2024-2025学年高一【数学(人教A版)】弧度制-教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级高一学期上课题弧度制教科书教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：1、了解弧度制引入的必要性，理解弧度制定义的合理性，能正确进行弧度与角度的换算；2、了解角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，会用弧度制解决简单的实际问题；3、经历建立弧度制的探究过程，感受引入弧度制的必要性，了解数学知识发展的过程，提升数学抽象，逻辑推理的数学素养；教学重点：理解弧度的定义；正确进行弧度与角度的换算教学难点：弧度制概念的生成教学过程时间教学环节主要师生活动3分钟问题导入问题1、初中学过哪些度量角的单位？的角是如何定义的吗？度、分、秒又如何换算呢？有度、分、秒.将一个圆的圆周分成360等份，每一份的圆弧所对的圆心角叫做1度的角.这种度量角的单位制叫做角度制.问题2、你知道等于多少吗？预计：认为两个量不能相加，因为单位不同，是角度，而是实数，所以无法相加.我们知道度量不同的量要用不同的单位，对于同一种量，也可以运用不同的度量单位，比如，测量身高时，可以使用米，也可以使用尺；测量重量时，在不同的条件可以使用吨、公斤，也可以使用克等.此外还有国际公制，有中国市制，那么，度量角的单位是否只有角度制一种呢？历史背景：公元六世纪，印度数学家家阿耶波多在创新制作正弦表时,就发现了有一个问题不好解释，比如，他发现了什么问题呢？在这个等式中，单位制是不同的，左边是60进制,右边是10进制为单位，单位不统一的两个数学对象分别放在等式的左右两侧,所以阿耶波多想到了能否对角的度量采用十进制.【设计意图】引发学生的认知冲突，让学生意识到角度不是实数，产生对角的单位有必要重新认知的需要，为引入弧度制作准备.7分钟探究新知探究活动：根据角的动态定义，射线绕端点旋转到形成角.在旋转过程中，射线上点（不同于端点）的轨迹是一条圆弧.记.如果要把角的单位统一成十进制，那么就必须借助用十进制表示的量，这里很明显涉及到两个量：弧长和半径.问题3：射线上三个点旋转到点，在这个过程中，都涉及到哪些量，你能发现它们之间蕴含着哪些相等关系与不等关系？涉及到三个量：弧长、半径和圆心角，显然，弧长、半径是不等的，也不相等，但角度是相等的.【设计意图】从历史背景中引出数学问题，引导学生在熟悉的生活体验中，用数学的眼光进行观察相等关系与不等关系，为下面挖掘“弧长与半径比值为定值”这一隐含的数学现象做好铺垫.追问1、圆心角、半径、弧长这三个量之间存在什么关系呢？能否用我们以前学过的数学公式来表示他们之间的关系？在初中我们学过弧长公式.追问2、你能否用弧长公式解释在这个运动过程中，弧长和半径都发生变化，而圆心角不变吗？圆心角与弧长和半径有关，.当圆心角不变时，为定值.所以，圆心角所对的弧长与半径的比值只与角的大小有关.如图，对同一个圆心角，可得：.因此，弧长与半径的比值只与圆心角的大小有关，当圆心角确定时，也唯一确定.这就让我们想到可以用弧长与半径的关系度量圆心角.当弧长与半径相等时，是一个定值，此时圆心角等于度.我们把这时的比值1记为1个单位的角,就可以用这个1个单位的角去表示其他的角.比如当弧长时，所对圆心角为2个单位的角；当弧长时，所对圆心角为个单位的角，这里是一个实数，这样可以用来度量角的大小，解决了用实数度量角的大小问题.这就是度量角的另一种单位制——弧度制.弧度单位用符号表示，读作弧度.规定：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作.【设计意图】通过对初中所学的弧长公式的回顾与变形，不仅从代数关系上说明了与角的大小有关，而且这个比值是一个实数，有弧长的参与，学生自然体会到弧度制的合理性，同时让学生经历从观察、分析到抽象、概括的过程，培养学生的理性数学思维.6分钟理解新知弧度制的精髓是把角度和弧度的度量统一起来，极大的简化了与之有关的运算，在高等数学里，优势相当明显.问题4：你能否作出大小的角？根据定义，，即时，弧长所对圆心角为.问题5：任意角都可以用的比值表示吗？正角、负角和零角的弧度数如何规定呢？任意角都是从旋转角度定义的，当半径一定时，旋转量从弧长可以判断，符号由旋转方向决定，所以任意角都可以用表示.正角、零角、负角分别用正数、零、负数表示.规定：如果半径为的圆的圆心角所对弧长为，那么角的弧度数的绝对值是，这里，的正负由角的终边的旋转方向决定.追问:反过来任意一个实数都可以表示角吗？这种表示是唯一的吗？对于任意一个实数满足，那么，此时的绝对值大小确定，再由的旋转方向确定的正负符号，所以任意一个实数都可以表示唯一确定的角.这样就在角的集合与实数集之间建立了一一对应关系.【设计意图】帮助学生进一步理解弧度制可以度量角的大小，而且可以和实数集合建立一一对应的关系.早在18世纪，瑞士数学家欧拉，在他的名著《无穷小分析引论》中倡导使用弧度制，统一了角与长度的单位，从而使得对三角函数的研究大为简化，并提出了弧度制的思想.而弧度这个词产生于1873年，爱尔兰工程师詹姆斯·汤姆森（JamesThomson）教授在其编著的一本考试集中创造性地首先使用了“弧度”一词.他将“半径（radius）”的前四个字母与“角(angle)”的前两个字母组合在一起，构成了一个新词radian，被人们广泛接受.【设计意图】在通过介绍弧度制及其名称符号的发展历史，让学生感受数学文化丰富的历史沉淀.5分钟应用新知问题6：角度制、弧度制都是角的度量单位，它们之间应该如何换算呢？当角的终边旋转一周，所得到周角的弧度数为，而在角度制下为，即，，所以.反过来可得.例1.（1）把化成弧度（2）把化成角度（用度表示，精确到）借助前面的结论，可得用弧度表示角的大小时，只要不引起误解，“弧度”二字或“”可以省略不写．但是“°”为单位不能省.练习：填写下面特殊角的度数与弧度数的对应表度弧度【设计意图】通过实际操作，让学生明白角度制与弧度制可以度量同一个角，所以它们之间可以互换并要掌握这种互换，同时要注意规范及掌握一些特殊角的角度和弧度值.例2利用弧度制证明下列关于扇形的公式（1）；（2）；（3）.其中是圆的半径，为圆心角，是扇形的弧长，是扇形的面积.解：从我们前面得到的弧度制公式出发，可得.下面我们证明（2）（3）初中我们学过，在角度制下，半径为，圆心角为的扇形的弧长公式和面积公式分别为，.将圆心角转化为弧度，得.所以，代入公式得到.再将代入上式即得.【设计意图】让学生体会弧度制，统一了度量弧与半径的单位，从而大大简化了有关公式及运算，通过例题进一步让学生熟悉公式，学会应用公式解决简单的实际问题.2分钟归纳小结本节课我们学习了什么？（1）在数学知识上我们学习了任意角的新度量制——弧度制.①弧度制的本质是用线段的长度度量角的大小，具体来说就是长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号表示，读作弧度；②如果半径为的圆的圆心角所对弧的长为，那么角的弧度数的绝对值是，这里，的正负由角的终边的旋转方向决定；③借助公式进行任意角的弧度制和角度制之间的互化，在今后的三角函数的学习中要熟练掌握特殊角的弧度数.（2）数学知识大多来源于现实或