2024-2025学年高一【数学(人教A版)】函数的应用-教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级高一学期第一学期课题函数的应用教科书教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：1.初步体会应用一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型解决实际问题的过程和方法；2.在实际问题与数学问题的转化过程中，提升数形结合的能力，发展数学抽象的素养；3.在建立数学模型解决实际问题的过程中，提升数学运算和数学建模的素养。教学重点：将实际问题中的量抽象成数学中的变量，并找到变量之间的关系。教学难点：利用给定的函数模型，写出具体的函数解析式并解决实际问题。教学过程时间教学环节主要师生活动1分钟引言我们学习过一次函数、二次函数、幂函数等，这些函数都与现实世界紧密联系。下面通过一些实例感受它们的广泛应用，体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法。16分钟例题解析本节的例1是在教科书3.1.2函数的表示法例8的基础上继续研究个税缴纳问题，我们来看题目信息：例1：2019年1月1日起，公民依法缴纳的个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数①应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除②其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元。税率与速算扣除数见表格。设小王缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元。全年综合所得收入额为x（单位：元），应缴纳综合所得个税税额为y（单位：元）。（1）求y关于x的函数解析式；（2）如果小王全年的综合所得由189600元增加到249600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？追问1：这一问题中存在哪些变量？它们的关系是什么？追问2：如何通过这些关系确定应缴纳个税与综合所得的关系？师生活动：教师提出问题，学生独立思考、讨论回答，教师给与补充完善。设计意图：1.通过学生的分析，理清这个问题中的变量之间的关系；2.引导学生写出这些变量之间的函数关系.这里，一定要让学生先回顾例题8的求解过程和结果，在例题8的基础上处理本题，让学生体会应缴纳个税与应纳税所得额之间的关系，以及应纳税所得额和综合所得的关系。分析：实际上，在充分明确题目条件后，注意到本题的主干信息由表格和两个重要公式表达出来：公式=1\*GB3①：个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数由表格信息可知，每个确定的应纳税所得额都有唯一的税率和速算扣除数与之相对应，因此，这一公式中的变量个税税额y可以表示成变量应纳税所得额t的分段函数。我们在3.1.2例8中已经得到了这两个变量的函数解析式。公式=2\*GB3②：应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除可以看出，基本减除费用、专项扣除、专项附加扣除和依法确定的其他扣除为定值或由综合所得收入额确定，因此，这一公式中的变量应纳税所得额t也是变量综合所得收入额x的函数。因此，对于任一个综合所得收入额都有唯一确定的应纳税所得额与之相对应，而任一个应纳税所得额也与唯一确定的个税税额相对应。这样，对于任一个综合收入所得额都有唯一确定的个税税额与之相对应，由函数的定义，个税税额y是综合收入所得额x的函数。通过“应纳税所得额”这个桥梁，我们就可以建立起个税税额y与综合收入所得额x的函数解析式。师生活动：1.教师提示学生在例题8的基础上研究这个问题.通过“应纳税所得额”这个中间变量t找到x和y之间的对应关系。2.由于t的取值的范围不同，使得对应的税率和速算扣除数也不同，那么该如何处理这样的情况呢？3.写出y关于x的函数表达式，并解决题目中的问题。设计意图：1.引导学生通过例题8来研究这个问题；2.引导学生采用分类讨论的方式来处理，用分段函数的形式来表达；3.在此基础上，引导学生完成例题。我们可以通过以下步骤解决本例的两个问题：第一步，根据例8中公式②，得出应纳税所得额t关于综合所得收入额x的解析式t=g(x)；第二步，结合例8中已经得到的y=f(t)的解析式③，得出y关于x的函数解析式；第三步，根据所得解析式求出应缴纳个税税额。解：（1）根据应纳税所得额计算公式得t=x-60000-x(8%+2%+1%+9%)-52800-4560=0.8x-117360令t=0，得x=146700，所以根据应纳税所得额的规定可知，个人应纳税所得额t关于综合所得收入额x的函数解析式为：追问3：当x在什么范围内时可以使t落到相应的区间，从而确定税率和速算扣除数？设计意图：引导学生通过解相应的不等式求得工资x的不同范围，从而得到个税税额关于综合收入所得额的分段函数。在教学过程中让学生体验上述数学抽象的过程。结合3.1.2例8的解析式③，可得：当0≤x≤146700时，t=0，所以y=0；令0<0.8x-117360≤36000，得146700<x≤191700此时y=t×3%=（0.8x-117360）×3%=0.024x-3520.8；令36000<0.8x-117360≤144000，得191700<x≤326700此时y=t×10%-2520=（0.8x-117360）×10%-2520=0.08x-14256；以此类推，通过解相应的不等式，我们就可以通过解析式③中t的范围求出x的范围。当191700<x≤326700时，36000<t≤144000，所以y=t×10%-2520=0.08x-14256；当326700<x≤521700时，144000<t≤300000，所以y=t×20%-16920=0.16x-40392；当521700<x≤671700时，300000<t≤420000，所以y=t×25%-31920=0.2x-61260；当671700<x≤971700时，420000<t≤660000，所以y=t×30%-52920=0.24x-88128；当971700<x≤1346700时，660000<t≤960000，所以y=t×35%-85920=0.28x-126996；当x>1346700时，t>960000，所以y=t×45%-181920=0.36x-234732；所以，函数解析式为当x=249600时，y=0.08×249600-14256=5712所以，小王全年需要缴纳的综合所得个税税额为5712元。本题小结：在例8中，给出小王的综合所得收入额为189600元，我们需要先利用公式②求出应纳税所得额，再利用我们建立的个税税额y关于应纳税所得额t的函数解析式，求出他应缴纳个税税额为1029.6元。而在本例中，我们将个税税额表示成了综合收入所得额的函数，就可以直接由综合收入所得额求出需要缴纳的个税税额。由此可见，有了函数模型，就可以通过研究函数的性质而获得实际问题中的变化规律，通过函数图象也可以更直观地看到这种整体的变化规律。同时注意到，当综合所得收入额增加到249600元时，个税税额也相应增加到了5712元，这体现了依法纳税是每个公民的责任与义务！有兴趣的同学可以在课下画出函数对应的图象，直观地观察个税税额随综合所得收入额的变化情况。例题2：一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v（单位：km/h）与时间t（单位：h）的关系如图所示。(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s（单位：km）与时间t的函数解析式，并画出相应的图象。追问1：此题是研究汽车行驶路程的相关问题，与例1通过文字、表格呈现信息不同，此题通过图象体现了变量间的关系，请同学们找到题目中涉及的变量，并分析说明图中的信息。师生活动：教师提出第一个问题，学生思考、讨论，并回答问题。设计意图：这个例题需要利用图形中的信息及问题中的数据建立分段函数的数学模型.教学中仍然要让学生从分析题意入手，分析清楚问题中涉及的变量，它们之间是什么关系，通过这些关系是如何确定里程表读数与时间之间的关系的等。分析：本题涉及时间t、平均速率v、行驶路程S、里程表读数s等变量；时间t和平均速率v的关系由图给出，图形中抛开阴影不看，是一些平行于x轴的小线段，而这些小线段实际上就是平均速率关于时间变化的函数图象，是一个分段函数。读图时，请注意边界点的开闭情况，当t在[0,1)内时，对应的平均速率为50km/h；当t在[1,2)内时，对应的平均速率为80km/h等。每一个阴影矩形的面积应由长乘以宽得到，即时间与对应的平均速率的乘积，因此每一个阴影矩形的面积表示每个时间段内行驶的路程，进而整个阴影面积的意义就是汽车5小时内行驶的总路程。解:（1）阴影部分的面积为所以阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km。分析：由图可知，当时间t在[0,5]内变化时，对于任意的时刻t都有唯一确定的行驶路程与之相对应.x=t这条直线左边的阴影面积就是经过t时间的路程。每个时间段内对应的平均速率不同，因此在每个时间段内，行驶路程与时间的关系也不一样，需要分段表述。由S=vt，s=2004+S等关系，通过逐步抽象，我们就不难得到里程表读数s与时间t的函数关系。当时，里程表读数s应在2004的基础上加上经过t时间行驶的路程50t；当时，里程表读数s应在2004的基础上加上第一小时内行驶的路程50，再加上1到t时间行驶的路程80（t-1），以此类推。（2）根据图1,有分段表示时，注意t取值区间的开闭情况与图象对应。注意到各段均为一次函数，易得函数图象如图，本题小结：本题的解答过程表明，函数图象对分析和理解题意很有帮助。因此，我们要注意提高读图能力。另外，本题用到了分段函数，解决现实问题时经常会用到此类函数。3分钟练习巩固若用模型y=ax2描述汽车紧急刹车后滑行的距离y（单位：m）与刹车时的速率x（单位：km/h）的关系，而某种型号的汽车在速率为60km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20m.在限速为100km/h的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为50m，那么这辆车是否超速行驶？设计意图：让学生巩固在已知函数模型的基础上，运用函数的知识和思想解决实际的能力。解：3分钟总结回顾师：通过本节课的学习，谈谈你对用函数解决实际问题的感受。生：思考、作答设计意图：让学生初步体会用函数的方法解决实际问题的过程。分析：在研究这两个例题的过程中，我们经历了以下步