《工程力学》课件第10章

第10章组合变形

10.1概述10.2拉伸（或压缩）与弯曲组合10.3扭转与弯曲组合10.1概述在实际工程中，杆件的受力变形情况种类很多，有不少杆件同时产生两种或两种以上基本变形。例如，图10.1为工程中常见的钻杆简图，钻杆受扭矩作用，同时钻杆的自重沿轴向产生作用，所以钻杆的变形既有轴向变形，又有扭转变形。又如，图10.2是机械设备中的传动轴，传动轮上的作用力使轴既产生扭转变形，又有弯曲变形。这类由两种或两种以上基本变形组合的情况，称为组合变形。本章主要介绍工程中常见的拉伸(或压缩)与弯曲组合变形及弯曲与扭转组合变形问题。图10.1图10.2分析组合变形构件的内力、应力和变形问题时，如果内力、应力和变形等与外力成线性关系，则在小变形条件下，可以应用叠加原理。即先将外力进行分解或简化，使简化后的每一种载荷只对应着一种基本变形，再分别计算每一种基本变形下产生的内力、应力和变形，然后将所得结果叠加，便可得到组合变形构件的内力、应力和变形，其结果与各力的加载次序无关，这就是叠加原理。10.2拉伸(或压缩)与弯曲组合

1.横向载荷和轴向载荷共同作用如果杆件上既有垂直于轴线的横向载荷，又有和轴线重合的轴向载荷，则杆将发生轴向拉伸(或轴向压缩)与弯曲的组合变形，简称为拉伸(或压缩)与弯曲的组合变形。图10.3所示为在横向载荷和轴向载荷共同作用下的构件，现以此为例说明轴向拉伸(或压缩)与弯曲组合变形时的强度计算方法。图10.3

1)内力分析拉伸(或压缩)与弯曲组合的杆件，任意横截面上的内力有轴力FN(x)、剪力Fs(x)和弯矩Mz(x)，利用截面法(如图10.4(a)所示)可以求得：FN(x)=F2Fs(x)=F1Mz(x)=F1×(l－x)图10.4

2)应力分析与轴力FN(x)对应的拉伸正应力为与弯矩Mz(x)对应的弯曲正应力为与剪力对应的切应力忽略不计。将以上两项正应力叠加后，得到横截面上任意点的总应力为(10.1)式中A为横截面面积，Iz为截面对z轴的惯性矩。

3)强度条件叠加后的正应力分布如图10.4(b)所示。显然，危险截面在固定端截面，最大拉应力发生在固定端上边缘各点，最大压应力发生在固定端下边缘各点(当σ′>σ″时，横截面上将没有压应力)。如果材料的拉、压强度不相等，则这些点就都是危险点，并且都是单向应力状态，可分别建立强度条件：σtmax≤［σt］σcmax≤［σc］如果材料的拉、压强度相等，则这些点中应力绝对值最大的点是危险点，强度条件为|σmax|<［σ］(10.3)(10.2)

【例10.1】由BC梁和BD杆构成的起重架如图10.5(a)所示。BC为20a号工字钢梁，长度l=2.8m，许用应力[σ]=140MPa，作用在BC梁中点的载荷F=40kN。试校核BC梁的强度。图10.5

解

BC梁的受力图如图10.5(b)所示。设BD杆的拉力为FB，由力矩平衡方程∑MC=0，得FB×2.8×sin30°－40×1.4=0FB=40kN把FB分解为沿BC梁轴线的分量FBx和垂直于BC梁轴线的分量FBy:FBx=FBcos30°=34.6kNFBy=FBsin30°=20.0kN显然BC梁是轴向压缩与弯曲的组合变形。作BC梁的弯矩图和轴力图，如图10.5(c)、(d)所示。从图中可以看出，在BC梁的中间J截面上的弯矩为最大值，而各截面的轴力相同，故J截面为危险截面。查型钢表，20a号工字钢的抗弯截面系数W＝237cm3，横截面面积A=35.5cm2。在轴力及弯矩的共同作用下，在危险截面J的上边缘各点均为危险点，其最大压应力为故BC梁满足强度条件。

2.偏心载荷作用与杆的轴线平行但不重合的载荷称为偏心载荷。由偏心载荷引起的变形称为偏心拉伸或偏心压缩。这实际是轴向拉伸(或轴向压缩)与弯曲的组合变形。现以矩形截面直杆为例，讨论偏心拉压问题。图10.6(a)所示立柱，集中力F和轴线平行但是不重合，作用点J处坐标为(yF，zF)，作用点距形心主轴y、z的垂直距离分别用ey、ez表示，称为偏心距。若将力F向截面形心简化，可以得到等效力系：轴向力F及F对y、z轴的附加力偶矩Mey、Mez(图10.6(b))。由此产生的内力有轴力FN、弯矩My和弯矩Mz，数值分别为:FN=－FMy=Mey=F·e==F·zFMz=Mez=F·ey=F·yF图10.6由偏心载荷引起的杆件各横截面上的内力是相同的，与内力对应的应力可以分别按基本变形应力计算公式求得:根据叠加原理，可得任意横截面上任一点K(y、z)处的正应力为(10.4)式中，iy、iz分别为截面对y、z轴的惯性半径。为了确定危险点的位置，先要确定中性轴的位置。由中性轴上各点的正应力均为零的特点，可得中性轴方程为(10.5)可见，中性轴是一条不过截面形心的直线，它可能位于截面之内，也可能位于截面之外，或与截面周边相切，这取决于叠加后截面上正应力的分布情况。偏心压缩(或拉伸)杆任一横截面均为危险截面，危险点位于距中性轴最远点处。对矩形截面，不难看出，任一横截面的危险点为图10.6(b)中相应的A点和C点位置，危险点的应力状态为单向应力状态。其强度条件为：(10.6)(10.7)

【例10.2】图10.7(a)是由铸铁制成的压力机框架简图，等直段AB的横截面尺寸如图10.7(b)所示，形心主轴y距左边线的距离为z1=108.3mm，截面对y轴的惯性矩Iy=255×106mm4。材料的许用拉应力[σt]=30MPa，许用压应力[σc]=80MPa。试校核框架AB

段的强度。图10.7

解(1)受力分析。载荷F对AB段来讲是偏心载荷，偏心距为e，则附加力偶矩Mey=F·e=F(400+z1)沿任意位置的1—1截面截开机架,得分离体如图10.7(c)所示。由分离体平衡条件得该截面的轴力和弯矩分别为：

FN=F=40kNMy=Mey=F(400+z1)=40×103×(400+108.3)×10－3=20.33kN·m由此可见，AB段属于轴向拉伸与弯曲的组合变形。(2)应力分析。

AB段横截面面积为A=50×250+200×25+100×50=22500mm2

由公式(10.6)和(10.7)得，横截面最大拉应力为横截面最大压应力为因此，框架AB段满足强度条件。

【例10.3】受压板宽度b=8mm，厚度t=10mm，上边缘有一切槽如图10.8所示；槽深a=20mm,F=40kN，板材料的许用应力[σ]=150MPa。试校核板的强度。图10.8

解(1)受力分析。由于板有切槽，外力F对切槽部分为偏心载荷，将产生偏心压缩，偏心距e为将力F向切槽截面形心简化,得该截面上的轴力FN和弯矩Mz为FN=－F=－40kNMz=Fe=40×103×10×10－3=400N·m

(2)应力分析，强度校核。在切槽横截面上，与轴力FN对应的是均匀分布的压应力，与弯矩Mz对应的最大压应力和最大拉应力分别位于切槽截面的上、下边缘各点。故危险点在切槽截面上层边缘各点。切槽段横截面面积为A=t(b－a)=10×(80－20)=600mm2抗弯截面系数为将已知数据代入强度条件，得危险点处的应力为故压板满足强度条件。从以上两例可以看出，偏心拉、压中的偏心距越大，弯曲应力所占比例就越高。因此,要提高偏心拉、压杆件的强度，就应尽可能减小偏心距或尽量避免偏心受载。对图10.9中的三组承载构件，(a)图都有明显的偏心拉伸区段，而(b)图则较为合理。图10.910.3扭转与弯曲组合杆件在扭转外力偶矩和横向力共同作用时，将产生弯曲与扭转的组合变形。现以图10.10(a)所示曲拐为例，介绍弯曲与扭转组合时的强度计算方法。设AB为圆截面杆，直径为d，BC杆与AB杆成直角，C点作用铅垂力F。将F向AB杆B端截面形心简化，得到横向力F和附加力偶矩Me(图10.10(b))。横向力F使轴产生弯曲变形，扭转力偶矩Me使轴产生扭转变形。所以，AB

杆为弯曲与扭转的组合变形。图10.10

AB杆的弯矩图和扭矩图如图10.10(c)、(d)所示，由图可知，固定端A截面为危险截面。A截面的弯矩和扭矩分别为：

M=Fl

T=Me=Fa

A截面的扭转切应力和弯曲正应力的分布图如图10.11(a)所示。显然，危险点为截面铅垂直径两端的i点和j点，其单元体分别如图10.11(b)、(c)所示。由应力计算公式得i

点的正应力与切应力为(a)式中，分别是圆轴的抗弯截面系数和抗扭截面系数。危险点i和j都处于平面应力状态，由式(9.4)得主应力为(b)图10.11对塑性材料，可按第三或第四强度理论进行强度计算。若按第三强度理论分析，则强度条件为σr3=σ1－σ3≤［σ］将(b)式代入上式，得(10.8)将(a)式中的σ和τ代入上式，并注意到圆截面的Wt=2W，于是得出圆截面杆弯扭组合变形下的第三强度理论的强度条件为(10.9)若按第四强度理论，其强度条件为以(b)式代入上式，经简化后得(10.10)将(a)式代入上式，得到圆截面杆弯扭组合变形下的第四强度理论的强度条件为(10.11)上述强度条件中的(10.8)和(10.10)两式,适用于图10.11(b)、(c)所示的平面应力状态，其中的σ和τ可正可负，并且不用考虑是由何种变形引起的；而(10.9)和(10.11)两式则仅适用于弯扭组合下的圆形截面杆件。

【例10.4】一皮带轮轴如图10.12(a)所示。皮带拉力F1=8kN，F2=4kN，皮带轮直径D=500mm，a=500mm，轴材料的许用应力［σ］=80MPa。试按最大切应力理论确定轴的直径。

解(1)受力分析。将皮带轮上的拉力向AB轴的截面形心平移，可得轴的计算简图10.12(b)，C

截面处的扭转力偶矩与右端的扭转外力偶矩相等，即mC=me，数值为轴在横向力和扭转外力偶矩的共同作用下，将发生弯曲与扭转的组合变形。图10.12

(2)分析内力，确定危险截面。轴的扭矩图和弯矩图如图10.12(c)、(d)所示。显然危险截面为C截面，该截面的扭矩和弯矩分别为：TC=me=1kN·m

(3)强度计算。

AB杆为弯扭组合下的圆截面杆件，可以直接使用第三强度理论的强度条件(10.9)式：将代入上式，得因此，轴的直径可取d=74mm。

【例10.5】砂轮轴如图10.13(a)所示。B轮直径D1=400