试卷解析：广东X验中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题（解析版）

广东实验中学2023—2024学年（上）高一级期末考试数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回.一、选择题（本题共8小题，年小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.命题“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用含有量词的命题否定方法可得答案.【详解】因为命题“”的否定是“”.故选：B.2.在中，三个内角A、B、C所对应的边分别是a、b、c．已知：，：，则是的（）．A.充分非必要条件；B.必要非充分条件；C.充要条件；D.既非充分又非必要条件．【答案】C【解析】【分析】利用定义法直接判断.【详解】充分性：由正弦定理.因为，可得.故充分性满足；必要性：由正弦定理.因为，可得.故必有性满足.故是的充要条件.故选：C3.将图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到的图象，再将图象向左平移，得到的图象，则的解析式为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数图象平移规律可得答案.【详解】将图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到的图象，再将图象向左平移，得到的图象，故选：A.4.若函数是偶函数，则的最小值为（）A.4B.2C.D.【答案】A【解析】【分析】根据为偶函数求出，再利用基本不等式求解.【详解】由为偶函数可得，即，所以．因为，且，，所以，所以，则，当且仅当，即时，取最小值4．故选：A5.若函数（且）的图象恒过定点，且点在角的终边上，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出点的坐标，利用三角函数的定义以及诱导公式可求得的值.【详解】当，即时，，所以，所以，由诱导公式可得.故选：C.6.折扇图1在我国已有三千多年的历史，.它常以字画的形式体现我国的传统文化图2为其结构简化图，设扇面A，间的圆弧长为，，间的圆弧长为，当弦长为，圆弧所对的圆心角为，则扇面字画部分的面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用等腰三角形求得扇形半径，然后得出小扇形半径，再由扇形面积公式计算．【详解】记，如图，在中，因，，，所以，即，，又，即，所以，所以扇面字画部分的面积为，故选：A．7.已知，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】［方法一］：（指对数函数性质）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.综上，.［方法二］：【最优解】（构造函数）由，可得．根据的形式构造函数，则，令，解得，由知.在上单调递增，所以，即，又因为，所以.故选：A.【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．8.将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的图象平移与伸缩变换可得，结合正弦函数的图象先判断，根据正弦型图象的零点，列出不等式组，解出的范围即可.【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，可得，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得的图象，因为，周期，函数在上没有零点，则，所以，因为，所以，又在上没有零点，所以，解得，又因为，，，所以或，故选：B.【点睛】关键点睛：本题求解的关键有两个，一是利用图象变换能准确求出变换后的函数解析式；二是利用区间内没有零点列出限制条件.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列等式中正确的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】A选项，逆用正弦倍角公式进行求解；B选项，逆用余弦二倍角公式计算；C选项，逆用正切差角公式进行求解；D选项，逆用正弦和角公式计算.【详解】A选项，，A正确；B选项，，B错误；C选项，，C正确；D选项，，D错误.故选：AC10.对于函数，下列说法正确是（）A.最小正周期为B.的单调递减区间为C.图像关于对称D.对称轴方程为【答案】ABD【解析】【分析】先根据二倍角公式化简函数解析式可得，再由余弦函数的性质判断各选项的对错.【详解】对于A，∵，∴的最小正周期为，故A正确，对于B，由，得，所以单调递减区间为，故B正确.对于C，令，解得，所以的对称中心为，故C错误；对于D，的图像的对称轴方程为，即，故D正确.故选：ABD.11.已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.12.设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（）A.B.为奇函数C.在上为减函数D.方程仅有6个实数解【答案】ABD【解析】【分析】根据为偶函数和为奇函数可得即可判断A；利用函数的奇偶性建立方程，证明为一个周期函数，即可判断B；根据函数的单调性、对称性和周期性即可判断C；利用数形结合的思想，结合图形即可判断D.【详解】A：为偶函数，故，令，得，为奇函数，故，令，得，其中，所以，故A正确；B：因为为奇函数，则,得，又为偶函数，则，得，所以，令得，即，则，即，所以8为函数的一个周期.故，所以，从而为奇函数，故B正确；C：在区间上是增函数，且的图象关于点对称，所以在上单调递增，又周期为8，故在上单调递增，故C错误；D：作出与的大致图象，如图所示，其中单调递减且，所以两函数图象有6个交点，故方程仅有6个实数解，故D正确.故选：ABD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，且．若函数有最大值，则关于x的不等式的解集为_________．【答案】【解析】【分析】由复合函数单调性可确定在上单调递减，在上单调递增；由函数有最大值可知单调递减，得到；根据对数函数单调性可将不等式化为，解不等式求得结果.【详解】，定义域为在上单调递减，在上单调递增有最大值，需在上单调递减，由，得，解得：不等式的解集为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数单调性求解函数不等式，涉及到复合函数单调性的求解、根据函数有最值求解参数范围等知识，解题的关键是通过复合函数的单调性确定函数有最值时，对数的底数所处的范围，再利用对数函数的单调性解不等，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于中档题.14.已知，则_______．【答案】【解析】【分析】利用三角函数两角和与差的余弦公式化简计算可得结果.【详解】由可得，，所以，化简得，故故答案为：.15.函数在区间上的值域是__________．【答案】【解析】【分析】令，根据同角的三角函数关系式求出关于的表达式，最后利用二次函数的单调性求出函数的值域.【详解】令，因为，，所以，，设，显然一元二次函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，所以函数的值域为.故答案为：.16.设，若存在使得关于x的方程恰有六个解，则b的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】作出f(x)的图像，当时，，当时，.令，则，则该关于t的方程有两个解、，设＜，则，.令，则，据此求出a的范围，从而求出b的范围．【详解】当时，，当时，，当时，，则f(x)图像如图所示：当时，，当时，．令，则，∵关于x的方程恰有六个解，∴关于t的方程有两个解、，设＜，则，，令，则，∴且，要存在a满足条件，则，解得．故答案为：．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）17.（1）求值：；（2）若，化简.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用对数的运算性质计算即可；（2）先变形得，然后利用同角三角函数的平方关系及三角函数值的符号进行整理化简.【详解】（1）;（2）若，则，18.已知，，其中，（1）求角；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据，然后利用两角差的余弦代入即可.（2）根据，利用倍角公式算出，代入即可求解.【小问1详解】解：由题意得：又【小问2详解】，19.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（1）求A；（2）若，求sinC．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：，从而可整理出，根据可求得结果；（2）[方法一]由题意利用正弦定理边化角，然后结合三角形内角和可得，然后结合辅助角公式可得，据此由两角和差正余弦公式可得．【详解】（1），即：，由正弦定理可得：，，，.（2）[方法一]正弦定理+两角和差正余弦由（1）知，，所以由，得，整理得，即．又，所以，即，则．[方法二]正弦定理+方程思想由，得，代入，得，整理得，则．由，得，所以．[方法三]余弦定理令．由，得．将代入中，可得，即，解得或（舍去）．所以，从而．[方法四]摄影定理因，所以，由射影定理得，所以．【整体点评】方法一：首先由正弦定理边化角，然后由两角和差正余弦公式求解的值；方法二：首先由正弦定理边化角，然后结合题意列方程，求解方程可得的值；方法三：利用余弦定理求得的值，然后结合正弦定理可得的值；方法四：利用摄影定理求得的值，然后由两角和差正余弦公式求解的值；【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.20.两社区和相距2km，现计划在两社区外以为直径的半圆弧（不含，两点）上选择一点建造口袋公园（如图所示），其对社区的噪音影响度与所选地点到社区的距离有关.口袋公园对社区的噪音影响度是所选地点到社区的距离的平方的反比例函数，比例系数为0.01；对社区的噪音影响度是所选地点到社区的距离的平方的反比例函数，比例系数为，对社区和社区的总噪音影响度为对社区和社区的噪音影响度之和.记点到社区的距离为，建在处的口袋公园对社区和社区的总噪音影响度为.统计调查表明：当口袋公园建在半圆弧的中点时，对社区和社区的总噪音影响度为0.05.（1）将表示成的函数；（2）判断半圆弧上是否存在一点，使得建在此处的口袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小？若存在，求出该点到社区的距离；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）存在，当该点到社区的距离时，袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小.【解析】【分析】（1）利用勾股定理即可得出，再根据反比例函数定义和已知条件可解得，即可写出关于的函数；（2）利用整体代换和基本不等式确定的最小值，验证等号成立时的取值是否符合题意，即可判断得出结论并确定位置.【小问1详解】由为直径可得，所以由题意可知，又当口袋公园建在半圆弧的中点时，对社区和社区的总噪音影响度为0.05，即时，，代入得，所以，即关于的函数为【小问2详解】口袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小，即的取值最小，由（1）知令，则可得，当且仅当时，等号成立；且，所以，即，此时，即，解得.因此，半圆弧上存在一点，且该点到社区的距离满足时，建在此处的口袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小.21.若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在，使成立，则称该函数为“圆满函数”.已知函数；（1）判断函数是否为“圆满函数”，并说明理由；（2）设，证明：有且只有一个零点，且.【答案】（1）不是“圆满函数”，理由见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）取特殊值，代入“圆满函数”的定义，判断是否有实数能满足；（2）当时，利用零点存在性定理讨论存在零点，以及当时，证明在上没有零点，再化简，转化为证明不等式.【详解】解：（1）若是“圆满函数”.取，存在，使得，即，整理得，但是，矛盾，所以不是“圆满函数”.（2）易知函数的图象在上连续不断.①当时，因为与在上单调递增，所以在上单调递增.因为，，所以.根据函数零点存在定理，存在，使得，所以在上有且只有一个零点.②当时，因为单调递增，所以，因为.所以，所以在上没有零点.综上：有且只有一个零点.因为，即，所以，.因为在上单调递减，所以，所以.