2025高考数学一轮复习-1.3-不等关系与不等式-专项训练【含解析】

2025高考数学一轮复习-1.3-不等关系与不等式-专项训练【A级基础巩固】一、单选题1．某学生月考数学成绩x不低于100分，英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>100，,200<y＋z<240)) B．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥100，,200≤y＋z≤240))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>100，,200≤y＋z≤240)) D．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥100，,200<y＋z<240))2．已知a＋b<0，且a>0，则()A．a2<－ab<b2 B．b2<－ab<a2C．a2<b2<－ab D．－ab<b2<a23．给定下列四个命题：命题①：a>b，c>d⇒a－c>b－d；命题②：a>b⇒；命题③：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,2<b<3，))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2<a＋b<4,0<ab<3；))命题④：a<b<0⇒eq\f(b,a)<eq\f(a,b).其中真命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．44．已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中成立的是()A．xy>yz B．xz>yzC．xy>xz D．x|y|>z|y|5．若a是实数，P＝eq\r(a2＋10)＋a，Q＝eq\r(a2＋6)＋eq\r(a2＋4)，则P，Q的大小关系是()A．Q>P B．P＝QC．P>Q D．由a的取值确定6．下列四个数中最大的是()A．lg2 B．lgeq\r(2)C．(lg2)2 D．lg(lg2)7．若α，β满足－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，则2α－β的取值范围是()A．－π<2α－β<0 B．－π<2α－β<πC．－eq\f(3π,2)<2α－β<eq\f(π,2) D．0<2α－β<π8．已知1<eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，M＝aa，N＝ab，P＝ba，则M，N，P的大小关系正确的为()A．N<M<P B．P<M<NC．M<P<N D．P<N<M二、多选题9．下面列出的几种不等关系中，正确的为()A．x不大于3，可表示为“x<3”B．x与2的和是非负数，可表示为“x＋2>0”C．△ABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“a＋b>c”D．若某天的温度为t，最低温度为7℃，最高温度为13℃，则这天的温度范围可表示为“7℃≤t≤13℃”10．下列四个条件，能推出eq\f(1,a)<eq\f(1,b)成立的有()A．b>0>a B．0>a>bC．a>0>b D．a>b>011．若a<b<－1，c>0，则下列不等式中一定成立的是()12．设实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则下列不等式成立的是()A．c<b B．b≥1C．b≤a D．a<c三、填空题13．已知非零实数a，b满足a>b，则下列结论正确的是_________(填序号)．①eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；②a3>b3；③2a>2b；④lna2>lnb2.14．一般认为，民用住宅窗户面积a与地板面积b的比应不小于10%，即eq\f(1,10)≤eq\f(a,b)<1，而且比值越大采光效果越好，若窗户面积与地板面积同时增加m，采光效果变好还是变坏？请将你的判断用不等式表示_________.15．设0<x<1，则a＝eq\r(2x)，b＝1＋x，c＝eq\f(1,1－x)中最大的一个是_________.16．已知a>b>c,2a＋b＋c＝0，则eq\f(c,a)的取值范围是_________.四、解答题17．(1)若bc－ad≥0，bd>0，求证：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d)；(2)已知c>a>b>0，求证：eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b).INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】1．把下列各题中的“＝”全部改成“<”，结论仍然成立的是()A．如果a＝b，c＝d，那么a－c＝b－dB．如果a＝b，c＝d，那么ac＝bdC．如果a＝b，c＝d，且cd≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,d)D．如果a＝b，那么a3＝b32．(多选题)若实数x，y满足|x|>y>0，则()A．x－y<y2 B．x2024>y2024C.eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)>2 D．eq\f(1,x)<eq\f(1,x－y)3．(多选题)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a>0，b>0，a＋b＝2，则()A．0<a≤1 B．0<ab≤1C．a2＋b2≥2 D．0<b<24．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是_________.5．a，b，c，d均为实数，使不等式eq\f(a,b)>eq\f(c,d)>0和ad<bc都成立的一组值(a，b，c，d)是_________(只要写出适合条件的一组值即可)．6．6月22日，中国大运河项目在卡塔尔首都多哈召开的第38届世界遗产大会上成功入选世界遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目．随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的地．今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发至漕运码头，又立即返回奥体公园码头．已知游船在顺水中的速度为v1，在逆水中的速度为v2(v1≠v2)，则游船此次航行的平均速度eq\x\to(v)与eq\f(v1＋v2,2)的大小关系是？参考答案【A级基础巩固】一、单选题1．[解析]根据题目条件直接列出不等式组即可．数学成绩x不低于100分表示为x≥100，英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于200分且低于240分表示为200<y＋z<240，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥100，,200<y＋x<240.))故选D.2．[解析]解法一：令a＝1，b＝－2，则a2＝1，－ab＝2，b2＝4，从而a2<－ab<b2，选A.解法二：由a＋b<0，且a>0可得b<0，且a<－b.因为a2－(－ab)＝a(a＋b)<0，所以0<a2<－ab.又因为0<a<－b，所以0<－ab<(－b)2，所以0<a2<－ab<b2，选A.3．[解析]根据不等式的性质逐项分析①③④，利用指数函数的单调性判断②.①中，当a＝5，b＝4，c＝3，d＝1时，a－c>b－d不成立，是假命题；②中，y＝是R上的单调递减函数，所以a>b时，，是真命题；③中，当a＝2，b＝1时，右边成立，而左边不成立，是假命题；④中，a<b<0⇒a2>b2⇒eq\f(b,a)<eq\f(a,b)，是真命题．故选B.4．[解析]方法一：由x>y>z及x＋y＋z＝0知x>0，z<0，y∈R.验证各选项知C成立．方法二(特殊值法)：取x＝1，y＝0，z＝－1，代入各选项知C成立．5．[解析]先平方，再分类讨论a的值，求解即可．显然P，Q都是正数，又P2＝(eq\r(a2＋10)＋a)2＝2a2＋10＋2aeq\r(a2＋10)，Q2＝(eq\r(a2＋6)＋eq\r(a2＋4))2＝2a2＋10＋2eq\r(a2＋6a2＋4)＝2a2＋10＋2eq\r(a4＋10a2＋24)，①当a<0时，则eq\r(a4＋10a2＋24)>0>aeq\r(a2＋10)，∴Q2>P2，Q>P，②当a≥0时，则eq\r(a4＋10a2＋24)>eq\r(a4＋10a2)＝aeq\r(a2＋10)，∴Q2>P2，Q>P，综上所述，Q>P.故选A.6．[解析]因为lg2∈(0,1)，所以lg(lg2)<0；lgeq\r(2)－(lg2)2＝lg2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－lg2))>lg2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－lg\r(10)))＝0，即lgeq\r(2)>(lg2)2；lg2－lgeq\r(2)＝eq\f(1,2)lg2>0，即lg2>lgeq\r(2).所以最大的是lg2.7．[解析]∵－eq\f(π,2)<α<eq\f(π,2)，∴－π<2α<π.∵－eq\f(π,2)<β<eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,2)<－β<eq\f(π,2)，∴－eq\f(3π,2)<2α－β<eq\f(3π,2).又α－β<0，α<eq\f(π,2)，∴2α－β<eq\f(π,2).故－eq\f(3π,2)<2α－β<eq\f(π,2).8．[解析]∵1<eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，∴0<b<a<1，∴指数函数y＝ax在R上单调递减，∴ab>aa，即N>M，又幂函数y＝xa在(0，＋∞)上单调递增，∴aa>ba，即M>P，∴N>M>P.故选B.二、多选题9．[解析]先根据各选项的语言表述列出不等式即可．∵x不大于3，可表示为x≤3，∴A错误；∵x与2的和是非负数，可表示为x＋2≥0，B错误；根据三角形中任何两边之和大于第三边，则a＋b>c∴C正确；∵最低温度为7℃，最高温度为13℃，∴7℃≤t≤13℃，∴D正确，故选CD.10．[解析]运用倒数性质，由a>b，ab>0可得eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，B、D正确；又正数大于负数，A正确，C错误，故选ABD.11．[解析]由函数f(x)＝x－eq\f(1,x)在(－∞，－1)上为增函数可知，当a<b<－1时，a－eq\f(1,a)<b－eq\f(1,b)，故A错误；由函数g(x)＝x＋eq\f(1,x)在(－∞，－1)上为增函数可知，当a<b<－1时，a＋eq\f(1,a)<b＋eq\f(1,b)，即a－eq\f(1,b)<b－eq\f(1,a)，故B正确；由a<b，得b－a>0，但不确定b－a与1的大小关系，故ln(b－a)与0的大小关系也不确定，故C错误；由a<b<－1可知，eq\f(a,b)>1,0<eq\f(b,a)<1，而c>0，则，故D正确．故选BD.12．[解析]∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝6－4a＋3a2，,c－b＝4－4a＋a2，))两式相减得2b＝2a2＋2，即b＝a2＋1，∴b≥1.又b－a＝a2＋1－a＝＋eq\f(3,4)>0，∴b>a.而c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b，从而c≥b>a.三、填空题13．[解析]当a>0，b<0时，eq\f(1,a)>0>eq\f(1,b)，故①不正确；由函数y＝x3，y＝2x的单调性可知，②③正确；当a＝1，b＝－1时，lna2＝lnb2＝ln1＝0，故④不正确．14．[解析]若窗户面积与地板面积同时增加m，采光效果变好了，用不等式表示为：eq\f(a,b)<eq\f(a＋m,b＋m)，因为eq\f(a,b)－eq\f(a＋m,b＋m)＝eq\f(ab＋m－a＋mb,bb＋m)＝eq\f(a－bm,bb＋m)<0，所以eq\f(a,b)<eq\f(a＋m,b＋m)成立．15．[解析]解法一：b－a＝1＋x－eq\r(2x)>1＋x－2eq\r(x)＝(eq\r(x)－1)2>0，∴b>a，c－b＝eq\f(1,1－x)－(1＋x)＝eq\f(x2,1－x)>0，∴c>b，∴c>b>a.∴c最大．解法二：取x＝eq\f(1,8)，则a＝eq\f(1,2)，b＝1＋eq\f(1,8)，c＝eq\f(8,7)＝1＋eq\f(1,7)，显然c最大．16．[解析]因为a>b>c,2a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，b＝－2a－c.因为a>b>c，所以－2a－c<a，即3a>－c，解得eq\f(c,a)>－3.将b＝－2a－c代入b>c中，得－2a－c>c，即c<－a，得eq\f(c,a)<－1，所以－3<eq\f(c,a)<－1.四、解答题17.[证明](1)∵bc≥ad，eq\f(1,bd)>0，∴eq\f(c,d)≥eq\f(a,b)，∴eq\f(c,d)＋1≥eq\f(a,b)＋1，∴eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).(2)∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0.∵a>b>0，∴eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，又∵c>0，∴eq\f(c,a)<eq\f(c,b)，∴eq\f(c－a,a)<eq\f(c－b,b)，又c－a>0，c－b>0，∴eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b).INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】1．[解析]对于A，如果a<b，c<d，那么a－c<b－d不一定正确，如5<6,4<9，但5－4>6－9；对于B，如果a<b，c<d，那么ac<bd不一定正确，如－2<－1,1<4，此时ac>bd；对于C，如果a<b，c<d，且cd≠0，那么eq\f(a,c)<eq\f(b,d)不一定正确，如1<2,1<8，此时eq\f(a,c)>eq\f(b,d)；易知D正确．2．[解析]当x＝3，y＝1时，x－y>y2，故A错误；因为|x|>y>0，所以|x|>|y|，所以x2024>y2024，故B正确；当x<0时，因为y>0，所以eq\f(x,y)与eq\f(y,x)都是负数，所以eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)<0，故C错误；因为eq\f(1,x)－eq\f(1,x－y)＝eq\f(－y,xx－y)＝eq\f(y,xy－x)，当x>0时，由|x|>y>0得x>y，两边同乘x，得x2>xy，即x(y－x)<0；当x<0时，由|x|>y>0得x<y，两边同乘x，得x2>xy，即x(y－x)<0，所以eq\f(1,x)<eq\f(1,x－y)，故D正确．故选BD.3．[解析]根据a>0，b>