2025版一轮高考总复习数学第七章　立体几何与空间向量第四节　直线、平面垂直的判定与性质

第四节直线、平面垂直的判定与性质1.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的关系，归纳出有关垂直的性质定理和判定定理，并加以证明.2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.1.直线与平面垂直（1）定义：如果直线l与平面α内的直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面；（2）直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条直线垂直，那么该直线与此平面垂直⇒性质定理垂直于同一个平面的两条直线⇒a∥（3）直线和平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，它们所成的角是，一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是；②范围：0，2.平面与平面垂直（1）二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角；③范围：[0，π].（2）平面和平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直；（3）平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的，那么这两个平面垂直l⊥αl⊂性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的，那么这条直线与另一个平面垂直α⊥βl⊂β3.空间距离（1）点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离；（2）直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离；（3）两个平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.（）（2）垂直于同一个平面的两平面平行.（）（3）若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.（）（4）若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.（）2.如图，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝（）A.2 B.3C.5 D.133.已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有（）A.平面ABC⊥平面BCD B.平面BCD⊥平面ACDC.平面ABD⊥平面ACD D.平面BCD⊥平面ABD4.正六棱柱相邻两个侧面所成的二面角的大小为.5.如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为.1.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.2.垂直于同一条直线的两个平面平行.3.一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直.4.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.5.三垂线定理：若PO⊥α，PC在平面α内的射影为CO，l⊂α，l⊥CO，则l⊥PC.6.三垂线定理的逆定理：若PO⊥α，PC在平面α内的射影为CO，l⊂α，l⊥PC，则l⊥CO.1.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是（）A.α⊥β且m⊂α B.m⊥n且n∥βC.m∥n且n⊥β D.m⊥n且α∥β2.（多选）下列命题为真命题的是（）A.若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合B.一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直C.垂直于同一条直线的两个平面相互平行D.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面3.（多选）（2021·新高考Ⅱ卷10题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点.则满足MN⊥OP的是（）线面垂直的判定与性质【例1】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：（1）CD⊥AE；（2）PD⊥平面ABE.解题技法1.证明直线和平面垂直的常用方法（1）判定定理；（2）直线垂直于平面的传递性（a∥b，a⊥α⇒b⊥α）；（3）面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）；（4）面面垂直的性质（α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⊂β⇒l⊥α）.2.判定定理证明线面垂直的步骤如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.平面与平面垂直的判定与性质【例2】三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC.（1）若AB⊥BC，求证：平面A1BC⊥平面AA1B1B；（2）若平面A1BC⊥平面AA1B1B，求证：AB⊥BC.解题技法证明面面垂直的2种方法（1）定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题；（2）定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把面面垂直问题转化成证明线面垂直的问题.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点.求证：（1）PA⊥底面ABCD；（2）平面BEF⊥平面PCD.平行与垂直的综合问题【例3】如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形，E，F分别为AD，SB的中点.（1）求证：AF∥平面SEC；（2）求证：平面ASB⊥平面SBC.解题技法立体几何中平行、垂直关系的两种转化如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上（异于点P，C），平面ABE与棱PD交于点F.（1）求证：AB∥EF；（2）若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD.几何法求空间角与距离几何法求空间角与距离主要是转化构造三角形，即把空间角转化为平面角，空间距离转化为平面距离，进而转化为求解三角形的边、角问题.一、几何法求空间角类型1几何法求线面角【例1】如图，已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，侧棱长为4，M为侧棱PC的中点，则直线BM与底面ABCD所成角的正弦值为（）A.143 B.7C.156 D.听课记录点评几何法求线面角的三个步骤：①一作（找）角；②二证明；③三计算.其中作（找）角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解.在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是BC1与B1C的交点，则AD与平面BB1C1C所成角的正弦值是（）A.35 B.2C.32 D.类型2几何法求二面角【例2】如图所示，在三棱锥S-ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝2，SA＝3，则二面角S-BC-A的大小为（）A.30° B.45°C.60° D.75°听课记录点评作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”中，AC＝CB＝CC1，则二面角C1-AB-C的正切值为（）A.1 B.2C.22 D.二、几何法求距离【例3】（1）如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为（）A.23 B.25C.2 D.4（2）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）A.1 B.23C.43 D.听课记录