广东省湛江市麻章区博雅学校2023-2024学年九年级（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省湛江市麻章区博雅学校九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列图形中是中心对称的是(

)A. B. C. D.2.将一元二次方程x2−2x−2=0配方后所得的方程是(

)A.(x−2)2=2 B.(x−1)2=23.如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是(

)A.B.C.D.4.抛物线y=(x−1)2+3的对称轴是A.直线x=1 B.直线x=3 C.直线x=−1 D.直线x=−35.圆心在原点O，半径为5的⊙O，点P(4,−3)与⊙O的位置关系是(

)A.在⊙O内 B.在⊙O上 C.在⊙O外 D.不能确定6.下列说法正确的是(

)A.“清明时节雨纷纷”是必然事件

B.为了了解某小区居民新冠疫苗注射情况，可以采用全面调查方式进行

C.一组数据2，5，4，5，6，7的众数、中位数和平均数都是4.5

D.甲、乙两组队员身高数据的方差分别为s甲2=0.027.若点A(−3,y1)、B(−1,y2)、C(3,y3)都在反比例函数y=2A.y1>y2>y3 B.8.已知△ABC与△DEF是位似图形，且△ABC与△DEF的周长比为14，则△ABC与△DEF的相似比是(

)A.12 B.13 C.149.在△ABC中，∠C=90°，若AC=3，AB=4，则(

)A.BC=5 B.sinA>tanB C.cosA=34 10.函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：

①b2−4c>0；

②b+c+1=0；

③3b+c+6=0；

④当1<x<3时，x2A.1个

B.2个

C.3个

D.4个二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.若关于x的一元二次方程x2−2x+c=0没有实数根．则实数c取值范围是______．12.已知点P1(a,−2)和P2(3,b)关于原点对称，则13.已知a2+2a−3=0，则代数式2a14.从−1，0，13，π，3中随机任取一数，取到无理数的概率是______．15.如图，反比例函数y=−3x的图象与一次函数y=kx+b的图象相交于点A、B，过点A作AD⊥y轴于点D，点C是一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点，则△ADC的面积是______．16.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=23，点O为AC上一点，以OOC长为半径的圆与AB相切于点D，交AC于另一点E，点F为优弧DCE上一动点，则图中阴影部分面积的最大值为______．三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题4分)

计算：6sin45°−|1−218.(本小题4分)

解方程：x2+2x−35=0．19.(本小题6分)

A，B两个不透明的盒子里分别装有三张卡片，其中A盒里三张卡片上分别标有数字1，2，3，B盒里三张卡片上分别标有数字4，5，6，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀．

(1)从A盒里抽取一张卡、抽到的卡片上标有数字为奇数的概率是______；

(2)从A盒，B盒里各随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片上标有的数字之和大于7的概率．20.(本小题6分)

如图，△ABC的顶点坐标分别为A(−2,5)，B(−4,1)，和C(−1,3)．

(1)作出△ABC关于原点对称轴的△A1B1C1，并写出点A、B、C的对称点A1、B1、C1的坐标．

(2)作出将△ABC21.(本小题8分)

某地区2020年投入教育经费2500万元，2022年投入教育经费3025万元．

(1)求2020年至2022年该地区投入教育经费的年平均增长率；

(2)根据(1)所得的年平均增长率，预计2023年该地区将投入教育经费多少万元．22.(本小题10分)

图1所示的是一款非常畅销的简约落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意调节，图2所示的是其侧面示意图，其中OD为镜面，EF为放置物品的收纳架，AB，AC为等长的支架，BC为水平地面，已知OA=44cm，OD=120cm，BD=40cm，∠ABC=75°．

(1)求支架顶点A到地面BC的距离．

(2)如图3，将镜面顺时针旋转15°，求此时收纳镜顶部端点O到地面BC的距离．(结果精确到1cm，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，2≈1.41，3≈1.73.)23.(本小题10分)

如图，直线y=ax+1与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与双曲线y=kx(x>0)相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC=2，tan∠BAO=12．

(1)求一次函数系数a的值；

(2)求双曲线的解析式；

(3)若点Q为双曲线上点P右侧一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q，C，H为顶点的三角形与24.(本小题12分)

如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB=BC．

(1)求∠ADB的度数；

(2)过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由；

(3)在(2)条件下过E，F分别作AB，BC的垂线，垂足分别为G，H，连接GH，交BO于M，若AG=3，S四边形AGMO：S四边形CHMO=8：9，求⊙O的半径．25.(本小题12分)

如图，直线y=−x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=−x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A.点P以每秒2个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动(点P不与点B和点C重合)，设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当MQNQ=12时，求t的值；

(3)如图②，连接AM交BC于点D，当参考答案1.C

2.C

3.A

4.A

5.B

6.B

7.B

8.C

9.C

10.B

11.c>1

12.1

13.3

14.2515.3216.2π317.解：6sin45°−|1−2|−(12)−2

=6×18.解：(x+7)(x−5)=0，

x+7=0或x−5=0，

所以x1=−7，x19.解：(1)23；

(2)画树状图得：

共有9种等可能的结果，抽到的两张卡片上标有的数字之和大于7的有3种情况，

∴两次抽取的卡片上数字之和是奇数的概率为3920.解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．A1(2,−5)，B1(4,−1)，21.解：(1)设2020年至2022年该地区投入教育经费的年平均增长率为x，

依题意得：2500(1+x)2=3025，

解得：x1=0.1=10%，x2=−2.1(不符合题意，舍去)．

答：2020年至2022年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%．

(2)3025×(1+10%)=3327.5(万元)．22.解：(1)如图2，过点A作AI⊥BC于点I．

∵OA=44cm，OD=120cm，

∴AD=OD−OA=76(cm)，

∵BD=40cm，

∴AB=BD+AD=76+40=116(cm)．

∵∠ABC=75°，

在Rt△ABI中，

AI=AB⋅sin75°≈116×0.97≈113(cm)．

答：支架顶点A到地面BC的距离约为113(cm)．

(2)如图3，过点O作OG⊥BC于点G.过点A作AH⊥0G于点H，

∵∠BAC=30°，∠DAE=15°，

∴∠OAC=135°．

∴∠HAI=90°，∠CAI=15°，

∴∠HAC=75°，

∴∠OAH=60°，

∴OH=OA⋅sin60°=44×32=223(cm)，

∵HG=AI≈113cm，

∴OG=OH+HG≈2223.解：(1)由图象可知，当x=0时，y=1，

∴B(0,1)，

∴BO=1，

∵tan∠BAO=12，

∴AO=2，

∴A(−2,0)，

将A(−2,0)代入一次函数解析式得−2a+1=0，

∴a=12；

(2)∵PC=2，

将y=2代入y=12x+1，

得x=2，

∴P(2,2)，

将P(2,2)代入y=kx得k=4，

∴双曲线的解析式为y=4x；

(3)设Q(a,b)，

∵Q(a,b)在y=4x上，

∴b=4a，

当△QCH∽△BAO时，可得CHAO=QHBO，

即a−22=b1，

∴a−2=2b，即a−2=8a，

∴a=4或a=−2(舍去)，

∴Q(4,1)；

当△QCH∽△ABO时，可得CHBO24.解：(1)如图1，

∵AC为直径，

∴∠ABC=90°，

∴∠ACB+∠BAC=90°，

∵AB=BC，

∴∠ACB=∠BAC=45°，

∴∠ADB=∠ACB=45°；

(2)线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2=EF2．

理由如下：

如图2，设∠ABE=α，∠CBF=β，

∵AD/​/BF，

∴∠EBF=∠ADB=45°，

又∠ABC=90°，

∴α+β=45°，

过B作BN⊥BE，使BN=BE，连接NC，

∵AB=CB，∠ABE=∠CBN，BE=BN，

∴△AEB≌△CNB(SAS)，

∴AE=CN，∠BCN=∠BAE=45°，

∴∠FCN=90°．

∵∠FBN=α+β=∠FBE，BE=BN，BF=BF，

∴△BFE≌△BFN(SAS)，

∴EF=FN，

∵在Rt△NFC中，CF2+CN2=NF2，

∴EA2+CF2=EF2；

(3)如图3，延长GE，HF交于K，

由(2)知EA2+CF2=EF2，

∴12EA2+12CF2=12EF2，

∴S△AGE+S△CFH=S△EFK，

∴S△AGE+S△CFH+S五边形BGEFH=S△EFK+S五边形BGEFH，

即S△ABC=S矩形BGKH，

∴12S△ABC=12S矩形BGKH，

∴S25.解：(1)直线y=−x+4中，当x=0时，y=4

∴C(0,4)

当y=−x+4=0时，解得：x=4

∴B(4,0)

∵抛物线y=−x2+bx+c经过B，C两点

∴−16+4b+c=00+0+c=4

解得：b=3c=4

∴抛物线解析式为y=−x2+3x+4

(2)∵B(4,0)，C(0,4)，∠BOC=90°

∴OB=OC

∴∠OBC=∠OCB=45°

∵ME⊥x轴于点E，PB=2t

∴∠BEP=90°

∴Rt△BEP中，sin∠PBE=PEPB=22

∴BE=PE=22PB=t

∴xM=xP=OE=OB−BE=4−t，yP=PE=t

∵点M在抛物线上

∴yM=−(4−t)2+3(4−t)+4=−t2+5t

∴MP=yM−yP=−t2+4t

∵PN⊥y轴于点N

∴∠PNO=∠NOE=∠PEO=90°

∴四边形ONPE是矩形

∴ON=PE=t

∴NC=OC−ON=4−t

∵MP//CN

∴△MPQ∽△NCQ

∴MPNC=MQNQ=12

∴−t2