2025高考数学一轮复习-8.8-双曲线-第二课时-专项训练模拟练习【含解析】

2025高考数学一轮复习-8.8-双曲线-第二课时-专项训练模拟练习【A级基础巩固】一、单选题1．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一条渐近线方程是y＝eq\r(2)x，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，过点F2且垂直于x轴的垂线在x轴上方交双曲线C于点M，则tan∠MF1F2＝()A.eq\f(\r(2),2) B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),3)2．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M，直线MF与另一渐近线交于点N，若M是FN的中点，则双曲线的离心率为()A.eq\r(2) B．2C．eq\r(3) D．33．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，F1、F2分别为左、右焦点，点P在双曲线上，PF1⊥PF2，P到左焦点F1的距离是P到右焦点F2的距离的3倍，则双曲线的离心率是()A.eq\r(2) B．eq\f(\r(10),2)C．2 D．eq\r(10)4．已知F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F作x轴的垂线与双曲线及它的渐近线在第一象限内依次交于点A和点B.若|AB|＝|AF|，则双曲线C的渐近线方程为()A.eq\r(3)x±y＝0 B．x±eq\r(3)y＝0C.eq\r(2)x±y＝0 D．x±eq\r(2)y＝05．设O为坐标原点，F1，F2是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，已知双曲线C的离心率为eq\r(3)，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，则eq\f(|PF1|,|OP|)＝()A.eq\r(6) B．2C．eq\r(3) D．eq\f(\r(6),2)6．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，以F为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线的两个交点为A，B.若∠AFB＝60°，则该双曲线的离心率为()A.eq\f(\r(6),2) B．eq\f(\r(5),2)C．eq\f(\r(7),2) D．eq\f(4,3)7．已知F1，F2是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，以F2为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A，B两点，若|AB|>eq\f(|F1F2|,3)，则双曲线的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(3\r(5),5))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(5),5)，＋∞))C．(1，eq\r(3)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3\r(5),5)))8．设直线y＝kx与双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)相交于A，B两点，P为C上不同于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若C的离心率为eq\r(2)，则k1·k2＝()A．3 B．1C．2 D．eq\r(3)二、多选题9．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a2＋3)＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2eq\r(5)，点P是C上一点，则()A．C的离心率为eq\r(5)B．若PF1⊥x轴，则|PF1|＝8C．若|PF1|＝2|PF2|，则|PO|＝eq\r(5)(其中O为坐标原点)D．点P到C的两条渐近线的距离之积为eq\f(4,5)10．已知双曲线C：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，过其右焦点F的直线l与双曲线交于A，B两个不同的点，则下列结论正确的为()A．|AB|的最小值为eq\f(32,3)B．以F为焦点的抛物线的标准方程为y2＝20xC．满足|AB|＝2的直线有3条D．若A，B同在双曲线的右支上，则直线l的斜率k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(4,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))三、填空题11．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的焦距为10，点P(2,1)在其渐近线上，则双曲线方程为.12．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1(－c,0)，坐标原点为O，若在双曲线右支上存在一点P满足|PF1|＝eq\r(3)c，且|PO|＝c，则双曲线C的离心率为.13．记双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值.四、解答题14．已知过点P(2,0)的直线l1与双曲线C：eq\f(x2,2)－y2＝1的左右两支分别交于A、B两点．求直线l1的斜率k的取值范围．15．双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)经过点(eq\r(3)，1)，且渐近线方程为y＝±x.(1)求a，b的值；(2)点A，B，D是双曲线C上不同的三点，且B，D两点关于y轴对称，△ABD的外接圆经过原点O.求证：直线AB与圆x2＋y2＝1相切．INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】1．过双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c,0)作其渐近线的垂线，垂足为点T，交双曲线C的左支于点P，若eq\o(FP,\s\up6(→))＝2eq\o(FT,\s\up6(→))，则双曲线C的离心率为()A.eq\r(3) B．eq\r(5)C．3 D．52．(多选题)已知双曲线C：x2－eq\f(y2,3)＝1，F1，F2为双曲线的左、右焦点，若直线l过点F2，且与双曲线的右支交于M，N两点，下列说法正确的是()A．双曲线C的离心率为eq\r(3)B．若l的斜率为2，则MN的中点为(8,12)C．若∠F1MF2＝eq\f(π,3)，则△MF1F2的面积为3eq\r(3)D．使△MNF1为等腰三角形的直线l有3条3.如图，已知双曲线M：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，正六边形ABF2CDF1的一边AF1的中点恰好在双曲线M上，则双曲线M的离心率是.5．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为2eq\r(6)，且焦点到渐近线的距离为1.(1)求双曲线C的标准方程；(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：△OPQ的面积为定值． 参考答案 【A级基础巩固】一、单选题1．(D)[解析]因为该双曲线的一条渐近线方程是y＝eq\r(2)x，则eq\f(b,a)＝eq\r(2)，结合c2＝a2＋b2，可得eq\f(b,c)＝eq\r(\f(2,3)).又Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，所以tan∠MF1F2＝eq\f(b2,2ac)＝eq\f(1,2)·eq\f(b,a)·eq\f(b,c)＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(\f(2,3))＝eq\f(\r(3),3).2．(B)[解析]如图所示，由题意可知，∠AOF＝∠COF1，又因为若M是FN的中点，OM⊥FN，所以∠AOF＝∠AOC，所以3∠AOF＝π，∠AOF＝eq\f(π,3)，根据双曲线的性质，双曲线的渐近线方程为：y＝±eq\f(b,a)x，OF＝c，tan∠AOF＝eq\f(b,a)，所以eq\f(b,a)＝eq\r(3)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝2.故选B.3．(B)[解析]设双曲线C的半焦距为c>0，由题意可知：|PF1|＝3|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2|PF2|＝2a，可得|PF1|＝3|PF2|＝3a，因为PF1⊥PF2，则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即9a2＋a2＝4c2，整理得eq\f(c2,a2)＝eq\f(5,2)，所以双曲线的离心率是e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\f(\r(10),2).故选B.4．(B)[解析]由题意得F(c,0)，双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x.设点A，B的纵坐标依次为y1，y2，因为eq\f(c2,a2)－eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，所以y1＝eq\f(b2,a)，所以|AF|＝eq\f(b2,a).因为y2＝eq\f(bc,a)，所以|BF|＝eq\f(bc,a).因为|AB|＝|AF|，所以eq\f(bc,a)＝eq\f(2b2,a)，得c＝2b，所以a＝eq\r(c2－b2)＝eq\r(3)b，故eq\f(b,a)＝eq\f(1,\r(3))，双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(1,\r(3))x，即x±eq\r(3)y＝0，故选B.5．(A)[解析]不妨设a＝1，c＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，则|PF2|＝b＝eq\r(2)，|OP|＝a＝1，cos∠POF2＝eq\f(\r(3),3)，cos∠POF1＝－eq\f(\r(3),3).由余弦定理可得，|PF1|2＝|OF1|2＋|OP|2－2|OF1|·|OP|·cos∠F1OP＝3＋1－2×eq\r(3)×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)))＝6，所以|PF1|＝eq\r(6)，所以eq\f(|PF1|,|OP|)＝eq\r(6).故选A.6．(C)[解析]由题意知F(c,0)到直线bx－ay＝0的距离为eq\f(\r(3)a,2)，所以eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝eq\f(\r(3)a,2)，因为a2＋b2＝c2，所以b＝eq\f(\r(3)a,2)，c2＝eq\f(7,4)a2，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(7),2).故选C.7．(D)[解析]焦点F2(c,0)到渐近线y＝±eq\f(b,a)x的距离为d＝eq\f(|cb|,\r(a2＋b2))＝b，所以|AB|＝2eq\r(a2－b2)，因为|AB|>eq\f(2c,3)，即2eq\r(a2－b2)>eq\f(2c,3)，∴9(a2－b2)>c2.解得e2<eq\f(9,5).即e<eq\f(3\r(5),5).∵e>1，∴1<e<eq\f(3\r(5),5).故选D.8．(B)[解析]解法一：点A，B关于原点对称，设A(x0，y0)，B(－x0，－y0)，P(x，y)，由点差法eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1①，eq\f(x\o\al(2,0),a2)－eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1②，①减②得eq\f(x2－x\o\al(2,0),a2)＝eq\f(y2－y\o\al(2,0),b2)，则eq\f(y2－y\o\al(2,0),x2－x\o\al(2,0))＝eq\f(b2,a2)，即k1·k2＝e2－1，又由e＝eq\r(2)，则k1·k2＝1，故选B.解法二：由题意可取C：x2－y2＝1，不妨取k＝0，P(2，eq\r(3))，则A(－1,0)，B(1,0)，k1k2＝eq\f(\r(3),2＋1)×eq\f(\r(3),2－1)＝1.故选B.二、多选题9．(ACD)[解析]因为|F1F2|＝2eq\r(5)，所以a2＋a2＋3＝5，解得a2＝1，故双曲线C：x2－eq\f(y2,4)＝1.双曲线C的离心率e＝eq\r(5)，故A正确；由题可得F1(－eq\r(5)，0)，又PF1⊥x轴，所以xP＝－eq\r(5)，则5－eq\f(y\o\al(2,P),4)＝1，解得yP＝±4，所以|PF1|＝4，故B错误；因为|PF1|＝2|PF2|，且|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以PF1⊥PF2，所以|PO|＝eq\f(1,2)|F1F2|＝eq\r(5)，故C正确；设P(x0，y0)，则xeq\o\al(2,0)－eq\f(y\o\al(2,0),4)＝1，因为双曲线C的渐近线方程为x－eq\f(y,2)＝0或x＋eq\f(y,2)＝0，所以点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x0－\f(y0,2))),\r(1＋\f(1,4)))·eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(y0,2))),\r(1＋\f(1,4)))＝eq\f(4,5)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,0)－\f(y\o\al(2,0),4)))＝eq\f(4,5)，故D正确．故选ACD.10．(BD)[解析]当直线l的斜率为0时，于A，B两点分别为双曲线的顶点，则|AB|＝2a＝6，又6<eq\f(32,3)，故选项A不正确；F(5,0)，则以F为焦点的抛物线的标准方程为y2＝20x，故选项B正确；当A，B两点同在双曲线的右支时(通径为最短弦)，则|AB|≥eq\f(2b2,a)＝eq\f(32,3)>2，此时无满足条件的直线．当A，B两点分别在双曲线一支上时(实轴为最短弦)，则|AB|≥2a＝6>2，此时无满足条件的直线．故选项C不正确；过右焦点F分别作两渐近线的平行线l1，l2，如图，将l1绕焦点F沿逆时针方向旋转到与l2重合的过程中，直线与双曲线的右支有两个焦点．此时直线l的斜率k>eq\f(4,3)或k<－eq\f(4,3)，故选项D正确．故选BD.三、填空题11．[解析]由题意知c＝5，eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，又c2＝a2＋b2，解得a2＝20，b2＝5，故双曲线方程为eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1.12．[解析]如图，因为|PO|＝c＝|F1O|＝|F2O|，∴∠F1PF2＝eq\f(π,2)，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴3c2＋(eq\r(3)c－2a)2＝4c2,2c2－4eq\r(3)ac＋4a2＝0，e2－2eq\r(3)e＋2＝0，解得e＝eq\r(3)＋1.13．[解析]双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为e，e＝eq\f(c,a)，双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，直线y＝2x与C无公共点，可得eq\f(b,a)≤2，即eq\f(b2,a2)≤4，即eq\f(c2－a2,a2)≤4，可得1<e≤eq\r(5)，满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值可以为2，故答案为：2(e∈(1，eq\r(5)]内的任意一个值都满足题意)．四、解答题14．[解析](1)当k＝0时，显然符合题意，当k≠0时，设直线l1的方程为x＝ty＋2，其中t＝eq\f(1,k)，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，与双曲线方程联立可得(t2－2)y2＋4ty＋2＝0，因为直线l1与双曲线交于不同的两支，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝8t2＋16>0，,t2－2≠0，,y1y2>0，))又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝\f(－4t,t2－2)，,y1y2＝\f(2,t2－2)，))所以eq\f(2,t2－2)>0，解得t2>2，即eq\f(1,k2)>2，所以k2<eq\f(1,2)且k≠0，解得－eq\f(\r(2),2)<k<0或0<k<eq\f(\r(2),2)，综上可得－eq\f(\r(2),2)<k<eq\f(\r(2),2).15．[解析](1)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,a2)－\f(1,b2)＝1，,a＝b，))解得a＝b＝eq\r(2).(2)证明：由(1)得双曲线C的方程为x2－y2＝2.易知直线AB一定不为水平直线且不与渐近线y＝±x平行，所以可设直线AB的方程为x＝my＋n(m≠±1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1≠y2，D(－x2，y2)．联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝2，,x＝my＋n，))整理得(m2－1)y2＋2mny＋n2－2＝0，Δ＝4(n2＋2m2－2)＞0，则y1y2＝eq\f(n2－2,m2－1).由于△ABD的外接圆过原点，且B，D两点关于y轴对称，所以可设△ABD外接圆的方程为x2＋y2＋Ey＝0.则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋Ey1＝0，,x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)＋Ey2＝0，))所以y2(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))＝y1(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))，因为xeq\o\al(2,1)＝2＋yeq\o\al(2,1)，xeq\o\al(2,2)＝2＋yeq\o\al(2,2)，所以y2(2yeq\o\al(2,1)＋2)＝y1(2yeq\o\al(2,2)＋2)，所以y1y2＝1，所以y1y2＝eq\f(n2－2,m2－1)＝1，所以n2＝m2＋1，则原点到直线AB的距离d＝eq\f(|n|,\r(m2＋1))＝1，所以直线AB与圆x2＋y2＝1相切．INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】1．(B)[解析]如图所示，因为F(c,0)到其一条渐近线：y＝eq\f(b,a)x的距离：|FT|＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(bc,a))),\r(1＋\f(b2,a2)))＝b，因为eq\o(FP,\s\up6(→))＝2eq\o(FT,\s\up6(→))，所以点T为PF中点，且|eq\o(FP,\s\up6(→))|＝2|eq\o(FT,\s\up6(→))|＝2b，|OT|＝eq\r(|OF|2－|FT|2)＝eq\r(c2－b2)＝a，又原点O为FF1的中点，所以|PF1|＝2|OT|＝2a，由双曲线的定义得：|PF|－|PF1|＝2b－2a＝2a，化简得：b＝2a，因为双曲线的离心率：e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(1＋\f(b2,a2))，所以得：e＝eq\r(5)，故B项正确．故选B.2．(BCD)[解析]由双曲线方程得a＝1，b＝eq\r(3)，故c＝2，则离心率e＝2，故A错误；由方程知F1(－2,0)，F2(2,0)，则直线l的方程为y＝2(x－2)，联立双曲线方程化简得x2－16x＋19＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝16，故eq\f(x1＋x2,2)＝8，而y1＋y2＝2x1－4＋2x2－4＝2(x1＋x2)－8＝24，则eq\f(y1＋y2,2)＝12，故MN的中点为(8,12)，故B正确，若∠F1MF2＝eq\f(π,3)，根据双曲线定义得|MF1|－|MF2|＝2，由余弦定理可得cos∠F1MF2＝eq\f(|MF1|2＋|MF2|2－|F1F2|2,2|MF1|·|MF2|)，即eq\f(1,2)＝eq\f(|MF1|－|MF2|2＋2|MF1|×|MF2|－16,2|MF1|·|MF2|)，可得|MF1|·|MF2|＝12，所以△MF1F2的面积为eq\f(1,2)|MF1|·|MF2|·sineq\f(π,3)＝eq\f(1,2)×12×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3)，故C正确；当直线MN⊥x轴时，可得|MF1|＝|NF1|，△MNF1为等腰三角形；根据双曲线定义得|MF1|－|MF2|＝2，|NF1|－|NF2|＝2，两式相加得|MF1|＋|NF1|＝4＋|MF2|＋|NF2|＝4＋|MN|，不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1>0，y1>0，x2>0，y2<0)，若|MF1|＝|MN|，则|NF1|＝4，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋22＋y\o\al(2,2)＝16，,3x\o\al(2,2)－y\o\al(2,2)＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(3,2)，,y2＝－\f(\r(15),2)，))可得Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(\r(15),2)))，此时△MNF1为等腰三角形；由对称性易知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(15),2)))时△MNF1也为等腰三角形，综上使△MNF1为等腰三角形的直线l有3条，故D正确．3.[解析]设AF1的中点为P，连接OP，PF2，易得PO⊥AF1，∠PF1O＝60°，所以|OF1|＝c，|PF1|＝eq\f(1,2)c，在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos∠PF1F2＝eq\f(1,4)c2＋4c2－c2＝eq\f(13,4)c2，所以|PF2|＝eq\f(\r(13),2)c，所以2a＝|PF2|－|PF1|＝eq\f(\r(13),2)c－eq\f(1,2)c，所以双曲线M的离心率e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(2c,\f(\r(13),2)c－\f(1,2)c)＝eq\f(\r(13)＋1,3).4．[解析]设椭圆的长半轴长为a1，短半轴长为b1，半焦距为c，则c＝eq\r(a\o\al(2,1)－b\o\al(2,1))＝eq\r(16－12)＝2，故椭圆的离心率e1＝eq\f(c,a1)＝eq\f(1,2)，从而双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,a)＝2，可得a＝1，根据双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a，即|PF1|＝|PF2|＋2，故eq\f(|PF1|2,|PF2|)＝eq\f(|PF2|＋22,|PF2|)＝eq\f(|PF2|2＋4|PF2|＋4,|PF2|)＝|PF2|＋eq\f(4,|PF2|)＋4，由双曲线的范围可得|PF2|≥c－a＝1，根据基本不等式可得|PF2|＋eq\f(4,|PF2|)＋4≥2eq\r(|PF2|×\f(4,|PF2|))＋4＝8，当且仅当|PF2|＝eq\f(4,|PF2|)，即|PF2|＝2时取“＝”，所以eq\f(|PF1|2,|PF2|)的最小值为8.5．[解析](1)依题意得2c＝2eq\r(6)，c＝eq\r(6)，一条渐近线为y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0，右