2025版一轮高考总复习数学第七章　立体几何与空间向量教考衔接7⇒空间直角坐标系的构建策略

空间直角坐标系的构建策略坐标法是利用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的重要方法，运用坐标法解题就需要建立空间直角坐标系，而如何建立恰当的空间直角坐标系是本章的难点，这就要求学生抓住空间几何图形的结构特征，充分利用图形中的垂直关系（或在图形中构造垂直关系）建系，下面就几种常见的建系方法予以说明.建系方法类型1利用共顶点的互相垂直的三条棱构建空间直角坐标系【例1】（2023·新高考Ⅰ卷18题）如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.（1）证明：B2C2∥A2D2；（2）点P在棱BB1上，当二面角P-A2C2-D2为150°时，求B2P.建系方法以C为坐标原点，CD，CB，CC1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-反思感悟由题意知，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，三条棱CD，CB，CC1两两互相垂直且交于一点C，可考虑以点C为原点，三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，此为根据题目中现有的条件，直接建立空间直角坐标系.类型2利用线面垂直关系构建空间直角坐标系【例2】（2021·全国乙卷18题）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM.（1）求BC；（2）求二面角A-PM-B的正弦值.建系方法因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥DC.在矩形ABCD中，AD⊥DC，故可以点D为坐标原点建立空间直角坐标系.反思感悟由条件中的垂直关系PD⊥底面ABCD，且四边形ABCD为矩形，进而得PD，AD，DC两两垂直且共点于D，可建立空间直角坐标系，此为通过先证明题目中建系的条件，再建立空间直角坐标系.类型3利用面面垂直关系构建空间直角坐标系【例3】（2021·新高考Ⅰ卷20题）如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点.（1）证明：OA⊥CD；（2）若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E-BC-D的大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积.建系方法由题意知AO⊥平面BCD，显然AO⊥OB.以O为坐标原点，OB，OA所在直线分别为x，z轴，在平面BCD内，以过点O且与BD垂直的直线为y轴建立空间直角坐标系.反思感悟由已知条件平面ABD⊥平面BCD，结合其他已知证得AO⊥平面BCD，选取OB，OA所在的直线分别为x，z轴后，y轴就可由以下三个限制条件确定：①必须在平面BCD内且过点O；②必须垂直于OB；③方向必须符合右手直角坐标系.类型4利用正棱锥的底面中心与高所在的直线构建空间直角坐标系【例4】已知正四棱锥V-ABCD中，E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为2a，高为h，若BE⊥VC，则∠DEB的余弦值为.建系方法如图所示，以V在底面ABCD内的投影O为坐标原点建立空间直角坐标系，其中Ox∥BC，Oy∥AB.反思感悟解决有关正棱锥的题目时，一般要利用正棱锥的底面中心与正棱锥的高所在的直线构建空间直角坐标系.类型5利用底面正三角形构建空间直角坐标系【例5】如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点.（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.建系方法在正三棱柱ABC-A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，连接OB，OO1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以{OB，OC，OO1}为基底，反思感悟底面为正三角形的几何体建系时，一般将正三角形底边中线和与底边中线垂直的直线作为建立的空间直角坐标系的x轴，y轴，再结合其他条件确定z轴.类型6不规则图形的建系【例6】（2023·新高考Ⅱ卷20题）如图，三棱锥A-BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点.（1）证明：BC⊥DA；（2）点F满足EF＝DA，求二面角D-AB-F的正弦值.建系方法由于题目中没有明确给出建系所需的垂直条件，而是给出了其他可证明三线共点且两两垂直的条件，在此情况下就必须先证明再建系.本题在第（1）问证明BC⊥DA时，已证得BC⊥平面ADE，又因DA＝DB＝DC，设DA＝DB＝DC＝2，由∠ADB＝∠ADC＝60°，知△ABD与△ACD为等边三角形，所以AB＝AC＝2.又BD⊥CD，所以BC＝22.因为AB2＋AC2＝BC2，所以△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°，所以AE＝2.因为BD⊥CD，所以DE＝12BC＝2.因为AE2＋DE2＝AD2，所以AE⊥DE.又AE⊥BC，BC⊂平面BCD，DE⊂平面BCD，BC∩DE＝E，所以AE⊥平面BCD，所以可分别以ED，EB，EA所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标反思感悟若题目中给出的几何体不是简单的空间几何体，而是不规则的几何图形，应先根据已知条件证明出共点的三线两两垂直，再建立空间直角坐标系.一般原点选取在某线段的中点或互相垂直的两线段的交点处.综上六类常见几何图形的建系特征，即从直接利用具有公共顶点的三条棱构建空间直角坐标系，到利用线面垂直、面面垂直构建空间直角坐标系，再到利用立体图形的对称性等构建空间直角坐标系，有些题目可直接建立空间直角坐标系，而有些题目需先证明存在垂直关系后，再建立空间直角坐标系.无论利用哪种关系建系，都应遵循与求解问题相关的元素尽可能在坐标轴上或坐标平面上，这样便于计算点的坐标（空间向量的坐标），减少运算量.高考还可这样考1.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝12AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点（1）证明：直线CE∥平面PAB；（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成的角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值