2024年上海高一数学试题分类汇编：期中解答题（第6-7章）（解析版）

专题03期中解答题（第6-7章）

H题型1：诱导公式

一题型2:三角恒等变换

经典基础题——题型3:三角函数的图像与性质

专题03期中解答题（第6-7章）一题型4:解三角形

一题型5:第6-7章实际应用题

优选提升题

|经典基础题|

题型1:诱导公式

4

1.（22・23高一上•安徽合肥・期末）已知cosa=-5并且a是第二象限的角

⑴求sina和tana的值：

3IT

2sin（57i-a）-3sin（------a）

（2）求----------------------的值.

/C\z兀、

COS（-6Z-2兀）-cos（^z）

33

【答案】⑴彳，--

54

【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求解;

（2）根据诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系求解.

4

【解析】（1）Qcosa=-二，并且。是第二象限的角,

/.sina=A/1-cos2a=—,

5

sina3

tana=------=——.

cosa4

2sin(57i-6Z)-3sin------a3.。

,、[2J2sma+3cosa

(2)z:

(c、(7iicosa-sma

cos(-a-2兀)-cosIa--\

_2tana+3

l-tana

二+3£

=，—=6

一下丁

4

2.(22・23高一上广东深圳•期末)解决下列问题：

sina—2cos(一二)

(1)已知./-7—:-------=-6,求tana值.

-3sin(—a)+5cosa

(2)已知一兀<x<0,sinx+cosx=—,求sinx-cosx的值.

6

【答案】⑴-二

⑵-名

6

sino-2cos(一。),sina—2cosa,leesma-

【分析】(1)由诱导公式=一6=--------------------=-6,后利用tana=-------可

一3sin(-a)+5cosa3sina+5cosacosa

得答案;

(2)将sinx+cos%=」平方后，可得sinxcosx,结合-兀<%<0,可判断sinx—cosx符号，平方后

6

可得答案.

■[解析Ml)由।诱导公八式m，_s3isnma(—-2ac)o+s:(—ca)Jj=3ssinmaa—+25cco°ssaa「

「sina।tana-2

又tana=-------,则-3

cosa3tana+519

(2)因sinx+cosx=—

6

35

则sin2x+cos2x+2sinxcosx=—=>sinxcosx

3672

即sinx,cosx一正一负，又一兀<x<0,贝！Jcosx>0>sinx,

EPsinx-cosx<O.X(sinx-cosx»「2sinsJ,

36

贝!Jsinx-cosx=

6

3.(2223高一下•上海嘉定•期中)解答下列问题：

(1)化简2sin(7r-a)cosg+a)sing-c)cosg-a)

sin(兀+a)COS(JI+功

3

⑵在AABC中，若sin/+cos/=—,求cos/—sin/的值.

【答案】(1)sina；

⑵一回,

5

【分析】(1)利用诱导公式化简即可；

(2)将sinZ+cos/=-，两边平方得2sin/cos4=-----<0,从而可得

525

sin/>0,cos4<0,cos/-sin/<0,再由cos/-sin<=-J(cos/-sin/)2,求解即可.

/“、52sina(-sina)cosasina八.

【解析】(1)解：原式二------------+---------=2sma—sma=sina；

一sina—cosa

Q1zS

(2)解：将sinZ+cosZ=—,两边平方得2sin/cos/=-----<0,

525

0<A<Tt,

sinA>0,/.cosA<0,cos/一sin4<0,

/.cos/-sin4=-J(cos/-sin4)2=-Jl-2sin/cos/=,

4.(23・24高三上•上海长宁・期中)设/(x)=J5tam-1+-2colx.

⑴若。，夕都是锐角，且满足sin(e+e)=cos(e-e),求证：。和夕中至少有一个是方程y(x)=3的解;

(2)求方程f(X)=3在区间［0,2兀)上的解集.

【答案】(1)证明见解析；

⑵号苧・

【分析】（1）令tanx=£,构造函数g⑺=a=T+,借助单调性求出g（。=3的解，再由给定

等式求出。或。即可推理得解.

（2）由（1）的信息，求出/（x）=3在［0,2兀）上的解集.

222

【解析】(1)令tanx=%,函数g«)=J5/-1+3—，由夕―120,且3—>0,得，

tt3

显然函数尸G与广，3一在g,+8）上都单调递增，因此函数g⑺在G"上单调递增,

而g⑴=3,即方程g（。=3的解为1=1,则方程f（x）=3中tanx=l,

由sin（9+e）=cos（9_e）,得cos［（9+o）一曰=cos（6-9）,

由49都是锐角，得一<（6+9）-5<］，-

JTTTTTTT

于是（6+0）——或（6+/）——=—（0—（p）,解得夕=_或9=:，即有tan9=l或tan0=l,

2244

因此/⑹=3或f（（p）=3,所以。和。中至少有一个是方程/⑺=3的解.

（2）由（1）知，当/（x）=3时，tanx=l,而不£［0,2兀），解得1或%=当"，

所以方程小）=3在区间［0,271）上的解集是｛：苧.

1m

5.（2021高一下•上海黄浦・期中）（1）是否存在实数，使比,使sinx=——,cosx=——,且x

1-mm-1

是第二象限角？若存在，请求出实数相；若不存在，情说明理由.

（2）若xe0,—,sinxcosx=—,求------H-------------的值.

_2J21+sinx1+cosA：

【答案】（1）不存在，理由见解析；（2）4-2e

【分析】（1）假设存在实数加，根据X是第二象限角，可得sinx>0、cosx<0求出参数〃，的取值范

围，再根据平方关系求出参数加的值，得出矛盾，即可说明；

（2）首先求出sinx+cos无，再通分计算可得.

1m

【解析】解：（1）假设存在实数加，使sinx=-------,cosx=--------,

l-mm-1

因为x是第二象限角，

jm

所以sinx=------->0,cosx=--------<0,解得0<相<1,

l-mm-1

又sin2x+cos2x=1,即1—--］+（加］=1,解得加=0,

一加）\rn-l）

与0〈冽<1矛盾，故不存在实数加满足题意；

冗

(2)因为0,y,所以sinx+cosx>0,

v(sinx+cosx)2=l+2sinxcosx=2,

/.sinx+cosx=V2•

111+cosx1+sinx

-----1-----=-------------1-------------

1+sinx1+cosx(1+sinx)(l+cosx)(1+sinx)(l+cosx)

2+sinx+cosx2+V24？万

1+sinx+cosx+sinxcosx|++J_

2

题型2：三角恒等变换

4

6.（23・24高三上•上海浦东新•期中）已知角a和尸满足cosa+cos/7=-§.

(1)若£=2tz,求cosa的值:

TT

（2）右/=。+万，求sin2a的值.

【答案】（l）cosa=：或-J

36

哺

【分析】（1）利用二倍角的余弦公式求出2cos2a+cosa-'1=0,求出cosa的值;

4

（2）利用诱导公式得到cosa-sina=-5,平方后结合二倍角的正弦公式求出答案.

4

【解析】（1）因为夕=2a,cosa+cos/3=--,

4/4

所以cosa+cos2a=,可得cosa+(2cos2a-

9

即2cos2a+cosa-』=0,解得35。='或一*.

936

(2)因为/?=a+^71,故cosa+cosla+l4

23'

cos-sin6Z=,即(cosa-sinaf=捺

故cos2a-2sinacosa+sin2a=1-sin2cr=—,

81

故sin2a=1-3=竺

8181

7.（22・23高一下・上海松江•期中）（1）已知sina+cosa=g,求sin2a的值;

(2)证明恒等式：sin("+P,=tana+tan/?.

cosacosp

24

【答案】(1)(2)证明见解析

【分析】（1）两边平方后，根据同角公式和二倍角的正弦公式可得结果;

（2）根据两角和的正弦公式和同角公式可证等式成立.

121

【解析】(1)由sini+cosa=《，得(sina+coso)=—

得sin2a+2sinacosa+cos2a=-

25

124

得sin2a=-----1=------

2525

sinacos0+cosasin0

(2)证明：左边二-tana+tan/3=右边.

cosacosB

3710

8.(22・23高一下•上海静安•期中)已知a,，为锐角，cosa=~~~Jsin/?=

10

(1)求sin(a-£)的值;

(2)求a-〃的值.

(1)

【答案】4

(2)号

【分析】(1)利用同角三角函数的平方关系求得sina,cos广，然后算出sin(a-4)的值;

(2)结合cosa=35>也3V10百,-/?1,即可求出a一4

，sin/3=---->----,可得C

52102

的值.

?77

【解析】(1)为锐角，COS6Z=------，且si/a+cos2a=1,「・sina

55

3M

P为锐角，sin£=，且sin?S+cos?，=1,cosB=?

1010

证而2至3V10亚

'•sin(a-〃)=sinacos力一cosasin/=-------X-------------------------X----------

5105102

(2)因为a,，为锐角，cosa=2®＞，3,所以ae[o谭J,

52

sin〃=W0>@,所以兀71兀兀

1023'223

兀71

所以a-/e

23

9.(2223高一下•上海•期中)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，锐角a、£的顶点与坐标原点。

重合，始边与x轴的正半轴重合，它们的终边与单位圆分别交于/、8两点，已知/、2两点的横坐

标分别为和辿.

105

(1)求sina,sin尸的值.

⑵求sin(a+20,cos(a+2/)的值.

【答案】(1)sina=,sinp-.

105

历历

(2)sin(a+2/?)=,cos(a+2/?)=———•

【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数定义求出cos©cos4,再利用平方关系求解作答.

（2）利用（1）的结论，利用二倍角的正余弦公式、和角的正余弦公式求解作答.

【解析】（1）依题意，cosa=走,cos夕=型，而为锐角,

105

(2)由(1)矢口，cosa=cosB=2亚，sina=7收，sin/}=

105105

于是sin24=2sin/?cos尸=2乂。乂竽=cos2^^2cos24—1=2x管了—1=：,

7收3逝46

所以sin(a+2£)=sinacos24+cosasin第二-------x—H-------x—=-----

1051052

V237A/24也

cos(a+2/7)=cosacos2/?-sinasin2/?=—x-------x—

105105~T

10.（2223高一下•上海浦东新•期中）三角比内容丰富，公式很多.若仔细观察、大胆猜想、科学

求证，你也能发现其中的一些奥秘.现有如下两个恒等式:

cos2°cos88°rrcos5°cos85°后

(1)--------+----------=J2；(2)---------+----------=J2.

sin47°sinl33°sin50°sinl30°

根据以上恒等式，请你猜想出一个一般性的结论并证明.

cos(90°-a

.5仝cosa

【合案］sm"+a=42,证明见详解.

sin(135。-a

【分析】观察结构猜想等式，利用三角恒等变换证明即可.

【解析】猜想.葭：一，二

sin(45+aj1s+in1"13;5;-aJ

证明：由诱导公式可得cos(90°一a)=sina,sin(135°一a)=sin(45°+a),

~…cosacos(9°-a\sin。+coscrsina+cosarr

所以-7---------7+-7------4=-7----------b----------------------------------=V2

sin(45°+6Z)sin(135°-ajsin(45°+a)sinacos45。+cosasin45。

题型3：三角函数的图像与性质

11.(20・21高一下•上海浦东新•期中)求函数y=sinx+6cosx的最小正周期与单调增区间.

57TJT

【答案】最小正周期7=2兀；单调增区间为2kn--,2kn+-依eZ).

_O0J

【分析】首先利用辅助角公式化简函数解析式，再利用正弦函数的周期公式以及单调增区间即可求

解.

【解析】y=sinx+百cosx=2sin(x+,

所以最小正周期7=宁=2兀，

由2析一5Wx+gW2E+^■(左GZ)

角牟得：2k7t-^<x<2kn+^kGZ)

因此函数y=sinx+A/^COSX单调增区间为2左兀——,2A;7i+—化£Z).

66

12.(20・21高一下•上海浦东新•期中)已知函数/(x)=2V^sinxcosx+2cos2%-1.

(1)求/(x)的最小正周期及/⑴的最小值；

(2)将函数/(')的图像上的所有点纵坐标保持不变，横坐标变化至原来的得到g(x)的图像，

求g(x)的严格增区间.

【答案】⑴T=兀，/(%濡=-2；(2)-？+耳,强+肆(左£Z).

_o2122

【分析】(1)结合降幕公式以及辅助角公式化简函数解析式，再结合周期公式即可求出最小正周期,

结合函数的图象与性质即可求出最小值；

(2)先根据平移变换求出g。)的解析式，进而结合函数y=sinx的单调性，整体代入法解不等式即

可求出结果.

【解析】(1)因为/(%)=2百sinxcosx+2cos2%-1

=A^sin2x+cos2x

=2sin(2x+£j,

所以/(X)的最小正周期7=合27r="；

当sin(2x+^|=-l时，/(x)min=-2；

(2)由题意可知g(x)=2sin]4x+?,

因为V=sinx在--+2^,—+2kn(左£Z)上单调递增，

I，(TC_,.7171_./.„\口口71k/CTCk/C/,„\

所以--+2k7i<4x+—<―卜2k兀(keZ),即-+——<x<——F——(keZ),

262v762122v7

所以g(x)的严格增区间z)

_62122

13.(2023•上海宝山•二模)已知函数/(x)=sinxcosx-百co函x+-^.

(1)求函数>=[(力的最小正周期和单调区间；

(2)若关于x的方程/(可-加=0在xe0看上有两个不同的实数解，求实数机的取值范围.

【答案】(1)最小正周期7=兀；单调递增区间为阮-春水兀+^ReZ)；单调递减区间为

75兀711乃1/7

KUH----,KUH-------(左£Z).

1212v7

【分析】(1)利用降塞公式和辅助角公式化简函数解析式，用周期公式求周期，整体代入法求函数

单调区间；

(2)由区间内函数的单调性和函数值的变化范围求解实数加的取值范围.

【解析】(1)/(x)=sinxcosx-6cos2xH------=—sin2x------cos2x=sin

222

则函数>=/(、)的最小正周期丁=|=兀；

令2左兀一5(2x-gW2左兀+'1■(左£Z),解得k7i-^<x<A;TI+GZ),

可得函数V=/(x)的单调递增区间为E哈左兀+吉(^eZ).

令2左兀+^W02左兀+g(左£Z),角军得左兀+工W%W析+^^■(左£Z),

可得因数y=1（x）的单调递减区间为kn+—,lai+—（左eZ）；

（2）由（1）可知，时，片/卜）在、噂]上单调递增，在垓,M上单调递减，

_2」L12」1_122_

当年，2^_16，/（x）由-手增大到1,

当xe的,"Zxqjqf],〃x）由1减小至声，

若关于X的方程/（x）-/M=O在xjo,，上有两个不同的实数解，则实数加的取值范围为等,11

14.（22・23高三上•上海徐汇•期中）已知/（x）=2Gsinxcosx-2sin2x.

⑴求函数了=仆）在xe-患上的严格增区间；

（2）将函数y=/（x）的图像向左平移〃小">0）个单位，再向上平移1个单位，待到函数了=8（力的图

像，若函数y=g（x）的图像关于点对称，求加+〃的最小值.

【答案】（1）12工

66

【分析】（1）利用三角函数恒等变化得到/（x）=2sin[2x+^J-1,利用整体法求解出函数的单调递

增区间，得到答案；

（2）先求出g（x）的解析式，得到〃=0,由对称性得到〃?=-1|+学上"，得到用的最小值，求

出答案.

【解析】(1)/(x)=26sinxcosx-2sin。x=V^sin2无+cos2x-1=2sin(2x+己]-1,

._..兀兀ll>7T7157r

因为XG,所以21+工£-y--,

63J6|_665_

因为了=sinz在ze上单调递增，所以2x+[e£，

_o2」O|_O2_

解得：xe'g],

_66

故函数y=/(x)在xJ-J,?]上的严格增区间为1-9，三；

_O3J|_Oo_

(2)g(%)=2sin2%+2m+—,

y=g(x)的图像关于点对称，故〃=o,

c.Ac兀c兀、c.Ac5兀1八

2sin2x—+2m+—=2sm2mH----=0,

I36)I6J

..57r,ATIzt=i5兀kit,

故2冽d----=kn,k7GZ,解得：m=-----1----，左cZ,

6122

jr

因为冽〉0,所以当左=1时，m=一取得取小值，

12

故冽+〃的最小值为j

15.(22-23高一下•上海浦东新•期中)已知函数/(%)=2cos2x+2VJsinxcosx-1.

⑴把/(%)表示为然皿3+9)(/＞0皿＞0,0＜。＜兀)的形式，并写出函数＞=/(%)的振幅和初始相

位;

(2)求函数y=f(x)的单调递增区间；

ITTTJ3

⑶记函数了=/(力在xe::上的值域为/,若F3au4(a＞0),求实数a的取值范围.

2

7T

【答案】⑴振幅为2,初始相位为二；

0

,、T兀7兀

(2)kit--,kjiH—,kGZ；

|_36_

⑶呜

【分析】(1)利用二倍角公式以及两角和的正弦公式恒等变形即可求解;

(2)利用整体法求函数的单调递增区间;

(3)利用函数单调性求出v=/(x)的值域，再利用集合之间的关系求解即可.

【解析】(1)/(x)=2cos2X+2A/3sinxcosx-1=cos2x+A^sin2x=2sin^2x+

由此可知y=f(x)的振幅为2,初始相位为g

o

,兀兀兀

(2)令'2kliW2xH—W2kjtT—,左eZ,

262

兀71

解得kitKxVkuH—,左£Z,

36

则函数y=f(x)的单调递增区间为施4制+己,keZ；

(3)因为xe一苦,所以心+乐［-?,科，

ITTTIT7IT

因为函数歹=$吊/在区间上单调递增，在-,y上单调递减,

所以/（x）max=2S呜=2,/卜）,3=25«3=-瓦

-V3<--a

-312

又因为一］。,3a［卜6,2］,(°>0),所以,3aV2

a>0

2

解得0<a<—f

即实数。的取值范围为（o,g.

16.（21-22高一下•上海徐汇•期中）已知函数/（x）=sin（0x+N）（。>0,0〈夕灵兀）的最小正周期为兀,

图像的一个对称中心为（4,0）,将函数〃x）图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不

4

7T

变），再将所得图像向右平移1个单位长度后得到函数g（尤）的图像.

⑴求函数/（X）与g（x）的解析式；

（2）当心1,求实数。与正整数〃,使尸（x）=/（x）-ag（x）在（0,"兀）恰有2021个零点.

【答案】(l)/(x)=cos2x,g(x)=sinx

(2)a=1,n=1347.

【分析】⑴根据函数图象的变关系直接求解；

⑵转化为方程Zsin?x+asinx-l=0有2021个根，根据奇数个根可得其中一个根必为sinx=-1或1,

分类讨论求解.

2兀

【解析】（1）T=TI=—=>2,

co

当％=:时，sin（5+o]=0n]+9=左兀（左£Z）,

7C

因为0<夕<兀，取0=5,

n/（x）=sin（2x+3=cos2x,

将函数〃x）图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），

7T

可得函数〉=。。$工，再将所得图像向右平移:个单位长度后，

g(x)=cos[x-=sinx,

(2)由(1)F(x)=cos2x-asmx=-2sin2x-(2sinx+1,XE(O,〃兀)

2sin2x+asinx—1=0,

不妨设sinx=%或sinx=G&w/2)，显然4"。/2"0

若sinxe(-1,1),则P(x)在(0,"兀)上必有偶数个零点,

所以中至少有一个为1或-1,

不妨设sinx=。=1或T,

当4=1,贝3=一1(舍)；

当％=-1,贝Ua=ln%=g,

此时尸(x)在(0,2兀)上有3个零点，

又2021=673x3+2=〃兀=673x2兀+兀=1347兀,

即"1347,

综上所述，。=1,〃=1347.

17.(2L22高一下•上海长宁・期中)已知函数/(%)=百sin2x-Zsil?》.

⑴求了(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2)若尤e,求〃x)的最小值及取得最小值时对应的x的取值.

jrjr

【答案】(1)最小正周期为不单调递增区间为-丁+0，/+0,(keZ)

36

(2)/(x)的最小值为-3,此时x=g

【分析】(1)利用三角恒等变换和辅助角公式化简，再利用周期公式和整体代换法即可求解;

(2)利用(1)的结论，根据整体代换法求出最小值及取得最小值时对应的x的取值即可.

【解析】(1)依题意得:

/(x)=V3sin2x-2sin2x=V3sin2x+cos2x-1=2sin2x+--1

6

27^0■7T/\

'*=冏，？=春=万'/(x)的最小正周期为万;

71j兀11r

由---F2k兀<2xd——<——b2左匹左£Z得:——\-K7T<X<——FK7V,左£Z

26236

7C.71.

\/(X)单调递增区间为:-------Fklj-Fk7l，伍eZ)

36

7171c71715〃2戈+看卜[一1,1]

(2)vxe,：.2x-\——G----,----sin

626

2sin12x+?

-1G[-3,1]

BP：盘(司=-3,此时x=g

18.(21・22高一下•上海杨浦■期中)已知函数/(x)=/sin(<ar+e),>O,0>O，Ew4的图像如图.

⑴根据图像，求/(力的表达式及严格增区间;

(2)将函数y=/(x)的图像向右平移5个单位长度得到曲线C,把C上各点的横坐标保持不变，纵坐

标变为原来的2倍得到g(x)的图像，且关于x的方程g(x)-"?=0在0,|上有解，求加的取值范

围.

【答案】⑴/(x)=sin(2x+；],增区间为-1|+for*+航，左eZ；

⑵卜1,2].

【分析】(1)由函数的图象的顶点坐标求出N,由周期求出。，由五点法作图求出夕的值，从而可

得函数/(x)的解析式，再利用正弦函数的单调性，即可求解〃x)的单调递增区间.

(2)利用函数歹=然皿如+。)的图象变换规律，得到g(x)的解析式，根据正弦函数的定义域和值域,

即可求得用的范围.

【解析】(1)根据函数/a)=/sin(0x+°)(4>O,。>0,|夕|•/)的图象，可得/=1,

j1"27=r三TC-三71,所以0=2,〃x)=sin(2x+o),

4。312

TTTT

由五点法作图，可得2x3+9=1,

：.▽=%,故/(%)=sin(2x+10,

*_.71_7T__TC、/口57r,TT,

令*2kTV----・2xH—*2kjiH—,-------Fk/c9x•—Fkji,keZ,

2321212

57r7i

/(x)的单调递增区间—不~+左犯五+左力，keZ.

(2)将函数了=f(x)的图象向右平移§个单位长度得到曲线C:y=sin,x-。的图象，

把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到g(x)=2sin，x-力的图象,

由g(x)-冽=0在0,[上有解，即加=2sin(2x-/1在0,[上有解，

_2JI12_

nq、/c兀、兀冗5冗

因为XE0,—，2x--e,

_2」666_

所以2sin(2x--)e[-1,2],

6

所以加的取值范围为[-1,2].

题型4：解三角形

19.(2223高一下•上海嘉定•期中)在AA8C中，tz=13,6=14,c=15.

(1)求cos/;

⑵求AABC的面积S.

3

【答案】(1)(

(2)84

【分析】(1)根据余弦定理即可求解；

4

(2)由(1)可求得sinN=1,再根据三角形的面积公式即可求解.

【解析】(1)由题意可知，a=13,Z>=14,c=15,

根据余弦定理可得COS/="+/—"2="+152-132=｝；

2bc2x14x155

3,

(2)由(1)可知，cosA=-f又因为0<4<兀，

114

所以AABC的面积S=—besin4=—x14x15x—=84.

225

20.(23・24高三上•上海・期中)在中，角A,5,。所对的边分别为。，b,。，b=显,B=^.

(1)若〃=2,求siM的值；

⑵zUBC的面积等于百，求a的值.

【答案】⑴也；

2

(2)a=V2或q=2^/2•

【分析】(1)根据给定条件，利用正弦定理求解即得.

(2)利用三角形面积公式、余弦定理列出方程组求解即得.

【解析】(1)在中，由正弦定理一丁，得.,asinBV|,

sinAsinBsmA=--

b~2

所以si向的值是1

2

(2)由AASC的面积等于6,得S诋=、acsinB=^~ac=出，解得〃c=4,

24

由余弦定理/=/+/-2accosB,得/+/一〃c=6,即〃2+02=]0,

解得a=2^2,c=V2或。=V2,c=2^/2，

所以Q=V2或Q=2-\/2-

2L(22・23高一下•上海青浦•期中)在△ZBC中，角4,B,。所对的边为a,b,c

⑴若sin28二百sin8,求N8;

(2)若。=2bcosC,试判断△45C的形状.

【答案】⑴8=£

6

⑵△NBC是等腰三角形

【分析】(1)由二倍角正弦公式及三角形内角的性质可得cosB=",进而确定其大小;

2

(2)由余弦边角关系可得°="一,整理化简即可确定形状.

a

-Ji

【解析】(1)由sin28二2sin5cos8=/sin3,而sin5〉0,故cosB=----，

2

又3e(0,7t),故B=j

〃2_|_序_2〃2后_2

(2)a=2bcosC=2bx--------------=----------------，i^b2-c2=0,即b=c,

2aba

所以△4台。是等腰三角形.

22.(22・23高三上•上海静安・期中)已知的周长为y/2+1,Msin5+sinC=V2sinA-

⑴求的长；

⑵若的面积为!sin/,求角A的值.

o

【答案】⑴1

呜

【分析】（1）根据正弦定理边角互化得/。+/8=同（?，又"BC的周长为夜+1，即可求边8C的

长；

（2）根据。8C的面积为,sin/=1/CxZ8xsin/,可得NCxNB的值，再利用余弦定理即可求A.

62

【解析】（1）解：根据题意由正弦定理得/C+/5=C8C，

因为A8+8C+/C=Vi+l，

所以7i8C+8C=V^+l，解得3c=1.

（2）解：因为S"BC='x/Cx/3xsin/=工sin/,

26

所以4Cx/B=；,又AC+4B=母,

,AC2+AB2-BC2（AC+AB^-2ACXAB-BC21

由余弦定理得cosA=-----------------------=--------------------------------------=-,

2义ACxAB2义AC义AB2

又因为Z£（0,兀），所以/=?

23.（9.10高三•辽宁沈阳•阶段练习）在“3C中，角A、B、C所对的边分别为。、6、。，且cos/=；.

（1）求sin?'；0+cos2/的值；

（2）若“=百，求6c的最大值.

【答案】⑴-g

（2）1

【分析】（1）把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式及三角形的内角和定理化简后，得到一个关

于COS4的关系式，把COS/的值代入即可求出值;

7

(2)根据余弦定理表示出cos/,然后把等式变为:儿=〃+/-/,利用基本不等式和。的值即可求

出6c的最大值.

【解析】(1)解：因为sin?"C+cos2/

2

1

=-[l-cos(B+C)]+(2cos29A-l)

1,

=—(1+cosA)+(2cos2A-l)

11、2八

=—(1+—)+z(—1)

239

=~9；

(2)解：根据余弦定理可知：♦=COS4=JL,

2bc3

2

一be-+c?—/>2bc—an,

3

又「a—A/3，BP—be>2bc-3,

93Q9

•••bc<^~,当且仅当6=c=；时，bc=j故儿的最大值是1.

4244

24.(23・24高三上•上海•期中)已知的内角4、B、。所对的边分别为Q、b、c,面积为S.

⑴若3=150。，sin/+百sinC=注，求C;

2

(2)若(a+6)(sin4—sin8)=(c-Z))sinC,a=3,求S的最大值.

【答案】（1）。=15。

（2）5=—

4

【分析】（1）由诱导公式、两角和差公式的正弦公式以及辅助角公式进行运算即可求解.

（2）由余弦定理边角互化先求出/=；,结合a=3以及基本不等式可以求出6c的最大值，最后由三

角形面积公式即可求解.

【解析】(1)因为sinZ+6sinC=,

2

所以sin(B+C)+6sinC=,即sin5cosC+cos5sinC+百sinC=—^~

因为B=150°,所以」cosC-左sinC+6sinC=，

222

即^-sinC+—cosC=,即sin（C+30°）=^~,

222v72

因为0°<C<30°,即30°<C+30°<60°,所以。+30°=45°,

所以。=15。.

（2）因为（4+6）（5吊4-5由5）=（0-6”11。,

所以（Q+6）（Q—6）=（c—b）c,