试卷解析：广东省深圳外国X学校2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷（原卷版）

深圳外国语学校2023—2024学年度高二第一学期期末考试数学试题本卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上．2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的．1.已知等比数列中，，则公比（）A.2B.-2C.D.2.直线，则“”是“”的（）条件A.必要不充分B.充分不必要C.充要D.既不充分也不必要3.已知等差数列的前项和为且，则的通项公式为（）AB.C.D.4.与曲线共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为（）A.B.C.D.5.已知平面的一个法向量，点在内，则平面外一点到平面的距离为（）A.4B.2C.D.36.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.7.在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.用他的名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，已知数列满足，，，若，为数列的前项和，则（）A.999B.749C.499D.249二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.方程，则下列说法正确的是（）A.当时，方程表示椭圆B.当时，方程表示焦点在轴上的双曲线C.当时，方程表示圆D.当或时，方程表示双曲线10.已知数列的前项和为，下列说法不正确的是（）A.若，则成等比数列B.若等差数列，则为等比数列C.若，则数列为等差数列D.若，则数列为等比数列11.已知抛物线焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M，N两点，则下列结论正确的是（）A.抛物线的焦点坐标是B.焦点到准线的距离是4C.若点P的坐标为，则的最小值为5D.若Q为线段MN中点，则Q的坐标可以是12.如图，若正方体的棱长为1，点M是正方体的侧面上的一个动点（含边界），P是棱上靠近G点的三等分点，则下列结论正确的有（）A.沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为B.保持与垂直时，M的运动轨迹是线段C.若保持，则点M在侧面内运动路径长度为D.当M在D点时，三棱锥的体积取到最大值三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上．13.已知向量，若∥，则______.14.曲线：与：恰有四条公切线，则实数的取值范围为_____________．15.已知抛物线，直线与相交于两点，若的准线上一点满足，则的坐标为__________.16.已知点为正四面体的外接球上的任意一点，正四面体的棱长为2，则的取值范围为___________.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知直线和圆（1）求证：直线过定点，并求这个定点（2）若直线截圆所得的弦长为，求直线的方程18.已知数列为等差数列，，数列的前项和为，且满足.（1）求和的通项公式：（2）若，求数列的前项和为.19.如图所示，四棱锥中，平面平面，四边形等腰梯形，（1）求证：（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值20.已知双曲线C和椭圆有公共的焦点，且离心率为．（1）求双曲线C的方程．（2）经过点M（2，1）作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程并求弦长．21.设数列前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设数列，对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，记数列的前项和为，求使得的最小整数．22.已知椭圆