《工程力学》课件第1章

1.1力的性质1.2力矩1.3力偶1.4约束1.5物体的受力分析及受力图第1章力的性质及物体受力分析

1.1力的性质力是物体间的相互机械作用。这种作用可使物体的运动状态发生改变，或使物体产生变形。力使物体改变运动状态的效应称为力的运动效应（也称为外效应），使物体产生变形的效应称为变形效应（也称为内效应）。力对物体产生的这两种效应是同时出现的。对于不变形的刚体，力只改变其运动状态。力具有下列性质：

(1)力对物体的作用效应，取决于力的大小、方向（包括方位和指向）和作用点。这三个因素称为力的三要素。一个力可以用这三个要素来表示，因此力是矢量，可用一具有方向的线段来表示，如图1.1所示。线段的长度按一定的比例尺表示力的大小，线段的方位和箭头的指向表示力的方向，线段的起点（或终点）表示力的作用点，而与线段重合的直线表示力的作用线。在本书中，矢量用黑体字表示，如F

；该矢量的大小（又称模）则用同文的白体字表示，如F。在国际单位制中，力的单位是牛［顿］，符号是N，1N=1kg·m/s2。图1.1

(2)作用于物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力的作用点也在该点，合力的大小和方向由以这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定（图1.2(a)），称为力的平行四边形合成法则，用数学公式表示为Ｆ＝Ｆ１＋Ｆ２有时，我们不用力的平行四边形法则而用力的三角形法则求合力的大小和方向。在图1.2(b)中，将F1、F2首尾相连构成开口的力三角形，合力F就是这个力三角形的封闭边。图1.2

(3)作用于同一刚体的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同，大小相等，方向相反。该条件称为二力平衡条件。例如，在工程中常有一些满足该条件的直杆，如图1.3中的杆AB。这种杆件通常称为二力杆。图1.3

(4)在任一力系中加上或减去任何一个平衡力系，并不改变原力系对刚体的运动效应，称为加减平衡力系原理。利用二力平衡条件和加减平衡力系原理可以证明以下推论：力在刚体上的作用点可沿作用线移至刚体内的任意一点而不改变该力对刚体作用的效果。此性质称为力的可传性，证明留给读者自己完成。考虑这一性质，作用于刚体的力的三要素可改为：大小、方向和作用线。沿作用线可任意滑动的矢量称为滑移矢量，因此作用于刚体上的力是滑移矢量。但此结论完全不适用于变形体，对于变形体，力的作用效果与作用点密切相关。

(5)两物体间相互作用的力（作用力与反作用力）同时存在，大小相等，作用线相同而指向相反，称为作用力与反作用力定律。这一定律是由牛顿提出的（即牛顿第三定律），这个定律概括了自然界中物体间相互作用力的关系，表明一切力总是成对出现的。根据这个定律，已知作用力则可得知反作用力。该定律是分析物体受力时必须遵循的原则，为研究由一个物体过渡到多个物体组成的系统问题提供了基础。必须注意，作用力与反作用力是分别作用于两个物体上的，不能错误地与二力平衡条件混同起来。

(6)如果变形体在某一力系的作用下处于平衡，若将此变形体刚化为刚体，则其平衡状态不变。这一论断称为刚化公理。刚化公理建立了刚体的平衡条件和变形体平衡条件之间的联系，说明了变形体平衡时，作用在其上的力系必须满足把变形体刚化为刚体后的平衡条件。这样，我们就能把刚体的平衡条件应用到变形体的平衡问题中去，从而扩大了刚体静力学的应用范围。例如，图1.4所示为一刚性杆，在A、B两端作用有一对大小相等、方向相反的拉力，根据二力平衡条件，刚性杆平衡。如果将二力沿杆分别传至另一端，根据力的可传性，刚性杆虽然受压，但平衡状态不变。如果将杆换成柔性绳，在原来的拉力作用下绳平衡；如果将力传递到另一端，虽然两力仍满足二力平衡条件，但绳将失去平衡。由此可知，若要将刚体静力学的理论用于变形体，必须附加变形体的物理条件，在本例中就是柔性绳不能受压。图1.4

【例1.1】根据力的性质证明三力平衡汇交定理：作用于刚体上的三个互不平行的力平衡时，其作用线必相交于一点，且三力共面。证明：如图1.5所示，可得（F1，F2，F3）=（F1′，F2′，F3）=(F，F3)=0式中，0表示力系平衡。由此可知，力F3的作用线必通过F1、F2两力作用线的交点，命题得证。读者可自己找出上述每一步等式中所根据的公理。图1.51.2力矩

1.力对点的矩在生活和生产实际中，存在着在力的作用下绕固定点转动的物体，用球铰链联结的台灯（图1.6）和扳手拧紧螺栓就是常见的例子（图1.7）。力的转动效应是用力矩来度量的。图1.6图1.7在平面力系问题里，设有一作用于物体的力F

及一点O（图1.8），点O至力F

的作用线的垂直距离为d，用MO(F)代表力F

对O点的矩的大小，则MO(F)=Fd

（1.1）这里的O点称为力矩中心，简称矩心；d称为力臂。力对一点的矩被视为代数量，习惯上规定：如果力使静止物体绕矩心转动的方向是逆时针，则取正号；反之，取负号。力矩的单位是牛·米（N·m）或千牛·米(kN·m)等。图1.8在空间力系问题里，力对一点的矩应为矢量，用MO（F）表示（图1.9），即式中，单位基矢量前面的3个系数分别为MO（F）在3个坐标轴上的投影，即（1.2）（1.3）其中，Fx、Fy、Fz分别为F在3个坐标轴上的投影。显然，力矩的大小和方向是随矩心的改变而改变的。因此，力矩是一个定位矢量，其起始点必须画在矩心上。通常将力矩的大小、转向和矩心称为力矩的三要素。对于平面力系问题，若取各力所在平面为xy平面，则任一力的作用点坐标z=0，力在z轴上的投影Fz=0，于是公式（1.2）简化成为只与k相关的一项。这时，可将F对O点的矩作为代数量，得到:图1.9

2.力对轴的矩除了力对点的矩外，力学中还用到力对轴的矩这一概念。力对轴的矩表示的是力使物体绕轴转动的效应，例如用柱铰链安装的门窗、带有轴承的车轮和各种旋转机械等。为了衡量力对刚体绕固定轴转动的作用效果，建立以下力对轴的矩的抽象概念：一个力对于某一轴的矩等于这个力在垂直于该轴的平面上的投影对于该轴与该平面的交点的矩。例如，在图1.10中，设有一力F=及一轴z。任取一平面N垂直于z轴，并令z轴与平面N的交点为O。将力F投影到平面N上，得到F′=。以a代表从点O

至F′的垂直距离，则力F

对于z

轴的矩等于F′对于O点的矩。如令Mz（有时也写做Mz（F））代表F对于z

轴的矩，则Mz=MO（F′），亦即Mz=±F′a(1.5)式(1.5)中的正负号表明力使静止物体绕z轴转动的方向，或者简单地说，表明力矩的转向。正负号的规定依照右手螺旋法则：令力矩的转向为右手螺旋转动的方向，若螺旋前进方向与z

轴正方向一致，如图1.10所示的情况，则取正号；反之，取负号。力对于轴的矩的单位也是牛·米(N·m)或千牛·米(kN·m)等。图1.10在许多问题中，直接根据定义由力在垂直于一轴的平面上的投影计算力对轴的矩往往很不方便。因此，常利用力在直角坐标轴上的投影及其作用点的坐标来计算力对轴的矩。设有一力F

及任一轴z，为了求力F对于z轴的矩，以z轴上一点O为原点，作直角坐标系Oxyz，如图1.11所示。设力F的作用点A的坐标为(x，y，z)，而力F在坐标轴上的投影为Fx、Fy、Fz。将F投影到垂直于z轴的平面即xy平面上得F′。显然，F′在坐标轴x、y上的投影就是Fx、Fy，而A′的坐标就是(x，y)。根据定义，F对于z轴的矩等于F′对于O点的矩，即Mz(F)=MO(F′)；而F′对于O点的矩由式(1.4)求得为MO(F′)=xFy－yFx，因而有Mz(F)=xFy－yFx用相似方法可求得F对x轴的矩及对y轴的矩。这样就得到：

用式(1.6)计算力对轴的矩，往往比直接根据定义计算方便。(1.6)图1.11

3.力对点的矩与力对轴的矩的关系力对一点的矩与力对一轴的矩二者既有差别，又有联系。将式(1.2)与式(1.6)对比可见：式(1.2)中各单位矢量前面的系数分别等于F

对x、y、z轴的矩。但根据矢量分解的公式，各单位矢量前面的系数也就是MO(F)在各轴上的投影。这就表明，MO(F)在各轴上的投影分别等于F对于各轴的矩。因为坐标轴x、y、z是任取的，于是可得定理如下：一个力对于一点的矩在经过该点的任一轴上的投影等于该力对于该轴的矩。1.3力偶大小相等、方向相反、作用线平行但不重合的两个力组成的特殊平行力系，称为力偶。例如司机驾驶汽车时，两手施加于方向盘的力F和F′组成一个力偶(图1.12)。由于F与F′的投影之和为零，因此不存在合力；但由于作用线不重合，因此它们也不可能成为平衡力系。所以，力偶对刚体的作用不可能与一个力等效。如果说单个力是最简单的力系，则力偶是另一种不能再简化的简单力系。力偶的作用效果是改变刚体的转动状态，或引起变形体的扭曲。这种作用效果可以用力偶对任意点的矩来衡量。现计算力偶对作用平面中任一点O的力矩。由图1.13可看出，力偶中两力对作用平面中任一点之矩的代数和都等于Fd，于是定义力偶中力的大小与力偶臂的乘积并冠以正负号为力偶的力偶矩，计为M(F，F′)或简记为M，M=M(F

，F′)=±Fd(1.7)正负号表示力偶的转向，通常以逆时针为正。图1.12图1.13任意选定空间中一个确定点O，自O至F和F′的作用点A、B引矢径rA和rB，自B至A引矢径r(图1.14)，则力偶对点O之矩的大小和方向可由下式确定：

上式表明：力偶对任意点之矩恒等于矢积r×F，与矩心的位置无关。图1.14将r

和F

的矢积定义为力偶(F，F′)的力偶矩矢量，以不带矩心符号的M

表示为

M=r×F(1.8)则力偶对刚体的作用效果完全取决于力偶矩矢量

M

，可用此矢量作为力偶的表达符号。既然力偶的作用效果与矩心无关，则作用于同一刚体的力偶，当力偶矩矢量沿所在直线任意滑动或任意平行移动时，必不影响力偶对刚体的作用效果。可见，作用于同一刚体的力偶矩矢量是一自由矢量。将两力作用线所决定的平面称为力偶的作用面，两力作用线之间的垂直距离d称为力偶臂(图1.14)。力偶矩的模Fd表示力偶的大小，力偶矩所沿直线为作用面的法线，其方向确定力偶的转动方向。与作用于刚体的力的三要素类似，力偶对刚体的作用取决于力偶矩的大小、作用面的方位和力偶的转动方向，称为力偶的三要素。由于力偶矩矢量为自由矢量，不难推断：在保持力偶的方向和力偶矩大小不变的情况下，在力偶作用面内随意改变力的方向，或同时改变力和力偶臂的大小，或将力偶作用面平行移动，都不影响力偶对刚体的作用效果。此性质称为力偶的等效性。

1.柔索细长的系绳、链条、传动带等均属柔索约束。由于柔索只能受拉力的作用，因而柔索的作用是限制物体有脱离它的趋势。柔索的约束力T

作用于物体的接触点，沿柔索而背离物体的方向，是拉力。由于柔索的细长性，因而约束力T

可认为是一集中力，约束力方向如图1.15所示。1.4约束图1.15

2.光滑接触面物体与约束的接触面如果是光滑的，即它们间的摩擦可以忽略时，约束不能阻止物体沿接触处切面任何方向的位移，而只能限制沿接触点处公法线而指向约束方向的位移，所以光滑支承面的约束力沿该公法线而指向物体，是压力。例如在图1.16(a)中，光滑固定曲面给圆柱的约束力为N

；在图1.16(b)中，AD杆倚靠在固定挡块上，挡块给杆的约束力为NB；在图1.16(c)中，板搁在固定槽内，板与槽在A、B、C三点接触，如果接触处均是光滑的，则它们的约束力分别为NA，NB，NC。图1.16

3.光滑铰链包括球铰链和圆柱铰链在内的光滑铰链约束是一种特殊的光滑接触面约束。球铰链简称为球铰，由球头和球窝将两个杆件连在一起，被连接构件可以绕球心作相对转动，但不能作离开球心向任意方向的移动，如汽车变速箱的操纵杆，可向任意方向转动的台灯接头等。球头与球窝的接触点位置取决于被约束物体的受力情形，因而约束力的方向不能事先确定，但根据光滑接触面的性质，其约束力的作用线必定通过球心，通常用符号N

表示。为分析计算方便，常将N

分解为沿三个坐标方向的分力(图1.17)。球铰是三维约束模型。图1.17圆柱铰链简称为柱铰，它通过圆柱销钉将两个钻有相同直径销孔的构件连接在一起，被连接构件可以绕销钉轴线相对转动及沿销钉轴线移动，但沿径向的移动受到限，如门窗铰链、活塞销等。销钉与销孔的接触点位置同样不能事先确定，但约束力必定沿径向通过销孔中心，也常用N

表示。该约束力可以分解为垂直于销钉轴线的平面内的两个沿坐标方向的分力(图1.18)。柱铰是二维约束模型。图1.18向心轴承(滚珠轴承、滚柱轴承或滑动轴承)和止推锥轴承是机器中常见的约束，其结构虽然与铰链不同，但其约束力的特征却分别与球铰和柱铰相同，因此可用光滑铰链表示(图1.19、图1.20和图1.21)。图1.19图1.20图1.21如果铰链连接的两个构件之一是与地面(基础或机架)固连的，则把该构件和铰链一起称为固定铰支座，简称铰支座，如桥梁的固定铰支座(图1.22)。两个构件均未固定的情形下，该铰链被称为中间铰或活动铰，如机器人的球关节，曲柄和连杆的连接销(图1.23)。图1.22图1.23

4.可动铰支座(辊轴支座)将固定铰支座用几个刚性辊子支承在光滑表面上，便构成了可动铰支座。它是由光滑面和铰链两种约束组合而成的一种复合约束，其约束力N

的作用线必定垂直于支承面且通过铰链中心，指向则与被约束体的受力情况有关，可任意假设。例如，桥梁和屋架的活动支座(图1.24)，当温度改变而出现热胀冷缩时，它允许梁的一端沿支承面移动。图1.24

5.链杆两端用光滑铰链与其他构件连接且不考虑自重的刚性杆称为链杆，常被用来作为拉杆或撑杆而形成链杆约束，这也是一种复合约束。显然，链杆仅在两端分别受到一个通过铰链中心的力，根据前面介绍过的二力平衡条件，这两个力必定等值、反向、共线。因而，链杆对物体的约束力必定沿两铰链中心的连线，其指向可任意假设，常用符号N

表示(图1.25)。只在两个力作用下平衡的构件称为二力构件，简称二力杆。它所受的两个力必定沿两个力作用点的连线，且等值反向。二力杆在工程实际中经常遇到，有时也把它作为一种约束。其约束力的性质与链杆相同。图1.25

6.固定端工程中还有一种常见的基本约束类型，称为固定端(或插入端)约束。例如，房屋的雨篷(图1.26(a))牢固地嵌入墙内的一端，车床刀架上刀具(图1.26(b))的夹持端等，其约束便是固定端约束。固定端约束的简图如图1.26(c)中的左端部所示。一端固定、另一端悬空的梁称为悬臂梁。当梁上作用荷载时，固定端约束既阻止该梁端沿任何方向移动，也阻止梁绕该端转动。因而它的约束力在平面问题中包括三部分：水平约束力XA、竖向约束力YA以及矩为mA的约束力偶。其理由读者可在学习力系简化理论后自行推导。图1.26可以看到，上面介绍的各种约束是对物体间实际连接方式的理想化和简化，即是各种连接的力学模型。如何把工程中实际的约束加以合理的简化，是受力分析中的一个重要而困难的问题。应对具体情况进行分析，主要是从它的约束作用即能限制被约束物体的哪些运动来考虑。约束力的大小甚至方向都取决于主动作用力，因此约束力是被动力，这也是约束力被称为反力的原因。由约束限制的性质还可将约束分为单侧约束和双侧约束两种。单侧约束只能限制物体单一方向的位移，因而约束力的指向事先可以确定，如柔索、光滑面。双侧约束可限制物体沿两个相反方向的运动，如可动铰支座和链杆。双侧约束并不能两侧同时起作用，在给定问题中，究竟哪一侧起作用取决于主动力的作用情况，无法预先确定。在实际计算中，可任意假设一个指向，根据计算结果的正负来确定假设是否符合实际。1.5物体的受力分析及受力图在分析力学问题时，必须根据已知条件和待求量，从与问题有关的许多物体中选择确定某一物体(或物系)作为研究对象。我们把这种从周围物体的约束中分离出来的研究对象称为分离体或自由体；同时，把画有分离体及其所受外力(包括主动力和约束力)的图形称为受力图。画受力图是求解平衡问题的第一步，不能有任何错误，否则以后的计算将无从着手，得出错误的结论。如果没有特殊说明，则物体的重力一般不计，并认为一切接触面都是光滑的。画受力图时，首先应明确哪个物体是研究对象，哪个物体是约束；在受力图上只画出研究对象和它所受的力，不画约束，尤其不能画上研究对象给约束的力。对刚体系统作受力分析时，要分清内力和外力。内力和外力是相对的，视选择的研究对象而定。研究对象以外的物体作用于研究对象上的力称为外力；研究对象内部各部分间的相互作用力称为内力。内力总是成对出现，它们大小相等、方向相反、作用线一致。

【例1.2】用力F

拉碾子，碾子重P，由于受到路面石块A的阻挡而静止不动(图1.27(a))。如不计摩擦，试画出碾子的受力图。图1.27

解取碾子为研究对象，并将其单独画出。受力分析：作用于碾子的主动力有拉力F和重力P；碾子在A点受到石块的约束，在B点受到地面的约束，当不计摩擦时，该两处都属光滑接触面约束，约束反力都应沿着接触点的公法线(都通过圆心O)。画出主动力F和P

以及A、B处的约束反力NA和NB，即得碾子的受力图(1.27图(b))。

【例1.3】

简支刚架如图1.28(a)所示，在B