高考）设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数，（)A．若ea＋2a＝eb＋3b，则a＞bB．若ea＋2a＝eb＋3b，则a＜bC．若ea－2a＝eb－3b，则a＞bD．若ea－2a＝eb－3b，则a＜b二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．（2014北京高考）顾客请一位工艺师把A,B两件玉石原料各制成一件工艺品．工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客．两件原料每道工序所需时间(单位：工作日)如下：则最短交货期为__________个工作日．12．（2014福建高考)已知集合｛a,b,c｝＝{0，1,2｝，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确,则100a＋10b＋c等于__________．13．（2014课标全国Ⅰ高考)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多,但没去过B城市；乙说:我没去过C城市;丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为__________．14．（2014陕西高考)已知f（x)＝eq\f（x,1＋x）,x≥0，若f1（x)＝f(x)，fn＋1（x）＝f（fn（x）），n∈N＋，则f2014(x）的表达式为__________．15．（2012湖南高考）对于n∈N*，将n表示为n＝ak×2k＋ak－1×2k－1＋…＋a1×21＋a0×20，当i＝k时，ai＝1，当0≤i≤k－1时，ai为0或1。定义bn如下：在n的上述表示中，当a0，a1，a2,…，ak中等于1的个数为奇数时，bn＝1;否则bn＝0.（1)b2＋b4＋b6＋b8＝________；（2）记cm为数列｛bn}中第m个为0的项与第m＋1个为0的项之间的项数,则cm的最大值是________．三、解答题（本大题共4小题，共25分)16．（6分)（2012福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°;②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin（－18°）cos48°；⑤sin2(－25°）＋cos255°－sin（－25°)cos55°。(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．17．（6分)(2013北京高考)如图,在四棱锥P－ABCD中,AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD。E和F分别是CD和PC的中点．求证:(1)PA⊥底面ABCD；（2)BE∥平面PAD；（3）平面BEF⊥平面PCD。18．(6分)（2013湖北高考）已知Sn是等比数列｛an}的前n项和，S4,S2,S3成等差数列，且a2＋a3＋a4＝－18.(1）求数列｛an}的通项公式；(2）是否存在正整数n，使得Sn≥2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．

参考答案一、1．解析：A选项中若c小于等于0则不成立，B选项中若a为正数b为负数则不成立，C选项中若a，b均为负数则不成立，故选D。答案：D2．解析:如图，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，对于A，设l为AA1,平面B1BCC1，平面DCC1D1为α，β.A1A∥平面B1BCC1，A1A∥平面DCC1D1，而平面B1BCC1∩平面DCC1D1＝C1C;对于C，设l为A1A，平面ABCD为α,平面DCC1D1为β，A1A⊥平面ABCD，A1A∥平面DCC1D1,而平面ABCD∩平面DCC1D1＝DC；对于D,设平面A1ABB1为α，平面ABCD为β，直线D1C1为l，平面A1ABB1⊥平面ABCD，D1C1∥平面A1ABB1，而D1C1∥平面ABCD。故A，C,D都是错误的．而对于B,根据垂直于同一直线的两平面平行，知B正确．答案：B3．解析：由已知条件，得｜x｜＋｜y|＝n（n∈N＋）的不同整数解（x，y)的个数为4n,所以|x｜＋｜y|＝20的不同整数解（x，y)的个数为80,故选B。答案：B4．解析:“至少有一个”的否定为“没有”．答案：A5．解析：（法一）由题意得,72011＝7502×4＋3＝（74）502·73，由于74＝2401末位为1，倒数第二位为0，因此2401502的末两位定为01。又73＝343，∴（74)502·73的末两位定为43.（法二）用归纳法:∵72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807,76＝117649,77＝823543，…,由上知末两位有周期性且T＝4。又72011＝7502×4＋3，∴72011的末两位与73的末两位一样为43.答案:B6．解析：利用归纳法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123。规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．答案:C7．解析：∵2x＋2y＝1≥2eq\r(2x＋y)，∴eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，2)）)2≥2x＋y,即2x＋y≤2－2.∴x＋y≤－2。答案：D8．解析:若∠OBA为直角，则eq\o(OB，\s\up6（→））·eq\o(AB，\s\up6(→)）＝0，即a2＋（a3－b）·a3＝0，又a≠0，故b＝a3＋eq\f(1，a）；若∠OAB为直角时，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o（AB,\s\up6（→)）＝0，即b(a3－b）＝0，得b＝a3；若∠AOB为直角，则不可能．所以b－a3－eq\f（1,a)＝0或b－a3＝0，故选C.答案：C9．解析：设g（x）＝x3－6x2＋9x＝0,则x1＝0，x2＝x3＝3，其图象如下图：要使f（x)＝x3－6x2＋9x－abc有3个零点,需将g（x）的图象向下平移，如图所示:又f′(x)＝3x2－12x＋9＝0时，x1＝1，x2＝3,即得f（1）是极大值，f(3）是极小值．故由图象可知f(0）·f(1）＜0，f（0）·f（3）＞0.答案：C10．解析:考查函数y＝ex＋2x为单调增函数,若ea＋2a＝eb＋2b，则a＝b;若ea＋2a＝eb＋3b，∴a＞b.故选A.答案：A二、11．解析:最短交货期为先由徒弟完成原料B的粗加工，共需6天，然后工艺师加工该件工艺品，需21天;徒弟可在这几天中完成原料A的粗加工；最后由工艺师完成原料A的精加工，需15个工作日．故交货期为6＋21＋15＝42个工作日．答案：4212．解析：由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况：(1）当①成立时，则a≠2,b≠2,c＝0,此种情况不成立;(2）当②成立时，则a＝2，b＝2，c＝0，此种情况不成立；（3）当③成立时，则a＝2，b≠2，c≠0，即a＝2，b＝0,c＝1，所以100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201。故答案为201。答案：20113．解析:由丙的说法“三人去过同一城市”知乙至少去过一个城市，而甲说去过的城市比乙多,且没去过B城市，因此甲一定去过A城市和C城市．又乙没去过C城市,所以三人共同去过的城市必为A,故乙去过的城市就是A。答案:A14．解析：依题意，f1（x)＝f（x)＝eq\f（x，1＋x），f2（x）＝f（f1（x))＝feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（x,1＋x))）＝eq\f（\f(x，1＋x)，1＋\f(x,1＋x)）＝eq\f（x,1＋2x），f3（x)＝f（f2（x）)＝feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（x,1＋2x))）＝eq\f(\f(x,1＋2x），1＋\f（x，1＋2x)）＝eq\f(x，1＋3x），…,由此可猜测fn(x）＝eq\f（x,1＋nx）,故f2014(x)＝eq\f(x,1＋2014x）.答案：eq\f（x，1＋2014x)15．解析：（1)由题意知2＝1×2，b2＝1；4＝1×22,b4＝1；6＝1×22＋1×2,b6＝0；8＝1×23，b8＝1,所以b2＋b4＋b6＋b8＝3。（2）①若n为偶数，且bn＝0,则n＝ak×2k＋ak－1×2k－1＋…＋a1×21＋a0×20中a0＝0，且ak，ak－1，…a1中有偶数个1，n＋1＝ak×2k＋ak－1×2k－1＋…＋a1×21＋1×20，bn＋1＝1n＋2＝am′×2m＋am－1′×2m－1＋…＋a1′×21＋0×20，若bn＋2＝0，此时cm＝1；若bn＋2＝1,则n＋3＝am′×2m＋am－1′×2m－1＋…＋a1′×21＋1×20,则bn＋3＝0，此时cm＝2。②若n为奇数,n＝ak×2k＋…＋1×20，且bn＝0，则n＋1＝am′×2m＋…＋a1′×21＋0×20，若bn＋1＝0,此时cm＝0。若bn＋1＝1，则n＋2＝am′×2m＋…＋a1′×21＋1×20，bn＋2＝0。此时，cm＝1。综上所述，cm的最大值为2。(注:也可列举连续的几项，作出猜测）答案：（1）3(2）2三、16．解法一：（1)选择②式,计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－eq\f（1，2)sin30°＝1－eq\f(1，4）＝eq\f（3，4）.(2)三角恒等式为sin2α＋cos2（30°－α）－sinαcos(30°－α)＝eq\f(3,4)。证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos（30°－α)＝sin2α＋（cos30°cosα＋sin30°sinα）2－sinα（cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋eq\f（3,4)cos2α＋eq\f（\r(3）,2)sinαcosα＋eq\f（1,4)sin2α－eq\f（\r（3）,2）sinαcosα－eq\f（1,2)sin2α＝eq\f(3，4）sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＝eq\f（3，4）.解法二：(1)同解法一．(2)三角恒等式为sin2α＋cos2（30°－α)－sinαcos（30°－α）＝eq\f（3，4）。证明如下：sin2α＋cos2(30°－α）－sinαcos（30°－α)＝eq\f(1－cos2α，2）＋eq\f(1＋cos60°－2α，2）－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝eq\f（1，2）－eq\f(1,2）cos2α＋eq\f(1，2）＋eq\f(1，2)（cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－eq\f（\r（3）,2）sinαcosα－eq\f（1，2）sin2α＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)cos2α＋eq\f(1,2）＋eq\f（1,4）cos2α＋eq\f(\r(3），4）sin2α－eq\f(\r(3），4)sin2α－eq\f(1，4)（1－cos2α）＝1－eq\f（1，4)cos2α－eq\f（1,4）＋eq\f(1,4）cos2α＝eq\f（3,4）。17．证明：(1)因为平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,所以PA⊥底面ABCD.（2）因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD。又因为BE平面PAD，AD平面PAD,所以BE∥平面PAD。(3）因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD。所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.所以CD⊥平面BEF。所以平面BEF⊥平面PCD。18．解：(1）设数列｛an}的公比为q，则a1≠0，q≠0.由题意得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(S2－S4＝S3－S2,,a2＋a3＋a4＝－18,）)即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（－a1q2－a1q3＝a1q2，,a1q1＋q＋q2＝－18，))解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a1＝3，，q＝－2.))故数列｛an｝的通项公式为an＝3（－2）n－1.（2)由(1)有Sn＝eq\f(3·［1－－2n],