2025版一轮高考总复习数学第七章　立体几何与空间向量第五节　空间向量的概念及运算

第五节空间向量的概念及运算1.了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.1.空间向量及其有关概念概念语言描述共线向量（平行向量）表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合共面向量平行于的向量共线向量定理对任意两个空间向量a，b（b≠0），a∥b⇔存在实数λ，使共面向量定理如果两个向量a，b，那么向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对（x，y），使p＝xa＋yb空间向量基本定理及推论定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得p＝.推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的有序实数组（x，y，z），使OP＝xOA＋yOB＋zOC且x＋y＋z＝2.空间向量的数量积及坐标运算（1）两个非零空间向量的数量积①a·b＝；②a⊥b⇔a·b＝0；③设a＝（x，y，z），则｜a｜2＝a2，｜a｜＝x2（2）空间向量运算的坐标表示a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），λ∈R向量和a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3）向量差a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3）数乘向量λa＝（λa1，λa2，λa3）数量积a·b＝共线a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R，b≠0）垂直a⊥b⇔＝0夹角公式cos＜a，b＞＝a1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）空间中任意两个非零向量a，b共面.（）（2）若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量.（）（3）对于向量a，b，若a·b＝0，则一定有a＝0或b＝0.（）（4）空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是（0，b，c），b，c∈R.（）2.已知向量a＝（2，－3，1），b＝（2，0，3），c＝（0，0，2），则a·（b＋c）＝（）A.6 B.7C.9 D.133.已知空间向量a＝（1，1，0），b＝（0，－1，4），则｜a＋b｜＝（）A.15 B.15C.17 D.174.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则下列向量中与BM相等的向量是（A.－12a＋12b＋c B.12a＋1C.－12a－12b＋c D.12a－15.在△ABC中，已知AB＝（2，4，0），BC＝（－1，3，0），则∠ABC＝.在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是：OP＝xOA＋yOB＋zOC（其中x＋y＋z＝1），O为空间中任意一点.O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且OP＝14OA＋18OB＋tOC，若P，A，B，C四点共面，则实数空间向量的线性运算【例1】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点.化简A1O－12AB－12AD＝；用AB，AD，AA1表示听课记录解题技法空间向量线性运算中的三个关键点1.如图，三棱锥O-ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，用a，b，c表示NM，则NM＝（）A.12（－a＋b＋c） B.12（a＋b－C.12（a－b＋c） D.12（－a－b＋2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是C1D1的中点，且AP＝AD＋xAB＋yAA1，则实数x＋y＝（A.－32 B.－1C.12 D.共线、共面向量定理的应用【例2】已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM＝13（OA＋OB＋OC）（1）判断MA，MB，MC三个向量是否共面；（2）判断点M是否在平面ABC内.解题技法证明三点共线和空间四点共面的方法比较1.已知空间中A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若BD＝6PA－4PB＋λPC，则λ＝（）A.2 B.－2C.1 D.－12.若A（－1，2，3），B（2，1，4），C（m，n，1）三点共线，则m＋n＝.空间向量数量积的应用【例3】如图，正四面体ABCD的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设AB＝a，AC＝b，AD＝c，试采用向量法解决下列问题：（1）求EF的模长；（2）求EF与GH的夹角.解题技法空间向量数量积的3个应用（1）求夹角：设向量a，b的夹角为θ，则cosθ＝a·b｜（2）求长度（距离）：利用公式｜a｜2＝a·a，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题；（3）解决垂直问题：利用a⊥b⇔a·b＝0（a≠0，b≠0），可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.1.已知向量a＝（1，2，3），b＝（－2，－4，－6），｜c｜＝14，若（a