2024-2025学年高一【数学(人教A版)】三角函数的概念-教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级高一学期上课题三角函数的概念教科书教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：1.初步理解借助单位圆上点的坐标定义三角函数，理解任意角的三角函数的概念；2.在三角函数定义的过程中进一步认知函数的本质，体会数形结合思想方法的作用；3.经历三角函数概念的抽象过程，提升学生思维的严谨性，发展数学抽象素养.教学重点：任意角的三角函数概念.教学难点：用单位圆上点的坐标定义三角函数.教学过程时间教学环节主要师生活动创设情景，导入新课问题引入：在客观世界中存在大量循环往复、周而复始的周期现象，比如日出日落、钟摆运动等，匀速圆周运动是这类现象的代表，在前面的学习中我们已经知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，那么匀速圆周运动的运动规律该用什么函数模型刻画呢？如右图所示,圆上的点以为起点做逆时针旋转,在把角的范围推广到任意角后，我们可以借助角的大小变化刻画点的位置变化.根据弧度制的定义，角的大小与圆的半径无关，我们能否建立一个函数模型，刻画点的位置变化情况?【设计意图】开门见山引出研究内容、过程与研究方法，指明点随着角度的变化而变化，明确构建函数模型的目标，让学生初步了解本节课学习的方向，为具体研究指明方向.引导探究，形成新知分析要解决这个问题，我们需要什么工具？①建立函数模型,要利用直角坐标系.②根据任意角的定义，需要借助单位圆.如图，以单位圆的圆心为坐标原点，以射线为轴的非负半轴，建立直角坐标系，点的坐标是，点的坐标是.把该问题抽象为一个质点从点开始在单位圆上的运动.问题1：这个运动过程中的有哪些变量，判断它们之间是否具有函数关系.如果有，能否写出函数解析式？（1）点在单位圆上运动过程中涉及的变量有：点的横坐标、纵坐标，弧长，旋转角度；（2）判断变量：间的哪两个变量能否构成函数关系？过过点作轴于,根据勾股定理可知，即，显然变量、间的对应关系不符合函数定义.在弧度制学习中我们已经知道变量之间的关系，并且变量与的关系和与的关系等价，所以我们研究变量与的关系.问题2:若角终边与单位圆交于点，如何求点的坐标呢？追问1：当我们遇到一般性问题应该如何研究？特殊化：不妨设，此时点在第一象限,构造直角三角形，过点向轴引垂线交轴于,中,可得,,即,,所以点的坐标为.追问2:当时，点的坐标是什么？同样,当时，点在第二象限,可得,,所以点的坐标为.追问3：任意给定一个角，点的坐标唯一确定吗？因为单位圆的半径不变，点的坐标只与角的大小有关，当角确定时，点的坐标是也唯一确定.追问4：在展示的运动变化的过程中，观察角的终边与单位圆的交点的坐标，有什么发现？能否运用函数的语言刻画这种对应关系呢？对任意一个实数，它的终边与单位圆的交点的横、纵坐标、都是唯一确定的，有如下对应关系：任意角(弧度)→唯一实数；①任意角(弧度)→唯一实数．②一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标，无论是横坐标，还是纵坐标，都是唯一确定的.所以，点的横坐标、纵坐标都是角的函数.【设计意图】以函数的对应关系为指向，使学生确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆的交点的横、纵坐标都是圆心角(弧度)的函数，为引出三角函数的定义做好铺垫.下面给出这些函数的定义：如图，设是一个任意角，，它的终边与单位圆相交于点，那么把点的纵坐标叫做的正弦函数，记做，即；把点的横坐标叫做的余弦函数，记做，即；把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记做，即.问题3:正弦函数、余弦函数、正切函数的对应关系各是什么？实数(弧度)对应于点的纵坐标→正弦函数；实数(弧度)对应于点的横坐标→余弦函数；当点的横坐标为0时，角的终边在轴上，此时，所以无意义.因此，对于确定的角，的值也是唯一确定的，所以也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数，称为正切函数.实数(弧度)对应于点的纵坐标与横坐标之比→正切函数.追问1:任意角三角函数的定义是否符合高中函数的定义呢？正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或者坐标的比值为函数值的函数.由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数.按照函数的定义与常用的符号，我们通常将它们记为正弦函数：；余弦函数：；正切函数：.将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.追问2：任意角三角函数的定义域分别是什么呢?很明显，正弦函数和余弦函数的定义域都是实数集，即，对于正切函数而言，要求点的横坐标，即角的终边不能位于轴上，那么正切函数的定义域为.追问3：这个定义相对于锐角三角函数的定义有什么不同呢?任意角的三角函数是通过角与单位圆交点的坐标定义的，锐角三角函数是通过直角三角形边长的比值定义的，在单位圆中直角三角形斜边为1，所以锐角三角函数也可用角的终边与单位圆交点的坐标定义，此时终边上的点都在第一象限，因此锐角三角函数值都是正数，而任意角的三角函数值可以是负数.追问4：“任意角的三角函数”与“锐角三角函数”这两个概念有什么异同?锐角三角函数的自变量是锐角，应理解为；；.【设计意图】引导学生将任意角三角函数纳入到函数中，丰富学生对三角函数的认知，另外，注意任意角为轴线角的特殊情况，让学生更全面地认识任意角的三角函数，体现数学的严谨性.理解概念，运用新知例1求的正弦、余弦和正切值.解：在直角坐标系中，作，此时的终边与单位圆的交点的坐标为，所以【设计意图】通过概念的简单应用，明确用定义求三角函数值的基本步骤，进一步理解定义的内涵.例2如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点与原点的距离为.求证：，，引导学生分析问题：①你能根据三角函数的定义作图表示和吗？②在你所作的图形中，，，表示什么？你能找到它们与任意角的三角函数的关系吗？解：设角的终边与单位圆交于点，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，则，.所以得到,即.因为与同号，所以，即.同理可证：，.【设计意图】通过问题引导，使学生找到、，并利用它们的相似关系，根据三角函数的定义得到证明.追问：例2实际上给出了任意角的三角函数的另外一种定义，而且这种定义与已有的定义是等价的，能否用严格的的数学语言叙述这个定义吗？一般地，对于任意角，角终边上的任意一点的坐标为，它到原点的距离为，那么，，.显然任意角的三角函数值不会随点的位置的变化而变化.应用新知，总结提升任意角三角函数的概念是三角函数知识的基础，我们以后要学习的有关三角函数其他知识都建立在我们对三角函数的概念的理解与认识上，所以同学们一定要认真学习和体会今天所学的知识.三角函数是如何定义的？我们除了学习单位圆定义，还有什么定义方法？①单位圆定义法:建立直角坐标系，使角的顶点与坐标原点重合，终边与单位圆的交点为，即可由点坐标得到三角函数定义.正弦函数：;余弦函数：;正切函数：.②终边定义法:建立直角坐标系，对于任意角，角终边上的任意一点的坐标为，它到原点的距离