2024-2025学年高一【数学(人教A版)】三角函数的图象与性质应用(1)-教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级高一学期第一学期课题三角函数的图象与性质应用（1）教科书教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：1.运用三角函数的图象与性质研究较为复杂的函数，进一步认识图象与性质的作用;2.在运用图象与性质解决问题的过程中，体会数形结合的思想方法;3.发展学生直观想象，逻辑推理，数学运算等数学素养.教学重点：研究图象变换下函数的性质.教学难点：由图象观察性质.教学过程时间教学环节主要师生活动一、复习回顾二、例题分析三、巩固练习四、拓展应用五、课堂小结六、布置作业我们在前几次课学习了正弦函数、余弦函数和正切函数的图象和性质，大家还记得有哪些内容吗？让我们结合三角函数的图象一起来回顾一下：①对于正弦函数，定义域是R，最小正周期是2π，我们可以先通过五点法画出一个周期内的简图，五点分别是(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π，－1))，(2π，0).由图象可以看出最大值是1，最小值是-1，值域是[-1,1].然后将这段图象“复制-粘贴”，从而得到整个函数的图象.我们发现，图象关于原点对称，该函数是奇函数.在研究单调性的时候我们选取的区间不是[0，2π]，而是[-eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)]，结合周期性得出，单调递增区间是[2kπ－eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(π,2)](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ＋eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(3π,2)](k∈Z).②对于余弦函数，其图象可以由正弦函数的图象向左平移eq\f(π,2)个单位长度得到，由图象可以看出，该函数的定义域是R，值域是[-1,1]，最小正周期是2π，图象关于y轴对称，该函数是偶函数.在研究单调性的时候我们选取的区间是[-π，π]，结合周期性得出，单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；③对于正切函数，与正弦函数、余弦函数比较，图象和性质发生了较大的变化，自变量x不再取任意实数，而是x≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，值域由[-1,1]变为R，最小正周期由2π减小为π.图象关于原点对称，该函数是奇函数.在研究单调性的时候我们选取的区间是(-eq\f(π,2)，eq\f(π,2)），结合周期性得出，单调递增区间是(kπ－eq\f(π,2)，kπ＋eq\f(π,2))(k∈Z)，无单调递减区间.以上我们结合图象复习了三角函数的五个性质：定义域，值域，周期性，奇偶性和单调性，接下来我们根据这些图象和性质，研究几个稍微复杂一些的函数.例1求下列函数的图象的对称中心：(1)；【分析】我们知道，函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的图象可由函数y＝sinx的图象平移得到，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的图象与y＝sinx的图象形状完全一样，如图所示，图象与x轴的每一个交点均为其对称中心，求对称中心只需求出函数的零点即可.解(1)令sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))=0，由正弦函数定义可知x-eq\f(π,4)=kπ(k∈Z)，x=kπ+eq\f(π,4)，所以该函数图象的对称中心为(kπ+eq\f(π,4)，0)(k∈Z).(2).【分析】函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,6)))的图象可由函数y＝tanx的图象平移得到，y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,6)))的图象与y＝tanx的图象形状完全一样，如图所示，求对称中心只需求出使得正切值为零或无意义的x值，即x+eq\f(π,6)=eq\f(kπ,2)(k∈Z).解令x+eq\f(π,6)=eq\f(kπ,2)(k∈Z)，x=eq\f(kπ,2)－eq\f(π,6)，所以该函数图象的对称中心为(eq\f(kπ,2)－eq\f(π,6)，0)(k∈Z).下面请同学们看一组练习：练习已知函数f(x)＝cos(x＋θ)(0≤θ≤π)，(1)若函数f(x)是奇函数，求θ的值；(2)若函数f(x)的图象的一条对称轴是直线x＝eq\f(π,8)，求θ的值.【分析】我们知道，函数f(x)＝cos(x＋θ)的图象可由函数y＝cosx的图象平移得到，两者形状完全一样，余弦曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形，如图所示，对称中心就是图象与x轴的交点，对称轴就是经过图象的最高点或最低点且与x轴垂直的直线.解(1)因为函数f(x)是奇函数，所以函数f(x)的图象关于原点对称，则有f(0)=0，即cosθ=0，由余弦函数定义可知，θ=kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，又因为0≤θ≤π，所以θ=eq\f(π,2).另法：因为0≤θ≤π，所以函数f(x)＝cos(x＋θ)的图象可以看成是y＝cosx的图象向左移动得到的，如图所示，y＝cosx的图象向左移eq\f(π,2)个单位长度所得的曲线关于原点对称，所以θ=eq\f(π,2).注意：解题涉及正弦函数与余弦函数的奇偶性时，一般不用奇偶性的定义，即不必通过计算考察f(-x)与f(x)的关系，而是根据三角函数图象的特点来解答.(2)因为直线x＝eq\f(π,8)是函数f(x)的图象的一条对称轴，所以当x＝eq\f(π,8)时，函数取得最大值或最小值，即f(eq\f(π,8))=±1，cos(eq\f(π,8)＋θ)=±1，由余弦函数定义可知，eq\f(π,8)＋θ=kπ(k∈Z)，θ=kπ－eq\f(π,8)，又因为0≤θ≤π，所以θ=eq\f(7π,8).小结：在以上例题和练习的解答过程中，我们根据平移变换下三角函数图象的特点，得到了求图象对称中心或对称轴的方法.(1)点(a,0)是正弦曲线f(x)=sin(x+θ)的对称中心f(a)=0；(2)直线x=a是正弦曲线f(x)=sin(x+θ)的对称轴f(a)=±1；(3)点(a,0)是正切曲线f(x)=tan(x+θ)的对称中心a+θ=eq\f(kπ,2)(k∈Z).接下来我们研究翻折变换下三角函数的图象和性质：例2求下列函数的周期与单调区间：(1)y＝|cosx|;(2)y＝|tanx|.【分析】我们看到，两个小题中的三角函数都加了绝对值符号，由前面的章节可知，将函数y=f(x)在x轴下方的部分图象翻折上去，就得到了函数y=|f(x)|的图象.(1)函数y＝|cosx|的图象如下：由图象可知，该函数的最小正周期是π，我们先观察一个周期内的图象，选定的区间是[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]，函数在[－eq\f(π,2)，0]上单调递增，在[0，eq\f(π,2)]上单调递减，所以该函数的单调递增区间是[kπ－eq\f(π,2)，kπ](k∈Z)，单调递减区间是[kπ，kπ＋eq\f(π,2)](k∈Z).(2)函数y＝|tanx|的图象如下：由图象可知，该函数的最小正周期是π，我们先观察一个周期内的图象，选定的区间是(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，函数在(－eq\f(π,2)，0]上单调递减，在[0，eq\f(π,2))上单调递增，所以该函数的单调递增区间是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，单调递减区间是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))(k∈Z).小结：求含绝对值的三角函数的单调区间，先画出大致图象确定函数的周期，再选定一个周期内的图象写出单调区间，最后拓展到整个定义域.思考(1)函数y＝|cosx|和y＝|tanx|的图象具有怎样的对称性呢？观察函数y＝|cosx|的图象可知，该图象是轴对称图形，不是中心对称图形，对称轴方程为x＝eq\f(kπ,2)(k∈Z).观察函数y＝|tanx|的图象可知，该图象是轴对称图形，不是中心对称图形，对称轴方程也是x＝eq\f(kπ,2)(k∈Z).(2)与函数y＝|cosx|相比，函数y＝|cosx|+1的性质有变化吗？y＝|cosx|y＝|cosx|+1----定义域，周期性，单调性，奇偶性，对称轴方程不变，值域由[0,1]变为[1，2].本节课研究了平移变换与翻折变换下三角函数图象的对称性、三角函数的周期性和单调性，进一步认识了图象与性质的作用，体现了数形结合的思想方法.需要掌握的具体内容如下：(1)点(a