2025版一轮高考总复习数学第九章第六节　二项分布、超几何分布与正态分布

第六节二项分布、超几何分布与正态分布1.通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.2.通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题.3.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量；通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征；了解正态分布的均值、方差及其含义.1.伯努利试验与二项分布（1）伯努利试验：只包含可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为；（2）二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（0＜p＜1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P（X＝k）＝，k＝0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作.2.超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P（X＝k）＝CMkCN－Mn－kCNn，k＝其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.提醒超几何分布中的随机变量为抽到的某类个体的个数.主要特征为：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.3.正态分布若随机变量X服从正态分布，记为X～N（μ，σ2），其中E（X）＝μ，D（X）＝σ2，其正态密度函数为f（x）＝1σ2πe－（x－μ）22（1）正态曲线的特点①曲线位于x轴，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线对称；③曲线在x＝μ处达到峰值；④曲线与x轴之间的面积为；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.（2）正态分布的三个常用数据①P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.6827；②P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.9545；③P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.9973.1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）n重伯努利试验中各次试验的结果相互独立.（）（2）若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布.（）（3）超几何分布的总体里只有两类物品.（）（4）正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的.（）（5）正态分布是对连续型随机变量而言的.（）2.已知随机变量X服从二项分布X～B（6，13），则P（X＝2）＝（A.80243 B.C.4243 D.3.（2024·南京六校联考）某校高三年级有1000人参加期末考试，经统计发现数学成绩近似服从正态分布N（100，σ2），且成绩不低于110分的人数为200，则此次考试数学成绩高于90分的人数约为（）A.700 B.800C.900 D.9504.甲、乙两羽毛球运动员之间的训练，要进行三场比赛，且这三场比赛可看作三次伯努利试验，若甲至少取胜一次的概率为6364，则甲恰好取胜一次的概率为（A.14 B.C.964 D.5.某产品有5件正品和3件次品混在了一起（产品外观上看不出有任何区别），现从这8件产品中随机抽取3件，则取出的3件产品中恰有1件是次品的概率为.1.对于二项分布X～B（n，p），E（X）＝np，D（X）＝np（1－p）.2.对于超几何分布X～H（n，M，N），则E（X）＝nMN，D（X）＝nMN·（1－MN3.对于正态分布X～N（μ，σ2），E（X）＝μ，D（X）＝σ2.1.已知一盒子中有棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子.任意取出2粒，若X表示取得白子的个数，则X的均值E（X）＝，方差D（X）＝.2.在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题.乙能正确完成每道题的概率为23，且每道题完成与否互不影响.记乙能答对的题数为Y，则E（Y）＝，D（Y）＝n重伯努利试验与二项分布考向1n重伯努利试验【例1】（1）下列事件是n重伯努利试验的是（）A.运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”B.甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”C.甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”D.在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标（2）在4重伯努利试验中，若事件A至少发生1次的概率为6581，则事件A在1次试验中发生的概率为听课记录解题技法n重伯努利试验的判断及相应概率的求解策略（1）符合n重伯努利试验必须满足的两个特征：①每次试验的条件完全相同，有关事件的概率保持不变；②各次试验的结果互不影响，即各次试验相互独立；（2）在求n重伯努利试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n，p和k的值，再准确利用公式P（X＝k）＝Cnkpk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n考向2二项分布【例2】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立（1）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和期望；（2）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.解题技法二项分布的期望与方差的求解策略（1）如果ξ～B（n，p），则用公式E（ξ）＝np，D（ξ）＝np（1－p）求解，可大大减少计算量；（2）有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E（aξ＋b）＝aE（ξ）＋b以及E（ξ）＝np求出E（aξ＋b），同样还可求出D（aξ＋b）.1.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.则质点P移动五次后位于点（2，3）的概率是2.为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“3＋1＋2”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学、生物、政治、地理四科中选择两科作为高考科目.某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，B组合：历史、政治、地理，C组合：物理、化学、地理，根据选课数据得到，选择A组合的概率为35，选择B组合的概率为15，选择C组合的概率为15（1）求这三位同学恰好选择互不相同的组合的概率；（2）记η表示这三人中选择含地理的组合的人数，求η的分布列及均值.超几何分布【例3】某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.（1）求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率；（2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及期望.解题技法求超几何分布的分布列的3个步骤（1）验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；（2）根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；（3）用表格的形式列出分布列.为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动.（1）求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；（2）记参加活动的女生人数为X，求X的分布列及期望E（X），方差D（X）.正态分布【例4】（2021·新高考Ⅱ卷6题）某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2），下列结论中不正确的是（）A.σ越小，该物理量在一次测量中在（9.9，10.1）的概率越大B.σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.σ越小，该物理量在一次测量中落在（9.9，10.2）与落在（10，10.3）的概率相等听课记录解题技法解决正态分布问题有三个关键点：（1）对称轴x＝μ；（2）标准差σ；（3）分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.1.若随机变量X～B（3，p），Y～N（2，σ2），若P（X≥1）＝0.657，P（0＜Y＜2）＝p，则P（Y＞4）＝（）A.0.2 B.0.3