2025版一轮高考总复习数学第五章　数列第二节　等差数列

第二节等差数列1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.体会等差数列与一元一次函数的关系.1.等差数列的有关概念（1）定义：如果一个数列从起，每一项与它的前一项的都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，公差通常用字母d表示，符号表示为（n∈N*，d为常数）.提醒在公差为d的等差数列{an}中：①d＞0⇔{an}为递增数列；②d＝0⇔{an}为常数列；③d＜0⇔{an}为递减数列.（2）等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a与b的等差中项.2.等差数列的有关公式（1）通项公式：an＝a1＋（n－1）d＝nd＋（a1－d）⇒当d≠0时，an是关于n的一次函数模型，即an＝pn＋q，其中p为公差；（2）前n项和公式：Sn＝n（a1＋an）2Sn＝na1＋n（n－1）2d＝d2n2＋a1－d2n⇒当d≠0时3.等差数列的常用性质（1）通项公式的推广：an＝am＋（n－m）d（n，m∈N*）；（2）若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则ak＋al＝am＋an；（3）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差为md的等差数列；（4）数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，公差为.1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.（）（2）等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.（）（3）数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.（）（4）等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.（）2.在数列{an}中，a1＝－2，an＋1－an＝2，则a5＝（）A.－6 B.6C.－10 D.103.已知等差数列{an}，若a1＝12，a2＋a5＝36，则a6＝（）A.20 B.24C.28 D.324.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a2＝2，S4＝14，则an＝.5.（2024·金华模拟）在首项为28的等差数列{an}中，从第8项开始为负数，则公差d的取值范围是.1.若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和分别为Sn，Tn，则anbn2.若{an}是等差数列，则Snn也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}公差的3.若等差数列{an}的项数为偶数2n，则S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1）；S偶－S奇＝nd，S奇S偶4.若等差数列{an}的项数为奇数2n－1，则S2n－1＝（2n－1）an；S奇S偶＝nn－1；S奇－S偶＝1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－2023，且S20242024－S2023A.0 B.1C.2023 D.20242.在项数为2n的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则n＝.3.已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为.4.已知数列{an}，{bn}都是等差数列，Sn，Tn分别是它们的前n项和，并且SnTn＝7n+33等差数列基本量的运算【例1】（1）（2023·全国甲卷5题）记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝（）A.25 B.22C.20 D.15（2）（多选）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是（）A.a2＋a3＝0 B.an＝2n－5C.Sn＝n（n－4） D.d＝－2听课记录解题技法等差数列基本量运算的常见类型及解题策略（1）求公差d或项数n：在求解时，一般要运用方程思想；（2）求通项：a1和d是等差数列的两个基本元素；（3）求特定项：利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解；（4）求前n项和：利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解.1.已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，则n＝（）A.6 B.7C.8 D.92.在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圜丘坛的地面由扇环形的石板铺成，如图，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共9圈，则第7圈的石板数为，前9圈的石板总数为.等差数列的判定与证明【例2】（2022·全国甲卷17题节选）记Sn为数列{an}的前n项和.已知2Snn＋n＝2an＋1.证明：{an（变条件）已知数列{an}的各项均为正数，∀n∈N*，an+12＝anan＋2＋t，t为常数，且2a3＝a2＋a4.证明：数列{an解题技法判断数列{an}是等差数列的常用方法（1）定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数；（2）等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1；（3）通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q（p，q为常数）；（4）前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn（A，B为常数）.提醒（3）（4）只适用于客观题的求解与判断.1.已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn（a，b∈R）且a2＝3，a6＝11，则S7＝（）A.13 B.49C.35 D.632.数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且1an－1＝2an－1an+1（n≥2），则数列{A.1100 B.1C.12100 3.已知bn为数列{an}的前n项积，且2an＋1bn＝2.证明：数列{b等差数列的性质及应用考向1等差数列项的性质【例3】（1）在等差数列{an}中，已知a2＝5，am＝7，am＋3＝10，则数列{an}的前m项和为（）A.12 B.22C.23 D.25（2）已知数列{an}，{bn}都是等差数列，a1＝1，b1＝5，且a21－b21＝34，则a11－b11＝（）A.－17 B.－15C.17 D.15听课记录解题技法利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分，在Sn＝n（a1＋an）2中，Sn考向2等差数列前n项和的性质【例4】（1）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40＝（）A.110 B.150C.210 D.280（2）等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有SnTn＝2n－13n听课记录解题技法在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则：（1）S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1），S2n－1＝（2n－1）an；（2）Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列.考向3等差数列前n项和的最值问题【例5】（多选）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S15＞0，S16＜0，则（）A.a8＞0 B.a9＜0C.S1a1，S2a2，…，S15a15中最大的项为S9a听课记录解题技法求等差数列前