备战2025年高考二轮复习数学题型专项练10　中低档大题规范练(d)

题型专项练10中低档大题规范练(D)(分值:43分)学生用书P2331.(13分)已知{an}是各项都为正数的等比数列,数列{bn}满足bn=2log2an+1,且b1=1,b4=7.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)若对任意的n∈N*都有2λan≥bn-2,求实数λ的取值范围.解(1)因为bn=2log2an+1,b1=1,b4=7,所以b1=2log2a1+1=1,b4=2log2a4+1=7,得a1=1,a4=8.因为{an}是各项都为正数的等比数列,所以q3=a4a1=8,得q=2,所以an=a1qn-1=2n-1,则bn=2log2an+1=2(n-1)+1=2(2)若对任意的n∈N*,2λan≥bn-2恒成立,则λ≥2n-32n恒成立,设f(n)=2n-32n(n∈N*),则f当n≤2时,f(n+1)-f(n)>0,则f(3)>f(2)>f(1);当n≥3时,f(n+1)-f(n)<0,则f(3)>f(4)>f(5)>….所以f(n)max=f(3)=38,所以λ≥f(n)max=38,即λ≥2.(15分)(2024河北唐山二模)某学校组织游戏活动,让学生从盒子中有放回地摸球.规定每次只能摸取1个球,且每次摸球的结果相互独立.已知盒中有1分球和2分球若干,摸到1分球的概率为23,摸到2分球的概率为1(1)若学生甲摸球2次,其总得分记为X,求随机变量X的分布列与期望;(2)学生甲、乙各摸5次球,若两人的最终得分相同,则都不获得奖励;若不同,则得分多者获得奖励.已知甲前3次摸球得了6分,求乙获得奖励的概率.解(1)由题意知,学生甲摸球2次总得分X的可能取值为2,3,4,则P(X=2)=23×23=49,P(X=3)=C21×2X234P441所以E(X)=2×49+3×49+4×(2)记Am=“甲最终得分为m分”,m=8,9,10;B=“乙获得奖励”.P(A9)=C21×23×13=当甲最终得9分时,乙获得奖励需要最终得10分,则P(B|A9)=135;当甲最终得8分时,乙获得奖励需要最终得10分或9分,则P(B|A8)=135+C51×23×134=11×13故P(B)=P(A9B)+P(A8B)=P(A9)P(B|A9)+P(A8)P(B|A8)=49×135+49×11×135=483即乙获得奖励的概率为167293.(15分)如图,在棱长均为2的斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点A1在平面ABC内的投影O是棱AC的中点,P为棱A1B1(包含端点)上的动点.(1)求点P到平面ABC1的距离;(2)若AP⊥平面α,求直线BC1与平面α所成角的正弦值的取值范围.解(1)由题意知,A1O⊥平面ABC,OB⊥AC(底面△ABC为正三角形),且A1O=OB=3,以O为原点,OB,OC,OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则O(0,0,0),A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,3),C1(0,2,3),AC1=(0,3,3),AB=(3,1,0),BC1=(-3,2,3),AA因为A1B1∥AB,A1B1⊄平面ABC1,AB⊂平面ABC1,所以A1B1∥平面ABC1,又点P在棱A1B1上,所以点P到平面ABC1的距离等于点A1到平面ABC1的距离,设n=(x,y,z)为平面ABC1的法向量,则n·AC1=3y+3z=0,n·AB=3x+y=0,取所以点P到平面ABC1的距离为239(2)设A1P=λA1B则AP=AA1+A1P=AA1+λAB=(0,1,3)+λ(3,1,0)=(3λ,1+λ,3),设直线BC1与平面α所成的角为θ,则sinθ=|cos<BC1,AP>|=令t=5-λ,则λ=5-t,t∈[4,5],则sinθ=t25·2(设x=1t,f(x)=57x-7382+576由t∈[4,5],得x∈15,14,因为738<735=15,所以f(