试卷解析：广东省广州市X雅中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题（解析版）

2023学年上学期高一年级期末考试试题数学命题人：XXX审核人：XXX本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、考号等信息填写在答题卡指定区域内．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，不得使用涂改液，不得使用计算器．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知集合，，则集合（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解不等式求得集合、，由此求得.【详解】，，所以.故选：B2.使不等式成立的一个充分不必要条件是（）.A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件．【详解】解：不等式，，解得，故不等式的解集为：，则其一个充分不必要条件可以是，故选：．【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．3.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数解析式判断单调性，结合最小正周期即可得出结果.【详解】对于A，的最小正周期为，因为，所以，由正弦函数的性质可得在上不单调，故A错误；对于B，的最小正周期为，当时，在上单调递减，故B正确；对于C，的最小正周期为，在上单调递减，故C错误；对于D，的最小正周期为，在上单调递增，故D错误故选:B.4.函数的图像可由函数的图像（）A.向左平移个单位得到B.向右平移个单位得到C.向左平移个单位得到D.向左平移个单位得到【答案】A【解析】【分析】先将转化为，然后再利用三角函数图象的平移变换求解.【详解】因为,所以将向左平移可得到．故选：A．5.近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月……中国航天硕果累累，令国人备感自豪.这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程”：，其中是理想速度（单位：m/s），是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位：m/s），是火箭起飞时的总质量（单位：kg），m是火箭自身的质量（单位：kg）.小婷同学所在社团向有关部门申请，准备制作一个试验火箭，得到批准后，她们利用的某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为50m/s，火箭自身的质量为4kg，燃料的质量为5kg，在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射，至燃料燃尽时，该试验火箭的理想速度大约为（）（，）A.40m/sB.36m/sC.78m/sD.95m/s【答案】A【解析】【分析】根据题中条件确定kg，kg，m/s，按公式直接运算即可.【详解】解：由于，其中kg，kg，m/s，所以（m/s）.故选：A.6.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】直接利用排除法和函数的单调性，对称性及函数的定义域的应用求出结果．【详解】根据函数的图象，对于选项：当时，，所以与图象相矛盾，故舍去；对于选项：当时，函数（1）与函数在时，为函数的图象的渐近线相矛盾故舍去；对于选项：由于函数的图象的渐近线为，而原图象中的渐近线为或，所以与原图相矛盾，故舍去．对于选项：函数的图象的渐近线为或，且单调性与原图象相符，故选：．【点睛】本题考查的知识要点：函数的图象的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7.设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称是函数的一个不动点，下列函数存在不动点的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】把选项中不同的代入，去判断方程是否有解，来验证函数是否存在不动点即可.【详解】选项A：若，则，即，方程无解.故函数不存在不动点；选项B：若，则，即，方程无解.故函数不存在不动点；选项C：若，则，即或，两种情况均无解.故函数不存在不动点；选项D：若，则，即设，则，则函数在上存在零点.即方程有解.函数存在不动点.故选：D8.如图所示，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于（2，1）时，点Р的坐标为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】如图，根据题意可得，利用三角函数的定义和诱导公式求出，进而得出结果.【详解】如图，由题意知，，因为圆的半径，所以，所以，所以，即点.故选：D三、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.下列判断正确的是（）A.B.命题“”的否定是“”C.若，则D.“”是“是第一象限角”的充要条件【答案】AC【解析】【分析】选项A分类讨论即可，选项B写出全称量词命题的否定，选项C作差法即可，选项D充要条件的判断.【详解】选项A，当时，，当时，，故，所以选项A正确；对于B：命题“”的否定是“，故B错误；选项C，由，因为，所以，所以，故选项C正确，对于D：由，则在第一象限角或第四象限角，故充分性不成立，反之是第一象限角，则，故必要性成立，故“”是“是第一象限角”的必要不充分条件，故选项D错误.故选：.10.已知，且，给出下列结论，其中所有正确结论的序号是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】由题意结合平方关系以及角的范围得，由此即可逐一判断每一选项.【详解】因为，，解得或（舍去），所以，所以，，，故AD正确，BC错误.故选：AD.11.函数，则下列说法不正确的是（）A.若的最小正周期为，则B.当时，的一个对称中心为C.当时，若对任意的x有成立，则的最小值为D.当时，在单调且在不单调，则．【答案】ABC【解析】【分析】对于A，由即可判断；对于B，直接由代入检验法即可判断；对于C，当时，由题意，结合即可判断；对于D，由正弦函数、复合函数单调性可得，由此即可判断.【详解】对于A，若，解得，故A错误，符合题意；对于B，当时，，，故B错误，符合题意；对于C，当时，，若对任意的x有成立，则，即，解得，因为，所以当时，，故C错误，符合题意；对于D，显然，否则在不单调，所以时，函数，时，，时，，而关于在上单调递增，若在单调且在不单调，由复合函数单调性可知，解得，结合可知，故D正确，不符合题意故选：ABC.12.空旷的田野上两根电线杆之间的电线有相似的曲线形态．这些曲线在数学上称为悬链线．悬链线在工程上有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这些曲线对应的函数表达式可以为（其中a，b为非零常数），则对于函数以下结论正确的是（）A.若，则为偶函数B.若，则函数的最小值为2C.若，则函数的零点为0和D.若为奇函数，且使成立，则a的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，直接由偶函数定义判断即可；对于B，令即可判断；对于C，令结合指数对数互换即可判断；对于D，将不等式等价转换为关于在上面有解，结合基本不等式即可得解.【详解】对于A，若，定义域为全体实数，关于原点对称，且此时，即为偶函数，故A正确；对于B，若，则，故B错误；对于C，若，则，令，解得或，即或，所以函数的零点为0和，故C正确；对于D，若奇函数，则，即，经检验符合题意，由题意不等式在上有解，而在上有，所以在上有解，不妨设，则，所以关于在上面有解，由基本不等式得，等号成立当且仅当即时等号成立，综上所述，a的最小值为，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：D选项的关键是首先将不等式转换为关于在上面有解，由此即可顺利得解.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分．第16题第一空2分，第二空3分．13.函数的定义域为__________.【答案】【解析】【分析】由解析式可得，求解即可.【详解】由题意可得,故，即.故函数的定义域为.故答案为:.14.已知某扇形的弧长为，面积为，则该扇形的圆心角（正角）为_________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件求出扇形所在圆的半径即可计算作答.【详解】设扇形所在圆的半径为，扇形弧长为，即，由扇形面积得：，解得，所以该扇形的圆心角(正角)为.故答案为：15.两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则___________种购物策略比较经济．（填“甲”或“乙”）【答案】乙【解析】【分析】由题意依次将两种策略两次购买物品平均价格表示出来，用作差法比较大小即可.【详解】设甲策略每次买件物品，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数为元，则甲策略两次购买物品的平均价格为，乙策略两次购买物品的平均价格为，所以，即，所以乙种购物策略比较经济.故答案为：乙.16.给定函数，若在其定义域内存在使得，则称为“函数”，为该函数的一个“点”．设函数，若1n2是的一个“点”，则实数a的值为______；若为“函数”，则实数a的取值范围为______．【答案】①.3②.【解析】【分析】（1）根据对数函数的概念可得，结合新定义函数可得，解之即可；（2）根据新函数的定义可知当时，有，当时，有，分别得和，结合指数函数的性质和基本不等式即可求解.【详解】由题意知，当时，，由新定义的函数知，，则，有，即，解得；若函数为“函数”，则存在使得，当时，，，即，得，即，得，当且仅当即时等号成立.；当时，，，即，得，当且仅当即时等号成立.所以a的取值范围为.故答案为：；.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知集合，.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）求出集合，再根据列方程求解即可；（2）根据分，讨论求解.【小问1详解】由已知得，解得；【小问2详解】当时，，得当时，或，解得或，综合得或.18.如图，角的终边与单位圆交于点，且.（1）求；（2）求.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义，平方关系以及点的位置可求出，再由商数关系即可求出；（2）利用诱导公式即可求出．【小问1详解】由三角函数定义知,所以,因为,所以,所以.【小问2详解】原式.19.已知函数为奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断在上的单调性并简单说明理由（不必证明）；（3）解关于t的不等式．【答案】（1）（2）单调递增，理由见解析（3）不等式的解集为【解析】【分析】（1）直接由奇函数性质求解，并检验即可.（2）由复合函数单调性判断，用定义结合指数函数单调性说明理由即可.（3）由奇函数性质以及单调性将不等式等价转换求解即可.小问1详解】由题意，解得，此时，而它的定义域为关于原点对称，且，所以经检验满足题意.【小问2详解】由题意上单调递增，理由如下：不妨设，则，即，所以函数在上单调递增.【小问3详解】由题意，又因为函数在上单调递增，所以，即，解得，即不等式的解集为.20.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关.经验表明，某种绿茶，用一定温度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感.某研究员在泡制茶水的过程中，每隔1min测量一次茶水温度，收集到以下数据：时间/min012345水温/℃85.0079.0073.6068.7464.3660.42设茶水温度从85°C开始，经过tmin后温度为y℃，为了刻画茶水温度随时间变化的规律，现有以下两种函数模型供选择：①；②（1）选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前3组数据，求出函数模型的解析式；（2）若茶水温度降至55℃时饮用，可以产生最佳口感，根据（1）中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感?（参考数据：，）【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据表中数据可知，随着时间的变化，温度越来越低直至室温，所以选择模型①，再列出三个方程，解出，即可得到函数模型的解析式；（2）令，即可求解得出．【小问1详解】由表中数据可知，随着时间的变化，温度越来越低直至室温，就不再下降，所以选择模型①：由前3组数据可得，解得，所以函数模型为．【小问2详解】由题意可知，即，所以，所以刚泡好的茶水大约需要放置才能达到最佳饮用口感.21.已知函数，其中，若实数满足时，的最小值为.（1）求的值及的单调递减区间；（2）若不等式对任意时恒成立，求实数应满足的条件；【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）化简，结合最小正周期求得，得到，结合三角函数的性质，即可求解函数的单调递减区间；（2）化简，令，得到，结合函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：由题意，函数，因为的最小值为，所以的最小正周期，解得，所以，由，解得，所以的单调递减区间为.【小问2详解】解：由，因为，可得令，则，所以，，即，即令，可得，又由函数在为递减函数，所以，所以，解得，即实数的取值范围是.22.已知函数满足如下条件：①对任意；②；③对任意，总有；（1）证明：满足题干条件的函数在