备战2025年高考二轮复习数学题型专项练11　中低档大题规范练(e)

题型专项练11中低档大题规范练(E)(分值:43分)学生用书P2351.(13分)(2024辽宁葫芦岛一模)为了培养具有创新潜质的学生,某高校决定选拔优秀的中学生参加人工智能夏令营.选拔考试分为“Python编程语言”和“数据结构算法”两个科目,考生两个科目考试的顺序自选,若第一科考试不合格,则直接淘汰;若第一科考试合格,则进行第二科考试,无论第二科考试是否合格,考试都结束.“Python编程语言”考试合格得4分,不合格得0分;“数据结构算法”考试合格得6分,不合格得0分.已知甲同学参加“Python编程语言”考试合格的概率为0.8,参加“数据结构算法”考试合格的概率为0.7.(1)若甲同学先进行“Python编程语言”考试,记X为甲同学的累计得分,求X的分布列;(2)为使累计得分的期望值最大,甲同学应选择先参加哪一科考试?说明理由.解(1)由题意知,X的可能取值为0,4,10,所以P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=4)=0.8×(1-0.7)=0.24,P(X=10)=0.8×0.7=0.56,所以X的分布列为X0410P0.20.240.56(2)甲同学选择先参加“Python编程语言”考试,理由如下:由(1)可知E(X)=0×0.2+4×0.24+10×0.56=6.56.记Y为甲同学先参加“数据结构算法”考试的累计得分,则Y的可能取值为0,6,10,P(Y=0)=1-0.7=0.3,P(Y=6)=0.7×(1-0.8)=0.14,P(Y=10)=0.7×0.8=0.56,所以Y的分布列为Y0610P0.30.140.56E(Y)=0×0.3+6×0.14+10×0.56=6.44<6.56,即E(Y)<E(X),所以甲同学应选择先参加“Python编程语言”考试.2.(15分)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为平行四边形,M,N分别为AB,DD1的中点.(1)证明:DM∥平面A1BN;(2)若底面ABCD为矩形,AB=4,AD=2,异面直线DM与A1N所成角的余弦值为105,求点D到平面A1BN的距离(1)证明如图,设E为A1B的中点,连接NE,ME,因为M为AB的中点,所以ME∥AA1,且ME=12AA1,因为N为DD1的中点,所以DN∥AA1,且DN=12AA所以ME∥DN,且ME=DN,所以四边形EMDN为平行四边形,所以EN∥DM,又因为DM⊄平面A1BN,EN⊂平面A1BN,所以DM∥平面A1BN.(2)解若直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为矩形,则AB,AD,AA1两两垂直,以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设AA1=2t(t>0),则A(0,0,0),B(4,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,2t),M(2,0,0),N(0,2,t),B1(4,0,2t),DM=(2,-2,0),A1N=(0,2,-t设异面直线DM与A1N所成的角为θ,则cosθ=|cos<DM,A1N>|=|DM·A1N||DM||则A1B=(4,0,-2),A1N=(0,2,-1),设平面A1BN的法向量为n=(x,y,z),点D到平面A1BN的距离为d,则A1B·n=0,A1所以d=|DN即点D到平面A1BN的距离为633.(15分)(2024湖南长沙模拟)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知tanC+3=tanB(3tanC-1).(1)求A;(2)若a=3,△ABC所在平面内有一点D满足∠BDC=2π3,且BC平分∠ABD,求△ACD解(1)由tanC+3=tanB(3tanC-1),得tanB+tanC=-3(1-tanBtanC),当1-tanBtanC=0时,tanB+tanC=0,联立方程,得tan2B=tan2C=-1,无解,故1-tanBtanC≠0.所以tan(B+C)=tanB+tanC所以tan(π-A)=-3,所以tanA=3,又A∈(0,π),所以A=π3(2)由(1)知∠BAC=π3设∠ABC=∠CBD=x,在△BCD中,∠BDC=2π3,故x∈0,π3,则∠ACD=2π-π3-2π3-由正弦定理得BCsin∠BAC=ACsinx,故△ACD的面积S△ACD=12AC·CD·sin∠ACD=12(2sinx)2·sin(π-2x)=4sin3xcosx,令φ(x)=4sin3xcos则φ'(x)=12sin2xcos2x-4sin4x=4sin2x·(3cosx+sin