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文档简介
2023届江苏省泰兴市洋思中学高三期初调研测试数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,其图象关于直线对称,为了得到函数的图象,只需将函数的图象上的所有点()A.先向左平移个单位长度,再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标保持不变B.先向右平移个单位长度,再把所得各点横坐标缩短为原来的,纵坐标保持不变C.先向右平移个单位长度,再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标保持不变D.先向左平移个单位长度,再把所得各点横坐标缩短为原来的,纵坐标保持不变2.已知定义在R上的偶函数满足,当时,,函数(),则函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和为()A.2 B.4 C.5 D.63.已知,则的大小关系为A. B. C. D.4.已知向量,,若,则()A. B. C. D.5.抛物线方程为,一直线与抛物线交于两点,其弦的中点坐标为,则直线的方程为()A. B. C. D.6.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.若,的面积为,则()A.5 B. C.4 D.167.某市政府决定派遣名干部(男女)分成两个小组,到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作,若要求每组至少人,且女干部不能单独成组,则不同的派遣方案共有()种A. B. C. D.8.若函数的图象上两点,关于直线的对称点在的图象上,则的取值范围是()A. B. C. D.9.已知圆关于双曲线的一条渐近线对称,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.10.使得的展开式中含有常数项的最小的n为()A. B. C. D.11.是虚数单位,复数在复平面上对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.的展开式中的系数是-10,则实数()A.2 B.1 C.-1 D.-2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.函数在区间(-∞,1)上递增,则实数a的取值范围是____14.直线过圆的圆心,则的最小值是_____.15.若的展开式中各项系数之和为32,则展开式中x的系数为_____16.已知全集,,则________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若函数在区间上的最小值为,求m的值.18.(12分)已知函数.(1)当时,求的单调区间;(2)若函数有两个极值点,,且,为的导函数,设,求的取值范围,并求取到最小值时所对应的的值.19.(12分)如图,三棱柱中,侧面是菱形,其对角线的交点为,且.(1)求证:平面;(2)设,若直线与平面所成的角为,求二面角的正弦值.20.(12分)某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计,绘制了频率分布直方图(如图所示),规定80分及以上者晋级成功,否则晋级失败.晋级成功晋级失败合计男16女50合计(1)求图中的值;(2)根据已知条件完成下面列联表,并判断能否有的把握认为“晋级成功”与性别有关?(3)将频率视为概率,从本次考试的所有人员中,随机抽取4人进行约谈,记这4人中晋级失败的人数为,求的分布列与数学期望.(参考公式:,其中)0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.02421.(12分)如图,四棱锥中,平面平面,底面为梯形.,且与均为正三角形.为的中点为重心,与相交于点.(1)求证:平面;(2)求三棱锥的体积.22.(10分)如图,三棱柱中,与均为等腰直角三角形,,侧面是菱形.(1)证明:平面平面;(2)求二面角的余弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
由函数的图象关于直线对称,得,进而得再利用图像变换求解即可【详解】由函数的图象关于直线对称,得,即,解得,所以,,故只需将函数的图象上的所有点“先向左平移个单位长度,得再将横坐标缩短为原来的,纵坐标保持不变,得”即可.故选:D【点睛】本题考查三角函数的图象与性质,考查图像变换,考查运算求解能力,是中档题2.B【解析】
由函数的性质可得:的图像关于直线对称且关于轴对称,函数()的图像也关于对称,由函数图像的作法可知两个图像有四个交点,且两两关于直线对称,则与的图像所有交点的横坐标之和为4得解.【详解】由偶函数满足,可得的图像关于直线对称且关于轴对称,函数()的图像也关于对称,函数的图像与函数()的图像的位置关系如图所示,可知两个图像有四个交点,且两两关于直线对称,则与的图像所有交点的横坐标之和为4.故选:B【点睛】本题主要考查了函数的性质,考查了数形结合的思想,掌握函数的性质是解题的关键,属于中档题.3.D【解析】
分析:由题意结合对数的性质,对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.详解:由题意可知:,即,,即,,即,综上可得:.本题选择D选项.点睛:对于指数幂的大小的比较,我们通常都是运用指数函数的单调性,但很多时候,因幂的底数或指数不相同,不能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.在进行指数幂的大小比较时,若底数不同,则首先考虑将其转化成同底数,然后再根据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较,利用图象法求解,既快捷,又准确.4.A【解析】
利用平面向量平行的坐标条件得到参数x的值.【详解】由题意得,,,,解得.故选A.【点睛】本题考查向量平行定理,考查向量的坐标运算,属于基础题.5.A【解析】
设,,利用点差法得到,所以直线的斜率为2,又过点,再利用点斜式即可得到直线的方程.【详解】解:设,∴,又,两式相减得:,∴,∴,∴直线的斜率为2,又∴过点,∴直线的方程为:,即,故选:A.【点睛】本题考查直线与抛物线相交的中点弦问题,解题方法是“点差法”,即设出弦的两端点坐标,代入抛物线方程相减后可把弦所在直线斜率与中点坐标建立关系.6.C【解析】
根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得,再根据面积公式可求得,再代入余弦定理求解即可.【详解】中,,由正弦定理得,又,∴,又,∴,∴,又,∴.∵,∴,∵,∴由余弦定理可得,∴,可得.故选:C【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.7.C【解析】
在所有两组至少都是人的分组中减去名女干部单独成一组的情况,再将这两组分配,利用分步乘法计数原理可得出结果.【详解】两组至少都是人,则分组中两组的人数分别为、或、,
又因为名女干部不能单独成一组,则不同的派遣方案种数为.故选:C.【点睛】本题考查排列组合的综合问题,涉及分组分配问题,考查计算能力,属于中等题.8.D【解析】
由题可知,可转化为曲线与有两个公共点,可转化为方程有两解,构造函数,利用导数研究函数单调性,分析即得解【详解】函数的图象上两点,关于直线的对称点在上,即曲线与有两个公共点,即方程有两解,即有两解,令,则,则当时,;当时,,故时取得极大值,也即为最大值,当时,;当时,,所以满足条件.故选:D【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点,考查了学生综合分析,转化划归,数形结合,数学运算的能力,属于较难题.9.C【解析】
将圆,化为标准方程为,求得圆心为.根据圆关于双曲线的一条渐近线对称,则圆心在渐近线上,.再根据求解.【详解】已知圆,所以其标准方程为:,所以圆心为.因为双曲线,所以其渐近线方程为,又因为圆关于双曲线的一条渐近线对称,则圆心在渐近线上,所以.所以.故选:C【点睛】本题主要考查圆的方程及对称性,还有双曲线的几何性质,还考查了运算求解的能力,属于中档题.10.B【解析】二项式展开式的通项公式为,若展开式中有常数项,则,解得,当r取2时,n的最小值为5,故选B【考点定位】本题考查二项式定理的应用.11.D【解析】
求出复数在复平面内对应的点的坐标,即可得出结论.【详解】复数在复平面上对应的点的坐标为,该点位于第四象限.故选:D.【点睛】本题考查复数对应的点的位置的判断,属于基础题.12.C【解析】
利用通项公式找到的系数,令其等于-10即可.【详解】二项式展开式的通项为,令,得,则,所以,解得.故选:C【点睛】本题考查求二项展开式中特定项的系数,考查学生的运算求解能力,是一道容易题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
根据复合函数单调性同增异减,结合二次函数的性质、对数型函数的定义域列不等式组,解不等式求得的取值范围.【详解】由二次函数的性质和复合函数的单调性可得解得.故答案为:【点睛】本小题主要考查根据对数型复合函数的单调性求参数的取值范围,属于基础题.14.【解析】
直线mx﹣ny﹣1=0(m>0,n>0)经过圆x2+y2﹣2x+2y﹣1=0的圆心(1,﹣1),可得m+n=1,再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出.【详解】∵mx﹣ny﹣1=0(m>0,n>0)经过圆x2+y2﹣2x+2y﹣1=0的圆心(1,﹣1),∴m+n﹣1=0,即m+n=1.∴()(m+n)=22+2=4,当且仅当m=n时取等号.∴则的最小值是4.故答案为:4.【点睛】本题考查了圆的标准方程、“乘1法”和基本不等式的性质,属于基础题.15.2025【解析】
利用赋值法,结合展开式中各项系数之和列方程,由此求得的值.再利用二项式展开式的通项公式,求得展开式中的系数.【详解】依题意,令,解得,所以,则二项式的展开式的通项为:令,得,所以的系数为.故答案为:2025【点睛】本小题主要考查二项式展开式各项系数之和,考查二项式展开式指定项系数的求法,属于基础题.16.【解析】
利用集合的补集运算即可求解.【详解】由全集,,所以.故答案为:【点睛】本题考查了集合的补集运算,需理解补集的概念,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)见解析(2)【解析】
(1)先求导,再对m分类讨论,求出的单调性;(2)对m分三种情况讨论求函数在区间上的最小值即得解.【详解】(1)若,当时,;当时.,所以在上单调递增,在上单调递减若.在R上单调递增若,当时,;当时.,所以在上单调递增,在上单调递减(2)由(1)可知,当时,在上单调递增,则.则不合题意当时,在上单调递减,在上单调递增.则,即又因为单调递增,且,故综上,【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.(1)单调递增区间为,单调递减区间为(2)的取值范围是;对应的的值为.【解析】
(1)当时,求的导数可得函数的单调区间;(2)若函数有两个极值点,,且,利用导函数,可得的范围,再表达,构造新函数可求的取值范围,从而可求取到最小值时所对应的的值.【详解】(1)函数由条件得函数的定义域:,当时,,所以:,时,,当时,,当,时,,则函数的单调增区间为:,单调递减区间为:,;(2)由条件得:,,由条件得有两根:,,满足,△,可得:或;由,可得:.,函数的对称轴为,,所以:,;,可得:,,,则:,所以:;所以:,令,,,则,因为:时,,所以:在,上是单调递减,在,上单调递增,因为:,(1),,(1),所以,;即的取值范围是:,;,所以有,则,;所以当取到最小值时所对应的的值为;【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和单调区间问题,考查利用导数求函数的最值,体现了转化的思想方法,属于难题.19.(1)见解析;(2).【解析】
(1)根据菱形的特征和题中条件得到平面,结合线面垂直的定义和判定定理即可证明;
2建立空间直角坐标系,利用向量知识求解即可.【详解】(1)证明:∵四边形是菱形,,平面平面,又是的中点,,又平面(2)∴直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角.平面,∴直线与平面所成的角为,即.因为,则在等腰直角三角形中,所以.在中,由得,以为原点,分别以为轴建立空间直角坐标系.则所以设平面的一个法向量为,则,可得,取平面的一个法向量为,则,所以二面角的正弦值的大小为.(注:问题(2)可以转化为求二面角的正弦值,求出后,在中,过点作的垂线,垂足为,连接,则就是所求二面角平面角的补角,先求出,再求出,最后在中求出.)【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定以及二面角的求解,属于中档题.20.(1);(2)列联表见解析,有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关;(3)分布列见解析,=3【解析】
(1)由频率和为1,列出方程求的值;(2)由频率分布直方图求出晋级成功的频率,计算晋级成功的人数,填写列联表,计算观测值,对照临界值得出结论;(3)由频率分布直方图知晋级失败的频率,将频率视为概率,知随机变量服从二项分布,计算对应的概率值,写出分布列,计算数学期望.【详解】解:(1)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1,可知,解得;(2)由频率分布直方图知,晋级成功的频率为,所以晋级成功的人数为(人),填表如下:晋级成功晋级失败合计男163450女94150合计2575100假设“晋级成功”与性别无关,根据上表数据代入公式可得,所以有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关;(3)由频率分布直方图知晋级失败的频率为,将频率视为概率,则从本次考试的所有人员中,随机抽取1人进行约谈,这人晋级失败的概率为0.75,所以可视为服从二项分布,即,,故,,,,.所以的分布列为:01234数学期望为.或().【点睛】本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题,属于中档题.若离散型随机变量,则.21.(1)见解析(2)【解析】
(1)第(1)问,连交于,连接.证明//,即证平面.(2)第(2)问,主要是利用体积变换,,求得三棱锥的体积.【详解】(1)方法一
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